ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 6, с. 660-671
УДК 66.048.3
МЕТОДИКА ВЫЯВЛЕНИЯ ХОДА ПУЧКОВ ТРАЕКТОРИЙ РЕКТИФИКАЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ © 2010 г. Л. А. Серафимов, К. Ю. Тархов
Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова
kirill-tarkhov@yandex.ru Поступила в редакцию 16.11.2009 г.
Изложена методика определения всех особых точек динамической многокомпонентной системы, а именно их координат и типов. Методика проиллюстрирована примерами термодинамико-тополо-гического анализа динамических систем трехкомпонентных зеотропных смесей.
ВВЕДЕНИЕ
Изучение хода траекторий фазовых процессов всегда привлекало внимание исследователей. Наряду с качественными методами, представленными в серии работ Шрайенмакерса [1], уже в начале ХХ в. осуществлялись попытки проинтегрировать систему дифференциальных уравнений конкретного фазового процесса.
В работе [2] для трехкомпонентных идеальных смесей ук при допущении о постоянстве относительных летучестей а была проинтегрирована система дифференциальных уравнений открытого равновесного испарения вида
йх,
йг
йх
1 = У - X,
(1)
] _
йг
Уу - х-
где i и] — любые два компонента из трех.
При постоянных ап, ауп и ау были получены следующие интегральные уравнения [2]:
х, =■
1
1 + XI + с I Ху рк-а-к х, V хЬ
а,к-1
х,
(2)
х,
а1к-1 *
1 + х± + с |х-1а,к-а-к
х, и,7
х, =■
а,к-т
т(а1к -1) + т(а-к - 1)х- + с,(х^К-а-к) а,к - т (а- - т)х,
х, = ■
т(а-к - 1)ху
(а-к - т)х,
(3)
а,к - т (а-к - т)х,
+ С Г^
т(а,к -1) + т(ад - 1)х- + г,(х-]тЫ-а-к)
Для условий ректификации трехкомпонентных смесей того же класса были получены следующие уравнения [3] путем интегрирования дифференциальных уравнений:
В уравнениях (2) и (3) С и С' есть некоторые постоянные. Уравнения (3) получены для случая, когда в конечном продукте (дистилляте или кубовом остатке) присутствует один компонент. Таким образом, для укрепляющей секции колонны принима-
-0 1 -О п О п
лось х1 = 1, х- = 0, хк = 0, а для исчерпывающей
секции х^ = 0, х^ = 0, х^ = 1. Величина т в данном случае есть отношение потока жидкости к потоку пара в колонне непрерывного действия. Для укрепляющей секции т < 1, а для исчерпывающей секции т > 1.
Было установлено [3], что при бесконечном флегмовом числе (т = 1) уравнения (3) переходят, в чем нетрудно убедиться, в уравнения (2). Таким образом, был сделан вывод о том, что при бесконечном флегмовом числе траектории ректификации и траектории открытого равновесного испарения совпадают. Используемая модель массопереноса при получении уравнений (3) предусматривала, что сопротивление массопереносу сосредоточено в паровой фазе.
Отдельно необходимо остановиться на условиях, когда в конечном продукте находятся два компонента, а концентрация третьего равна нулю.
1
х
Здесь также были получены интегральные уравнения, однако при т = 1 они не переходили в траектории открытого испарения. Такой переход оказался возможным, если концентрация третьего компонента была не нулевой, а сколь угодно малой [3]. Это связано с тем, что ни одна из траекторий открытого равновесного испарения зеотропных смесей не оканчивается на граничных элементах размерности выше нулевой.
Условие идеальных смесей с допущением о постоянстве всех относительных летучестей было использовано в серии работ Андервуда [4, 5] для определения минимального флегмового числа.
Вместе с тем все перечисленные работы по получению интегральных уравнений траекторий ректификации, так же как и траекторий открытого равновесного испарения, моделируются для смесей, для которых величина относительной летучести постоянна.
Еще в 1935 г. в работе [6] было показано, что даже в идеальных смесях относительные летучести компонентов переменны, не говоря уже о неидеальных и азеотропных смесях.
Таким образом, учитывая, что для нелинейных дифференциальных уравнений общих методов их решения, кроме численных в каждом конкретном случае, не имеется, резко возрастает роль качественных методов. К таким методам относится метод динамических систем [7]. Ранее были исследованы особые точки динамических систем ректификации и их возможный тип [8—11].
В работе [12] было предложено уравнение для стационарного процесса ректификации с учетом массопереноса. Ранее в работе [8] подобное уравнение было проанализировано в предположении, что матрица коэффициентов массопереноса является диагональной. В работе [13] рассматриваемое уравнение было получено с помощью термодинамики необратимых процессов. По существу это уравнение есть линеаризованная форма более общей закономерности, так как предполагается, что градиенты концентраций и температур в диффузионном слое модели линейно зависят от толщины этого слоя. В то же время при переходе от одного уровня колонны к другому, сколь угодно близкому к первому, коэффициенты массопереноса изменяются. При этом матрица этих коэффициентов остается симметрической и положительно определенной. Последнее согласуется с моделями, рассмотренными в работе [14].
