ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2009, том 35, № 12, с. 1075-1084
МАГНИТНЫЕ ЛОВУШКИ
УДК 533.951.8
МГД-СТАБИЛИЗАЦИЯ ПЛАЗМЫ В ЦЕПОЧКЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ОТКРЫТЫХ ЛОВУШЕК
© 2009 г. В. В. Арсенин*, П. Н. Терёхин*, **
* РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза, Москва, Россия ** Московский инженерно-физический институт (Национальный исследовательский ядерный университет), Россия Поступила в редакцию 18.06.2009 г.
Анализируются условия конвективной устойчивости плазмы в цепочке осесимметричных адиабатических ловушек с разным знаком кривизны магнитного поля. Найдены границы области, которую может занимать устойчивая полая плазма в системе из соединенных непараксиальной простой ловушки и полукаспа, и допустимый интервал отношения давлений в этих ячейках. Благодаря большой кривизне поля в составляющих ловушках, запас устойчивости, достигающейся на обеих — внешней и внутренней — границах плазмы по принципу среднего штВ, может быть не мал. Предполагается, что в каждой ячейке невозмущенное давление близко к изотропному, для чего нужно, чтобы пробочное отношение было велико. Для устойчивости существен эффект сжимаемости плазмы. Проведено также сравнение условий полной, относительно произвольных возмущений, стабилизации плазмы в цепочке и условий устойчивости отдельных ловушек относительно глобальной моды. Устойчивость ячеек относительно глобальной моды достаточна, но не является необходимой для стабилизации цепочки. Анализ проделан с использованием ортогональных координат, связанных с невозмущенным магнитным полем (потоковые переменные). Численные расчеты выполнены для непараксиальных ловушек, относящихся к некоторому трехпараметрическому семейству.
РАСЯ: 52.35.Py, 52.55.Jd
1. ВВЕДЕНИЕ
В простой осесимметричной открытой ловушке плазма с естественным, со спадом к пробкам, распределением давления вдоль магнитного поля В подвержена конвективной (желобковой) неустойчивости [1]. Хотя на силовых линиях В в ловушке имеются участки не только с неблагоприятной для устойчивости кривизной, но и с благоприятной (окрестности пробок, где силовые линии вогнуты в плазму), стабилизирующего действия припробочных областей оказывается недостаточно из-за того, что поле в них больше, а давление плазмы меньше, чем в основной области удержания, где кривизна плохая. Устойчивость — по принципу среднего штВ — достигается для распределений с заметной долей "плещущихся" частиц, давление которых имеет около пробок острые максимумы [2, 3]1. Однако, чтобы эти максимумы не расплывались из-за соударений, энергии плещущихся частиц должны быть весьма велики. При естественных распределениях по питч-углу добиться устойчивости можно, если участки с противоположным знаком кривизны поля разделены дополнительной пробкой, с тем
1 На поддержании отдельной популяции частиц, с достаточно большим давлением, в области благоприятной кривизны за пробкой основан "кинетический стабилизатор", предложенный Постом, см., например, [4].
чтобы давления на этих участках регулировать независимо. Хорошо известна (см., например, [5]) стабилизация плазмы в простой ловушке "якорем" -каспом, получающаяся при достаточно большом давлении в каспе. Однако при этом устойчивость достигается ценой повышенных потерь плазмы из неадиабатической области кас-па. Стабилизация возможна и в системе целиком адиабатических ловушек при наличии ячеек с магнитной ямой. Такие ячейки существуют — ловушки Андреолетти—Фюрта [6, 7], но яма в них мелкая. Как показано в [8, 9], достаточно жесткая стабилизация осуществима в цепочке из не имеющих магнитной ямы адиабатических ловушек, если у кривизны силовых линий в составляющих ячейках разный знак и хотя бы в одной из этих ловушек магнитное поле сильно неоднородно; спад поля в отдельных ячейках в сторону выпуклости силовых линий должен удовлетворять некоторым требованиям.
Разнообразные конфигурации такого типа можно создать, если допустить размещение токонесущих обмоток между плазмой и осью, см. [10]. Наибольший интерес представляют, однако простейшие системы без подобных обмоток. К ним относится, например, комбинация непараксиальной простой ловушки ("пробкотрона") 1 и каспа (вернее, "полукаспа") 2, когда в обеих ловушках плазма располагается на общих силовых
г
- г ' т
' 1 V ■■■;
/ 1
^ £ \ /
\ V У у
£т
£пи11 £
Рис. 1. Пример конфигурации из двух ловушек с разным знаком кривизны магнитного поля — комбинация пробкотрон + полукасп.
линиях, не пересекающих область неадиабатич-ности в окрестности нуля поля в каспе, так что мы имеем "полую" плазму, рис. 1 [11]. Если электрическая связь между ячейками 1 и 2 отсутствует (нет "соединительной" плазмы, например, пролетных частиц), то в обеих ячейках плазма неустойчива, причем в ловушке 1 неустойчивость развивается на внешней границе, а в ловушке 2 — на внутренней, обращенной к нулю поля. При наличии же соединительной плазмы, обладающей высокой проводимостью вдоль В, желобковые колебания становятся общими (возмущение потенциала постоянно вдоль силовой линии по всей системе), и возможна ситуация, когда благоприятной кривизны поля на внешней границе в каспе хватает для стабилизации всей внешней границы, а благоприятной кривизны на внутренней границе в пробкотроне — для стабилизации всей внутренней границы [11]. При этом для устойчивости требуется, чтобы отношение давлений плазмы в ловушках, р2/р1, лежало в некотором интервале. Поддерживать нужное отношение можно, контролируя плотности популяций запертых частиц в ловушках.
Поскольку характер и величина потерь частиц из ловушек и, значит, детальный вид распределений при заданной инжекции (или нагреве) и соответствующие величины давлений заранее не известны, так что контролировать давления р12 с высокой точностью трудно, с точки зрения практической реализуемости подобной системы представляет интерес вопрос о ширине интервала р2/р1, в котором достигается стабилизация. Важно также, что чем шире этот интервал, тем стабилизация жестче. Вопрос о допустимых пределах изменения р2/р1 анализируется в настоящей работе. Рассматривается также соотношение между устойчивостью системы соединенных ловушек относительно всех желобковых мод и устойчиво-
стью отдельных ячеек относительно первой ("глобальной") моды. Устойчивость составляющих частей относительно глобальной моды является достаточной для стабилизации системы в целом относительно произвольных возмущений. Численные расчеты сделаны для конфигурации вида [11] из простой ловушки и полукаспа. Подчеркнем еще раз, что речь идет о системе с адиабатическим удержанием частиц, в неадиабатической же области около нуля поля в каспе плазмы нет (анализ устойчивости плазмы в комбинации простой ловушки и каспа в случае, когда область неадиабатичности заполнена плазмой, проделан в [12])2.
2. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Рассматривается бесстолкновительная плазма
низкого давления р = 8пр/В ■ 1, удерживаемая в двух соединенных ловушках. В пренебрежении конечностью ларморовского радиуса границу МГД-устойчивости бесстолкновительной плазмы можно найти, используя подход Крускала-Обер-мана [14, 15], в котором подсчитываются вклады в потенциальную энергию возмущения, вносимые группами частиц с различными значениями энергии и магнитного момента, определяющих движение частицы вдоль В. В системе имеется 3 популяции частиц: запертые в ловушках 1, 2 и общие — пролетные. Предполагается, что пробочные отношения большие, так что пролетных частиц мало (но, тем не менее, в соединительной области продольная проводимость велика, и возмущение электрического потенциала постоянно
з
вдоль силовой линии В по всей системе ), а невозмущенные распределения запертых частиц близки к изотропным. При этом в выражении для потенциальной энергии возмущения, являющейся суммой вкладов перечисленных популяций,
жко =
(1)
слагаемое, относящееся к пролетным частицам, мало, а для вкладов популяций 1, 2 запертых ча-
' Обсуждалось стабилизирующее действие концевого полукаспа с пустой областью неадиабатичности на первую азимутальную моду желобковых колебаний в длинной ловушке [13].
Пролетные частицы горячей компоненты имеются, если пробка между ловушками 1 и 2 слабее концевых. Соединительной плазмой с плотностью меньше, чем в ячейках 1, 2, но с высокой проводимостью, может также служить относительно холодная компонента, удерживаемая амбиполяр-ным потенциалом, как в амбиполярной (тандемной) ловушке [16, 17].
0
Л
стиц, согласно теореме сравнения [14, 15], справедливы соотношения
П
игко ^ ллгмн°
Wi,2 > Wi 2
C |^(Pi, 2Ui5/23)'|Ф2(у)dy. (2)
A U 1,2
Ay
Здесь C > 0 — постоянная, p12(у) — невозмущенные давления в ловушках 1, 2, и
UM(y) = J"
di в'
(3)
Xmaxi, 2
U1,2( V) = \ BX,
(5)
где Хш1п1.2 и Хтах1,2 - границы интервалов по х, занимаемых плазмой в ловушках 1, 2.
Условие (4) не совпадает с критерием устойчивости, получаемым в простейшей МГД-модели при изотропном и одинаковом по всей длине системы невозмущенном давлении и имеющим вид [19, 20]
p'U'+ 5pU'2 = U-3(pU5/3)' > 0, 3U U5/3
(6)
П
5 ¥ ¥
¥0
¥
интегрирование по длине I ведется вдоль силовой линии в ячейке 1 или 2, ф (у) — амплитуда возмущения электрического потенциала ф = ф(у )ехр(ш&) (& — азимутальный угол), штрих означает производную по потоковой переменной у (метка магнитной поверхности, у = rAs); Ay — слой, занимаемый плазмой. Индексы KO и MHD относятся, соответственно, к описанию по Крускалу-Обер-ману и к МГД-модели. Для устойчивости достаточно [18], чтобы на всех магнитных поверхностях в плазме было
Ur5/3Ui(piUi5/3)' + u2-5/3u2(p2u25/3) ' > 0. (4)
Вместо I удобно пользоваться другой продольной координатой — скалярным потенциалом х (B = Vx); поверхности у = const и х = const ортогональны. Тогда
Рис. 2. Профиль нормализованного давления П(у). Сплошная линия — функция П(у) с выраженным максимумом; штриховая линия — случай значительно уплощенного максимума; пунктир — прямоугольный профиль (резкие границы плазмы). Отдельно: граница конечной толщины 5у.
и'1 > 0, в каспе и2 < 0); 2) имеется параметр р2/р1, которому можно придавать произвольное желаемое значение, — кр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.