ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 3, с. 48-56
КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ
УДК 004.8
МЕТОДЫ ВЫВОДА ДЛЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ НЕЧЕТКИМИ ВХОДАМИ*
© 2015 г. Д. А. Куценко, В. Г. Синюк
Белгород, БГТУим. В.Г. Шухова Поступила в редакцию 11.02.14 г., после доработки 20.10.14 г.
При нечетком моделировании на входы моделируемых нечетких систем может поступать как точная, так и расплывчатая информация. Известные методы нечеткого логического вывода для нечетких входных значений имеют либо низкую вычислительную эффективность, либо не позволяют использовать все многообразие нечетких логических операций. В работе описывается новый метод логического вывода на основе нечеткой степени истинности для систем со многими входами, на которые поступают нечеткие входные значения. Проводится сравнение метода с исходным методом Заде и популярным методом Мамдани, а также показывается вычислительная эффективность предложенного метода. Метод обобщается до систем с блоком правил.
Б01: 10.7868/80002338815030129
Введение. Продукционные модели, также известные как модели, основанные на правилах "Если..., то...", широко используются с конца 1960-х гг. в качестве базы для построения экспертных систем. В середине 1970-х гг. они были перенесены из классической в нечеткую логику, что позволило решать ряд задач, которые невозможно было решить традиционными математическими методами, и повлекло создание новых направлений искусственного интеллекта, таких как нечеткие экспертные системы и нечеткое управление.
За последние десятилетия было предложено множество различных методов нечеткого логического вывода, позволяющих получить выход системы на основе знаний, заложенных в нечеткую модель. Согласно классификации, приведенной в [1], все методы можно разделить на три типа — логического, типа Мамдани и типа Такаги—Сугено. Второй тип связан с работой Э. Мамдани [2], в которой был предложен эффективный метод вывода для случая, когда на входы системы поступают четкие скалярные значения. В этом методе используется декартово произведение вместо классической импликации для моделирования логического вывода по каждому из правил и взятие максимума вместо минимума для объединения результатов, полученных по отдельным правилам, что в совокупности является значительным отступлением от традиций, принятых в классических логических системах, но позволяет упростить процесс получения выходного значения. Кроме того, при использовании четких скалярных входных значений недостатки метода не проявляются, поэтому он стал самым популярным и оказал существенное влияние на дальнейшее развитие нечеткой логики (см. [3—6]).
В последнее время неоднократно отмечалось (см., например, [7]), что метод Мамдани может оказаться неадекватным для решения задач, когда входные значения представляют собой нечеткие множества. Такие задачи возникают в случае, когда исходные данные не являются четкими либо по своей природе (например, лингвистические значения), либо обладают другими НЕ-фак-торами [8], такими, как неточность, неопределенность и недоопределенность, которые могут быть преобразованы в нечеткость.
В данной статье рассматриваются методы вывода с полиномиальной вычислительной сложностью для нечетких систем логического типа и типа Мамдани при п нечетких входах.
1. Постановка задачи. Задача, которая решается с помощью нечеткой продукционной системы, формулируется следующим образом. Рассмотрим систему с п входами х1, ..., хп и одним выходом у, представленными одноименными лингвистическими переменными. Пусть X] — базовое
множество значений 1-го входа системы, XI е X, I = 1, п ; У — базовое множество значений выхода
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-07-00154а).
системы, y е Y. Введем следующие обозначения. Пусть Fuzzy(Z) — множество, состоящее из всех нечетких подмножеств множества Z, и^: Z ^ [0, 1] —функция принадлежности нечеткого множества F е Fuzzy(Z). Взаимосвязь входов и выхода в системе описывается с помощью N нечетких правил следующего вида:
Rk: Если (x1 есть Aik) и ... и (xn есть Ank), то (y есть Bk), k = 1, N, (1.1)
где Aik е Fuzzy(X1), ..., A nk е Fuzzy(Xn) — термы из терм-множеств входных лингвистических переменных х1, ..., xn соответственно, из которых сформирован антецедент k-го правила; Bk е е Fuzzy(Y)—терм из терм-множества выходной лингвистической переменной у, с помощью которого образуется консеквент k-го правила.
Пусть заданы нечеткие множества Ае Fuzzy(X), i = 1, n , представляющие собой реальные
значения входов x1, ..., xn. Задача заключается в определении выхода системы B е Fuzzy(Y).
Особенность систем логического типа, согласно классификации, приведенной в [1], заключается в том, что правило (1.1) формализуется с использованием нечеткой импликации в виде
нечеткого отношения Rk е Fuzzy(X1 х ... х Xn х Y) следующим образом:
Bk = (Ai k х...х A nk) ^ Bk, k = 1, N,
где — нечеткая импликация, выражающая причинно-следственную связь между антецедентом "<x1 есть bik ) и ... и <xn есть A nk )" и консеквентом (у есть Bk ) k-ro правила.
2. Метод вывода Заде. В теории построения нечетких продукционных систем основополагающей считается работа [9], в которой Л. Заде предложил так называемое композиционное правило вывода (КПВ), позволяющее описывать зависимость между входом и выходом системы, указанную в правиле, в виде композиции нечетких отношений.
