ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 1, с. 151-160
УДК 550.838
Посвящается светлой памяти Валерия Михайловича Гордина,
внесшего крупный вклад в развитие магнитометрии и изучение истории ее становления
МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО МАГНИТНОМУ ПОЛЮ АТ И ФУНКЦИЯ В.Н. СТРАХОВА AS: ОБЗОР
© 2013 г. В. И. Старостенко, В. Н. Шуман, И. К. Пашкевич, О. В. Легостаева, А. С. Савченко
Институт геофизики НАН Украины, г. Киев, Украина E-mail: vstar@igph.kiev.ua Поступила в редакцию 25.04.2012 г.
Приводится обзор методов, которые по магнитному полю АТ позволяют восстанавливать функции, близкие к гармоническим. Уточняется формула Ю.П. Тафеева. Показывается, что из этой уточненной формулы следует соотношение В.М. Гордина и соавторов, позволяющее выделить гармонический компонент функции АТ. Получено линеаризованное представление В.Н. Страхова для функции АТ непосредственно из основной приближенной для АТ формулы Ю.П. Тафеева. Описан опыт использования функции В.Н. Страхова А^* при интерпретации магнитной аномалии АТ Криворожской структуры. Отмечается общность проблемы восстановления соответствующих гармонических функций по данным магнитометрических и гравиметрических съемок. Рассмотрены особенности измерения в материальных средах магнитной напряженности Н и магнитной индукции В и приведена физическая интерпретация этих полей.
DOI: 10.7868/S0002333713010158
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что в современной магниторазведке при проведении значительных объемов аэромагнитной и морской съемок измеряется величина АТ, т.е. разность модуля суммарного вектора напряженности полного магнитного поля Т и модуля вектора напряженности нормального (или главного) магнитного поля Т0 [Магниторазведка, 1980, с. 272; Тафеев, Соколов, 1981, с. 33; Гордин и др., 1986, с. 39-40]:
АТ = |1| - |Х0, (1)
где
I = 10 + \ (2)
и Та — вектор напряженности аномального маг-1
нитного поля.
Выберем обычную в магниторазведке правую систему прямоугольных координат, в которой ось х направлена на географический север, у — на восток и г — вертикально вниз [Магниторазведка,
1История создания и развития непрерывных аэро и морской магнитных съемок изложена в монографии [Гордин, 2004, с.
63—69], которая явилась результатом огромной и успешной работы ее автора [Старостенко, 2005].
1980, с. 46]. Запишем в ней значения векторов, входящих в соотношения (1) и (2), воспользовавшись для удобства элементами векторного исчисления [Зельдович, Мышкис, 1972, с. 287—289; Бу-лах, Шуман, 1998, с. 7]:
То = X о1 + То] + 1оК (3)
Та = Ха1 + Уа] + 1ак, (4)
Т = (Хо + Ха ) + (То + Уа)] + &о + ^а )к, (5) где Х0, У0, Z0 и Ха, Уа, Za — компоненты по осям координат х, у, г векторов напряженности нормального и аномального магнитных полей соответственно; /, у, к — векторы, образующие декартов базис. Для сокращения записи в равенствах (3)— (5) и ниже зависимость векторов Т0 и Та и их составляющих по осям координат от ( х, у, г) не выписывается.
Формулы (3)—(5) позволяют для векторов Т0, Та и Т записать значения их модулей [Булах, Шуман, 1998, с. 7]:
|То| = То = (Хо2 + То2 + (6)
I = Та = (X2 + Уа2 + &а2)1/2, (7)
|Т| = Т = [(Хо + Ха)2 + (То + Уа)2 + &о + )'] ■ (8)
Рис. 1. К выводу формулы (14).
Подставляя формулы (6) и (8) в формулу (1), получаем значения АТ в явном виде.
