научная статья по теме МЕТОДЫ СОВМЕСТНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ И ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ В РАМКАХ ВАРИАЦИОННОГО ПОДХОДА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОГОДЫ И КАЧЕСТВА СОСТАВА АТМОСФЕРЫ Геофизика

Текст научной статьи на тему «МЕТОДЫ СОВМЕСТНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ И ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ В РАМКАХ ВАРИАЦИОННОГО ПОДХОДА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОГОДЫ И КАЧЕСТВА СОСТАВА АТМОСФЕРЫ»

УДК 551.509.313

Методы совместного использования моделей и данных наблюдений в рамках вариационного подхода для прогнозирования погоды и качества состава атмосферы

В. В. Пененко*, Е. А. Цветова*, А. В. Пененко*

Представлена новая версия методов вариационного усвоения данных измерений от разных систем наблюдений включая изображения. Основу этих методов составляет техника вариационных принципов в формулировке со слабыми ограничениями, примененная для совместных моделей гидротермодинамики и химии атмосферы. Для реализации схем усвоения предложены прямые алгоритмы на основе методов расщепления, позволяющие оперативно решать четырехмерные задачи прогнозирования с усвоением доступных данных мониторинга.

Ключевые слова: вариационный принцип, формулировка со слабыми ограничениями, модели гидротермодинамики и химии атмосферы, метод расщепления, сопряженные уравнения, прямые алгоритмы усвоения данных, оценка неопределенностей.

1. Введение

В последнее время в мировых центрах данных накоплен большой объем информации, поступающей практически непрерывно из разных наблюдательных систем, собирающих информацию об атмосфере и океане по всему земному шару. Понятно, что использование этих данных обусловлено не только фундаментальной задачей получения новых знаний, но также преследует сугубо практические цели. Это улучшение результатов прогнозирования погоды и климата, а также состояния окружающей среды, в том числе и качества состава атмосферы. Все это вызывает необходимость искать стратегии, позволяющие оперативно учитывать в современных вычислительных технологиях как можно более полную информацию о природных процессах, содержащуюся в данных наблюдений.

Среди технологий усвоения данных в настоящее время выделяется четыре лидирующих направления: методы вариационного усвоения данных; методы усредненных наименьших квадратов; методы типа фильтрации Калмана в сочетании с методами ансамблей для параметрических оценок ковариационных матриц; релаксационные методы (nudjing-based), в которых невязки между измеренными и вычисленными значениями функций состояния, взвешенные с помощью феноменологических параметров, непосредственно включаются в модели процессов.

*Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук; e-mail: penenko@sscc.ru.

Поскольку наши приоритеты находятся в сфере применения вариационных методов, кратко остановимся на этапах их развития для решения задач физики атмосферы и попытаемся представить современное состояние и перспективы проблемы, обозначенной в заглавии статьи. Однако тут следует оговориться, что не ставится цель дать полный анализ методов усвоения данных в мировой литературе, отсылая читателя к недавним обширным обзорам [19, 20, 24].

Вариационный метод усвоения данных с применением сопряженных уравнений был предложен в 1976 г. в статье [15], опубликованной в журнале "Метеорология и гидрология". Возможности этого подхода были продемонстрированы там же на примере результатов расчетов по четырехмерной нестационарной модели гидротермодинамики атмосферы в сферических координатах. Теоретические основы предложенного метода базировались на идеях классического вариационного принципа Эйлера — Лагранжа, в котором модели процессов выступали в качестве ограничений на множество функций состояния и параметров. Эти ограничения вводились в вариационный принцип с помощью сопряженных функций, которые играли роль распределенных множителей Лагранжа.

В этих методах существенно использовалась теория сопряженных уравнений, которую Г. И. Марчук начал разрабатывать еще в конце 1950-х годов для расчета ядерных реакторов [6]. Он первым предложил применять сопряженные уравнения для задач динамики атмосферы, океана [7], а затем развил теорию применительно к задачам охраны окружающей среды и других сложных систем [8, 9].

В монографии [11] было представлено несколько алгоритмов вариационного усвоения данных наблюдений (включая спектральные) для оценок функций состояния и параметров моделей с использованием сопряженных уравнений и методов исследования чувствительности для нелинейных динамических систем и организации на их основе уравнений обратных связей [10, 23].

Почти через 10 лет после первой публикации по вариационному усвоению появились исследования [21, 22, 31]. С тех пор было предложено множество разных модификаций этой методологии и новых схем ее алгоритмической реализации (более тысячи публикаций).

Первое поколение вариационных методов усвоения данных развивалось в предположении, что модели процессов являются точными и результаты измерений используются только для корректировки начальных условий.