Уравнение траекторий ректификации, полученное в работе [12], имеет вид
^ = ^(В)[(уг - х- (у - х)],
(4)
где--вектор скорости изменения состава жид-
с1И
кой фазы по высоте колонны; А — некоторый коэф-
фициент, учитывающий поверхность, приходящуюся на единицу высоты колонны, равной —; Тср —
йк
средняя температура диффузионного слоя на данном уровне колонны; (уг - хг) - (у - х) — движущая сила процесса; В — матрица коэффициентов массопереноса В^
Уравнение (4) соответствует колоннам с дифференциальным изменением потоков жидкости и пара по высоте, в то время как в работе [11] рассматривалась колонна с теоретическими тарелками. В дальнейшем предусматривается, что концентрации уГ и хГ на границе раздела фаз равновесны, т.е.
Г 'К Г 'К 'К ТУ ТУ л
У/ = у* и х1 = х*, при этом у* = К¡х*, где К — коэффициент термодинамического равновесия концентраций жидкой и паровой фаз, который часто называют коэффициентом распределения.
Особыми точками системы дифференциальных уравнений (4) считаются точки, в которых вектор движущей силы равен нулю и, следовательно, равны нулю все производные концентраций компонентов
¿X
—', число которых равно п — 1. В особых точках, как ¿И
показано в ряде работ, наблюдаются зоны постоянного состава:
(Г - хГ) - (У1 - х0 = 0 (УГ - х [) - (У 2 - х 2) = 0 )-(Уз - хз ) = 0
(у зГ - х зГ) -
(5)
(-1 - х^) - (у„_1 - х„_1) = 0.
В векторном виде система уравнений (5) может быть записана как
(уГ - XГ) - (у - X) = 0,
(6)
т.е. разность векторов граничных и рабочих концентраций равна нулю. В общем случае это наблюдает-
„ _Г
ся всякий раз, когда вектор состава у равен вектору
"Г
состава у, а вектор состава х равен вектору состава
х, т.е. нода равновесных концентраций (у * - х *)
равна ноде рабочих концентраций (у - х).
Балансовые линии (прямые для каждой секции) имеют вид
У = тх + хК (1 - т),
т.е. уравнение ноды рабочих концентраций запишется как
y -x = (1 - m)(xK - x).
(8)
С помощью уравнения (8) для каждой секции колонны в особой точке получаем
(K - m)x - (1 - m)xK = 0, где К — m — диагональная матрица вида
(K - m) =
(K1 - m 0 0 .. 0 0 K2 - m 0 ... 0 0 0 K3 - m ... 0
v 0 0 0 ... Kn_i - mj
1 — m — диагональная матрица вида
(1 - m 0 0 .. 0 ^ 0 1 - m 0 ... 0 0 0 1 - m ... 0
(1 - m) =
0 0
1 - m
(9)
Для того, чтобы стала понятной основная идея метода, ограничимся примером ректификации трехкомпонентных зеотропных смесей.
С помощью рассматриваемого уравнения было доказано, что дифференциальное уравнение траекторий ректификации реализует особые точки только типа узла и седла [8, 15]. Фокусы и центры в этом случае не реализуются. Полученный результат инвариантен относительно числа компонентов.
Так как матрица коэффициентов массопереноса является симметрической и положительно определена, система, приведенная ниже, в целом топологически подобна системе вида (4).
Эта система имеет вид [15]
Если соблюсти условие (6), т.е. считать равной нулю движущую силу процесса массопереноса по всем компонентам, то реализуется процесс обратимой ректификации, впервые предложенный в [17] для бинарных смесей и подробно исследованный для трехкомпонентных идеальных смесей в работе [18], а для неидеальных трехкомпонентных смесей в работах [19—21]. В случае, когда осуществляется адиабатическая ректификация, обратимая ректификация наблюдается только в стационарных (особых точках).
Целью данной работы является разработка методики, позволяющей воспроизвести все особые точки динамической системы, не решая дифференциальных уравнений, которые моделируют траектории ректификации в колоннах с дифференциальным изменением состава контактирующих фаз за счет массопереноса между ними.
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕКТИФИКАЦИИ
Ниже излагается предлагаемый метод определения всех особых точек исследуемой системы дифференциальных уравнений. Для этого используется вспомогательное построение аналогов линий коэффициентов равновесного распределения компонентов, равных единице, в случае равновесного открытого испарения. Эти линии приведены для любого типа диаграмм фазового равновесия на рис. 1. Как видно из рисунка, все единичные К-линии расположены внутри треугольника Гиббса. Это объясняется тем, что процесс открытого равновесного испарения обладает определенной замкнутостью относительно границ концентрационного симплекса, т.е. ни одна из траекторий не пересекает этих границ. Как будет показано ниже, этим свойством теоретически возможные траектории ректификации не обладают.
Для аналогичного построения выберем произвольный компонент I и определим для него условие, когда сопротивление сосредоточено в паровой фазе:
dx dh
= E(y * - x *) - (y - x),
(10)
(K - m)xj - (1 - m)xK = 0.
(11)
где Е — единичная матрица. Следовательно, системы (4) и (10) реализуют одни и те же особые точки при этом одного и того же типа. Таким образом, результаты, полученные для системы (10) с помощью уравнения (7), будут соответствовать также системе уравнений (4) с учетом матрицы В.
Это условие соответствует экстремумам интеграл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.