Рассмотрим систему с одним входом x е X, одним выходом y е Yи одним правилом "Если
(x есть A), то (у есть B)", основанную на нечетком расширении классического дедуктивного умозаключения modus ponens (обобщенном modus ponens), которое является частным случаем КПВ. Оно представляется следующим образом:
Если (x есть A), то (y есть B) (посылка 1, правило)
(x есть A') (посылка 2, факт)
(y есть B) (заключение, результат)
В методе Заде правило "Если (x есть A ), то (y есть B)" выражается с помощью нечеткого бинарного отношения R е Fuzzy (X х Y) с функцией принадлежности ив (x, у) = I(^ (x), Ив (у)), где I:
[0, 1] х [0, 1] ^ [0, 1] — операция нечеткой импликации. Выходное значение B' в соответствии с методом определяется по формуле
B = B ° R, (2.1)
где "°" — операция композиции нечетких отношений. В терминах функций принадлежности при использовании sup-i-композиции (2.1) перепишется следующим образом:
t
^bcv ) = suP{и в'(x) * 1(и~Л (x x ив (у ))}, (2.2)
x е X
t
где " * " может быть любой i-нормой. Согласно определению [10—12], двухместная функция Т: [0, 1] х [0, 1] ^ [0, 1] (т.е. бинарная операция на [0, 1]) называется треугольной нормой (¿-нормой), если она:
1) неубывающая: Т(а, с) < T(b, d) для а < b, с < d, где а, b, c, d е [0, 1];
2) коммутативная: Т(а, b) = T(b, а);
3) ассоциативная: Т(Т(а, b), с) = Т(а, T(b, с));
4) удовлетворяет граничным условиям: Т(а, 1) = Т(1, а) = а, Т(а, 0) = Т(0, а) = 0. Примерами í-норм могут служить взятие минимума Тм(а, b) = min{a, b}, арифметическое произведение ТР(а, b) = а • b и í-норма Лукасевича Т£(а, b) = max{a + b — 1, 0}. С учетом вышеприведенных свойств будем использовать обозначения для и-мерного случая:
T
а,- = T
С \
T аЬ an = T (а1, ..., an) = а1 * ... T an.
I = 1, п I = 1, п - 1
Двойственной к ¿-норме Т(а, Ь) является функция С(а, Ь), называемая треугольной конормой (¿-конормой):
8(а, Ь) = 1 - Т(1 - а, 1 - Ь).
Для п-местной ¿-конормы будем использовать следующие обозначения:
/ Л
с а = $ с а, ап = 8(а1,..., ап).
— V —— У
I = 1, п I = 1, п - 1
Главным недостатком метода Заде, затрудняющим его практическую реализацию при использовании нечетких входных значений А1, Ап, в общем случае является экспоненциально возрастающая сложность вычисления выхода при увеличении количества входов в системе. Например, для системы с п независимыми входами х1, ..., хп, на которые поданы нечеткие значения А1, ..., Ап соответственно, вывод выходного нечеткого значения В' принимает вид Если (х1 есть А1) и ... и (хп есть Ап), то (у есть В), (х1 есть А^ и ... и (хп есть Ап)
(y есть B') и осуществляется следующим образом:
С
I Т> , , ч , t ,
sup
(х1, Х„) е .X Xi i = 1, n i = 1, n
V¿,(y) = sup i T {Va'(xi)} * I T {VAi(xi)},V¿(У(2.3)
n I __V __y I
í-r. -V- \ с V Y ^ .■ 1 .. 1 .. ' ->
где супремум нужно брать по всем п-кам (х1, ..., хп) е Х1 х ... х Хп, что определяет порядок сложности вычисления 0(|Х|п).
3. Метод вывода на основе нечеткой степени истинности. Рассмотрим соотношение (2.2). Используя правило истинностной модификации [13, 14], можно записать
Мх) = Иер (А, Я)(ИА (х)),
где ИеР(А А) (т) — функция принадлежности нечеткой степени истинности СР(А, А) нечеткого множества А относительно А , представляющей собой совместимость терма А по отношению ко входному значению А [15] согласно определению:
Иер(А,А■)(т) = ИА'(х).
х е X ЦА(х) = т
Вычислительная сложность данного выражения составляет 0(|Х|2). Отметим, что при кусочно-линейных Иа (х) и Иа (х) функцию ИеР(А А) (т) можно получить в аналитической форме с помощью метода, предложенного в [16].
Перейдем от переменной х к переменной т, обозначив т = и^ (х). Получим
И^,(х) = Иер (Я Я)(И^(х)) = ИеР^Я Я)(т).
Функцию принадлежности бинарного нечеткого отношения Я е Fuzzy(X х У) тогда можно представить как
Ия(Л У) = 1(Иа(хХ Ид(у)) = 1(Л ^¿(у)).
где I: [0, 1] х [0, 1] ^ [0, 1] — операция нечеткой импликации. Таким образом, (2.2) с учетом приведенных выше соотношений выражается следующей формулой:
МУ) = ШР {Иср(А А')(т) * 1 (т'Ид(У))}. (3.1)
те[0 , 1 ]
Для обобщения (3.1) для систем с п независимыми входами следует доказать следующее утверждение.
Утверждение. Если С и В — нечеткие суждения, соответственно имеющие вид С = <(хь ...,хп) есть (А1 и ... и Ап)},
В = <(х1, ...,хп) есть (А1 и ... и Ап)},
где АI, А, е Fuzzy(X■), ■ = 1, п , то значение истинности нечеткого суждения В относительно С записывается следующим образом:
СР(В, С) = Т СР(А, А'), (3.2)
, = 1, п
причем данное выражение имеет полиномиальную вычислительную сложность. Здесь СР(АI, А■) — значение истинности А, относительно А■, а Т — расширенная по принципу обобщения п-местная ¿-норма [17]:
И ^в(А у, (т) = йиР \
" ^, = Г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.