Если ввести в рассмотрение магнитные потенциалы нормального и аномального магнитных полей и0 и иа, а Х0, У0 , ^ и Ха, Уа , Zа — суть их частные производные по направлениям х, у, z, то соотношения (6)—(8) можно представить следующим образом [Булах, Шуман, 1998, с. 34]:
|Т0| = ^гаё и0 =
Т =
ди0
дх
+
ди0
ду
ди0 дг
1/2
|Та| = ^гаёи^ = Та
и
дх
+
ди
ду
дЦа
дг
1/2
Т = |Егаё (и0 + и а )| = Т = (3(и0 + иа))2 + ( д(и0 + иа 2 + (№>_ + иа)л2
дх
ду
дг
(9)
(10)
1/2 (11)
Следовательно, другими словами, поле АТ есть разность модуля градиента суммы потенциалов нормального и аномального магнитных полей и модуля градиента потенциала нормального магнитного поля.
Обычно при интерпретации поля АТ в магниторазведке принимается, что
дт
и
дг
=
(12)
В основе такой аппроксимации лежит тот факт, что для значительных территорий земной поверхности направление вектора нормального магнитного поля близко к вертикальному [Логачев, Захаров, 1973, с. 188-189; Логачев, 1962, с. 222-223; Магниторазведка, 1980, с. 272; Блох, 1993, с. 6-7]. Однако аналитические свойства функций АТ и Za разные: Za — функция гармоническая, т.е. удовлетворяет классическому уравне-
нию Лапласа [Корн, Корн, 1973, с. 322; Тафеев, Соколов, 1981, с. 7]
У^а = 0, (13)
функция АТ таковой не является [Тафеев, 1953, с. 4; Блох, 1993, с. 7]. Поэтому в общем случае применение к АТ аналитического аппарата, который хорошо развит в геофизике для гармонических функций, теоретически некорректно.
В этой связи еще с середины ХХ века исследовались вопросы о возможности построения функций, близких к гармоническим, или гармонических, по значениям измеряемых величин АТ.
В статье приводится обзор методов, которые позволяют по величине магнитного поля АТ восстанавливать функции либо близкие к гармоническим, либо гармонические при некоторых дополнительных условиях[Тафеев, 1953; Страхов, 1993; Гордин и др., 2006; Тихоцкий, 2011]. Следуя идеям Ю.П. Тафеева, уточняется его формула, приведенная в статье в подстрочном примечании [Тафеев, 1953, с. 3]. Показывается, что из полученной уточненной формулы следует основное соотношение работ [Гордин и др., 2006; Тихоцкий, 2011], позволяющее выделить гармонический компонент скалярной величины А Т. Показывается также, что линеаризованное представление поля АТ, указанное В.Н. Страховым [Страхов, 1993], можно непосредственно получить из основной приближенной для АТ формулы Ю.П. Тафеева. Рассматривается функция В.Н. Страхова ДО, значениями которой являются компоненты векторов напряженности аномального поля [Страхов, 1993], описывается опыт ее применения для решения задач магниторазведки.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ КОМПОНЕНТ СКАЛЯРНОЙ МАГНИТНОЙ АНОМАЛИИ АТ
Используя рис. 1, Ю.П. Тафеев показал, что в случае слабых магнитных аномалий величина АТ с некоторой погрешностью есть проекция вектора аномального поля на направление вектора нормального поля. Аналитически это записывается с помощью соотношения [Тафеев, 1953]:
ДТ « Та еosу. (14)
Исходя из скалярного произведения векторов [Зельдович, Мышкис, 1972, с. 287]
Т • Та = ТТа COS у, (15)
где учтено (см. рис. 1), что в данном случае имеем дело с обратным вектором, т.е. Т0 = —Т0, приближенное равенство (14) переписывается следующим образом:
Т0 • Та
ДТ - дт0 = ■
т
(16)
Величину АТ0, как проекцию вектора напряженности аномального магнитного поля на неко-
торое постоянное направление (в данном случае — направление вектора нормального поля), можно рассматривать как функцию гармоническую. Строгие условия гармоничности функции АТ0 указал В.Н. Страхов. Его основное равенство [Страхов, 1993, ф-ла (12)] легко получить из формулы (16), если в нее подставить значения векторов Та и Т0 из соотношений (3) и (4). Это дает:
АТ = ЬХа + 12Га +tзZa, (17)
где
h =
Xп
12 =:
t3 =:
Z0
T0 T T0
(18)
Если принять, что величины 1Ъ ?2 и Ц постоянны и выполняется условие
Т
To
< 1,
(19)
то
V2 (АТо ) = о. (20)
Следуя В.Н. Страхову [Страхов, 1993], функцию АТ0 будем называть также линеаризованным представлением поля АТ, а из изложенного выше очевидны условия ее гармоничности. Все приведенные соображения оправдывают в ряде случаев использование приближенного равенства АТ ~ АТ0, если магнитные аномалии слабые.
Однако, учитывая современную высокую точность аэромагнитной съемки, приближение (16) становится слишком грубым и авторы [Гордин и др., 2006; Тихоцкий, 2011] получили соотношение
AT = AT0 + (Ta)2 (ATo)2 +
0 2 To
(21)
T = T + To2 + 2TaToCosy)1/2.
(22)
Тогда на основании (1):
АТ = (Та2 + То2 + 2ТаТоС08У)1/2 - То. (23)
Разложим равенство (23) в ряд Маклорена по степеням Та и удержим члены с производными не выше второй, т.е. воспользуемся формулой [Корн, Корн, 1973, с. 145]:
А Т (Та) = Д Т(о) + ^ А Т '(о) + ^ д Т "(о) + ... (24)
Выполняя в (24) вычисления, получим:
Д T (o) = o, (25)
AT'(o) = cosy, (26)
Д T "(o) =
1 - cos у
(27)
Подставляя (25)—(27) в ряд (24), окончательно имеем:
л т7 т7 ,1 - cos Y ^2 ,
AT = TaCosY + ' Ta +
2T o
(28)
которое послужило основой для разработанного ими итерационного процесса восстановления АТ0 по АТ.
Используя идею построений Ю.П. Тафеева, получим его уточненную формулу [Тафеев, 1953, с. 3] и покажем, что непосредственно из нее следует формула (21).
Применяя теорему косинусов по отношению к треугольнику, изображенному на рис. 1, а также учитывая, что |Т| = Т, |Та| = Та, |Т0| = Т0, имеем
Таким образом, формула (14) уточнена до второго члена ряда.
Подставляя в формулу (28) значения со8у из скалярного произведения векторов (15), а также принимая во внимание равенство (16), формула (28) немедленно переходит в выражение (21), т.е. таким образом приходим к основной формуле из работ [Гордин и др., 2006; Тихоцкий, 2011]. Следовательно, главная идея построения гармонического компонента по наблюденной величине ДТу Ю.П. Тафеева [Тафеев, 1953] и авторов работ [Гордин и др., 2006; Тихоцкий, 2011] общая. Но в работах [Гордин и др., 2006; Тихоцкий, 2011] разработан алгоритм, позволяющий эту общую идею реализовать на практике и восстанавливать гармонический компонент ДТ0 по полю ДТ по
Т
крайней мере при условии, что — < 0.3.
То
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ В.Н.СТРАХОВА
В статье В.Н. Страхова [Страхов, 1993] и в последующих его публикациях [Страхов, 2000; Страхов и др., 2009] подчеркивается, что ДТявля-ется сложной нелинейной функцией как от значений компонент вектора напряженности аномального магнитного поля, так и от компонент вектора намагниченности аномалеобразующего объекта. Учитывая, что в силу этих обстоятельств аналитическая теория функции ДТ весьма сложная, В.Н. Страхов предлагает новую характеристику аномального магнитного поля Д?, которая является квадратичной функцией от тех же компонент аномального поля и намагниченности тел. В результате аналит
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.