В настоящей работе использованы результаты работ [12, 13, 25], в которых был предложен и развит метод усвоения данных на базе вариационного принципа со слабыми ограничениями. В этом случае в модели процессов явно включаются дополнительные слагаемые, так называемые функции неопределенности. С позиции теории оптимального управления [1, 4] их можно рассматривать как функции управления, которые определяют по заданному целевому функционалу с учетом всех доступных данных измерений. Соответственно, расширенный функционал вариационного принципа определяется с учетом суммарной меры всех неопределенностей, включаемых в систему моделирования. Методы усвоения на базе вариационного принципа со слабыми ограничениями можно отнести к методам второго поколения. Этот метод активно развивают многие авторы.

Отметим некоторые достоинства таких методов. Длина окон усвоения задается параметрически и может быть произвольной начиная от одного шага по времени. Функции чувствительности и функции неопределенностей расширя-

ют область применения вариационных методов для решения обратных задач с усвоением данных наблюдений. Кроме того, они вносят эффекты управления и регуляризации в методы решения в общем случае некорректных обратных задач. Как следствие, это приводит к экономичным алгоритмам вариационного усвоения данных. В зависимости от длины окна усвоения получаются разные варианты технологии усвоения данных. В частности, если окно усвоения выбрать равным одному шагу модели по времени, то получаются новые алгоритмы, имеющие прямые, т. е. безытерационные схемы реализации в темпе решения прямых задач динамики и химии атмосферы.

Перечислим формулировки типичных вариантов таких алгоритмов: прямые алгоритмы усвоения всех доступных данных с совместным решением прямых и сопряженных задач и с расчетом функций чувствительности и неопределенности; новые вариационные схемы, эквивалентные методам фильтрации Калмана, но без использования наиболее трудоемких элементов решения матричного уравнения типа Риккати для расчета ковариационных матриц и широко используемых в последние годы ансамблевых методов их параметрического оценивания (результат здесь достигается с помощью включения данных измерений через сопряженные функции неопределенностей); вариационные версии релаксационных методов (nudjing-based), в которых включение невязок между вычисленными и измеренными значениями функций состояния также осуществляется с помощью функций неопределенностей.

Задачи прогнозирования погоды и качества состава атмосферы с математической точки зрения формулируются как задачи исследования нелинейных динамических систем, описывающих процессы гидротермодинамики атмосферы с учетом микрофизики гидрологического цикла совместно с процессами переноса и трансформации многокомпонентных примесей в газовом и аэрозольном состояниях.

Специфическая черта изучаемых процессов состоит в их разномасштабно-сти. Кроме того, модели природных процессов и модели наблюдений за их поведением содержат разного рода неопределенности как в физическом описании самих моделей, так и во входных данных и в действующих факторах, которые необходимо оценивать с использованием всей доступной фактической информации.

Для этих целей будем использовать комплекс математических моделей для решения совместных задач гидротермодинамики и химии атмосферы. Стругау-ру этих моделей можно представить в операторном виде:

Здесь ф(х, ?) = (ф. (х, ?), г = 1, п ) — вектор-функции состояния, принадлежащие вещественному пространству 0(0); Б = D X [0, t ] е Я4, Б е Я3 — область изменения пространственных координат х = (х г = 1,3); ^ = О X [0, t ], О^ О — границы областей Б{ и Б соответственно; [0, t ] — интервал изменения времени. Область Б может быть глобальной для всей Земли или ограниченной частью глобальной системы. В состав нелинейного оператора модели 0(ф, У)

2. Вариационный подход

(1) (2)

ф0 = ф° + 4

входят дифференциальные и интегро-дифференциальные составляющие; Y — вектор параметров модели, принадлежащий области допустимых значений R(D); f — функции источников; ф0 — начальное состояние при t = 0, а ф, — его априорная оценка; r, \ — подлежащие определению функции, представляющие в обобщенном виде неопределенности и ошибки соответствующих объектов. Поскольку в реальных ситуациях имеем дело как с прямыми, так и с обратными задачами, то отнесение объектов к параметрам для задач данного класса достаточно условно. Поэтому функции источников и функции, входящие в граничные и начальные условия, удобно отнести к разряду параметров системы моделирования. Имеющиеся априорные оценки вектора Y обозначим как Y, ^ R(D).

В соответствии со структурой объединенных моделей динамики и химии функции состояния ф(х, t) представим в блочном виде с тремя составляющими ф(х, t) = {ф i = 1,n } = (ф, ф^, ф), где n — общее число переменных состояния, фкт = (u = (u, v, w), T, p, p) = {ф., i = 1, 6 } — переменные гидродинамического блока: u — вектор скорости с компонентами u, v, w в направлениях координат xj, x x3 соответственно; T, p, p — температура, плотность, давление воздуха

соответственно; = (qv, qс, qr, q,, qf) = {ф., i = 7,11} — категории влаги в гидрологическом цикле атмосферы: qv, q, qr — водяной пар, облачная вода, дождь соответственно; q, = q + q — вода в жидкой фазе; q, — вода в твердой фазе (лед,

ic v J

снег); фс = {ф., i = 12, n } — совокупность субстанций в газовом и аэрозольном со

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком