ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2008, том 34, № 5, с. 387-392
МАГНИТНЫЕ ЛОВУШКИ
УДК 533.951.8
МГД-УСТОИЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ КОНЕЧНОГО ДАВЛЕНИЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ ПОЛОИДАЛЬНОГО ПОЛЯ
© 2008 г. В. В. Арсенин
РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза, Москва, Россия
Поступила в редакцию 15.11.2007 г.
Приведена система линейных интегро-дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять компоненты смещения плазмы, минимизирующего крускал-обермановский функционал потенциальной энергии МГД-возмущения. Границе устойчивости отвечает обращение в нуль низшего собственного значения этой системы.
PACS: 52.35.Py
1. В ловушках с замкнутыми силовыми линиями магнитного поля и в открытых ловушках возможна МГД-устойчивость плазмы в отсутствие магнитной ямы, если удерживающее магнитное поле B сильно неоднородное: \—B/B| > \—p/p |, p -газокинетическое давление. В МГД-модели с изотропным давлением стабилизация сильной неоднородностью магнитного поля проявляется как эффект сжимаемости плазмы, и критерий конвективной устойчивости имеет вид [1, 2]
—p ■ — U + Yp> 0, (1)
U = JB 1 dl, интегрирование ведется по длине
плазмы вдоль силовой линии, равновесные поверхности p = const совпадают с поверхностями U = const, у = 5/3 - показатель адиабаты; считается, что —p • —U < 0. Безразлично (гранично) устойчивый (Г = 0 для возмущений ^ ехр(Г)) профиль давления, которому отвечает знак равенства в (1), есть
p* = po(U0) Y, (2)
индекс 0 относится к значениям на некоторой выбранной магнитной поверхности.
В кинетической модели Крускала-Обермана [3, 4], которая адекватно описывает МГД-устой-чивость бесстолкновительной плазмы и в которой в отличие от МГД-модели не предполагается, что в колебаниях успевает происходить изотро-пизация давления, стабилизирующее действие сильной неоднородности поля также имеет место. При этом, как продемонстрировано в [5, 6], для плазмы с изотропным невозмущенным давлением p (в случае открытой ловушки для пригодно-
сти приближения изотропного невозмущенного давления необходимо, чтобы пробочное отношение было велико) при в = 2р/В2 <§ 1, формально в = 0, конвективной устойчивостью допускаются
профили р, спадающие с и круче, чем (2)1. Характер зависимости р(и) существен для ее реализации.
Предмет настоящей работы - получение условий устойчивости по Крускалу-Оберману при в Ф 0. Отыскание устойчивых профилей р при конечных в может представлять интерес, например, для конфигураций с обращенным полем (РЯС) и для ловушек с омываемыми плазмой проводниками [9-11] (в частности, их недавно осуществленных версий [12-14]). Полученные уравнения справедливы также для стабилизирующих дивер-торных ячеек [15, 16] замкнутой системы вроде [17], в которой допустимое давление определяется устойчивостью относительно баллонной моды, развивающейся на криволинейных участках между диверторами [18], и может быть не мало. Пример конфигурации, устойчивость плазмы в которой (описываемая теми же уравнениями) чувствительна уже к небольшим в, - цепочка ловушек со знакопеременной кривизной [19], где стабилизация основана на компенсации действия кривизны в соседних ячейках и баллонный эффект способен нарушить такую компенсацию; подобной системой является устойчивая при в —- 0 комбинация непараксиального пробкотрона и каспа [20]. Заметим, что при описании МГД-устойчивости электронно-горячей плазмы (в которой давление электронов много больше, чем ионов) должна использоваться именно модель Крускала-Обермана, поскольку баунс-частота частиц горячей,
1 При в = 0 расчеты устойчивых профилей в некоторых ти-
пах ловушек проделаны и для анизотропного давления, см., в частности, [5, 7, 8].
определяющей устойчивость компоненты много больше частоты (инкремента) колебаний. Осе-симметричная геометрия сильно неоднородного поля реализуется, в частности, в источнике многозарядных ионов с электронно-горячей плазмой [21].
2. Рассматриваются осесимметричные конфигурации полоидального магнитного поля. Подобная геометрия свойственна РЯС, ряду ловушек типа [9-11], включая [12-14], и "простой" (без муль-типольных обмоток) открытой ловушке с прямой осью. Что касается замкнутой ("тороидальной") системы со стабилизирующими непараксиальными ячейками, например, диверторными [17], то реальна ситуация, когда эти ячейки практически осесимметричные, а тороидальное искривление происходит на участках магнитной силовой линии между ними. В таком случае при большом пробочном отношении, когда пролетных частиц (испытывающих действие кривизны тора) мало, основную роль в устойчивости играют частицы, запертые в почти осесимметричных ячейках, и в пренебрежении малым вкладом пролетных частиц и малым отклонением от осевой симметрии в ячейке и здесь, в задаче об устойчивости, будем иметь геометрию открытой ловушки с прямой осью.
Вводятся ортогональные координаты: потоковая у, азимутальный угол Ф и координата х, отсчитываемая вдоль равновесного магнитного поля В = ехВ; при этом V = гве^Э/Эу + (1/г)еФЭ/ЭФ + + (1//В)ехЭ/Э%, где еу, еф, ех - единичные векторы, г - расстояние от оси, элемент длины силовой линии = 3вШх, элемент объема ШУ = ЗШуШФШх, якобиан
3 = — ехоI 4ШРШУ-
3 в2 РI J Шу'в2
(3)
В
Э 1п 3 ___ Шр = _2_ _Э_(
_ ' " в2ду V + 2
(4)
3е¥-((В • у)В) = --еу к,
W
= |( + ) Шу.
(5)
Здесь - "универсальное", одинаковое в МГД и крускал-обермановской моделях, слагаемое,
= 2 I
дХ Эу
1 (ЭX)2 / (Э г2
г2 в23
22
+ —I +
т
23
+ в2 3 (¥ + г! +2 3 $-- X ( ЭХ- + У\ +
Шу чЭу
(6)
+ С_/Ш— X2
+ ЭуШу ] х'
где Х(у, х), У(у, х) связаны с компонентами смещения Х± соотношениями2
^у = _Х яп т (Ф - Фо)' г
= — У008 т (Ф - Ф 0)
т
(7)
(8)
(фаза Ф0 для дальнейшего несущественна), интегрирование ведется по всему интервалу х0 изменения х по длине ловушки. "Кинетический" член
1/в„
Мк
= __ пр I ^'
(9)
¿(уД) = ||[ 1-3 хв(у,х)
Э 1п зв
Эу
Х+
+_ * всу.х>( ЭЭу3 X+эу+у)
(10)
звшх
При в = 0 величина х переходит в скалярный магнитный потенциал (—х = В). Справедливы соотношения (уравнения равновесия)
л/Т-Щух)'
Т(у, X) = I
звшх
71- хв (у, х)'
(11)
Эу в2 Шу
= -_2_ гв3
где к = (ех ■ У)ех = еук - кривизна силовой линии; для магнитного поля принята рационализированная шкала (В/Т4Л — В).
Выражение для потенциальной энергии возмущения, локализованного внутри плазмы, имеет вид (см. [2, 4])
вт1п(у) - значение поля в минимуме на силовой линии, интегрирование по х в (10), (11) должно для запертых частиц вестись между точками поворота, в которых в = 1/Х, а для пролетных - по всей длине силовой линии в случае ловушки с замкнутыми силовыми линиями и по периоду в случае прямой периодической цепочки (в последнем случае рассматриваются возмущения, имеющие тот же период).
Азимутальное число т фигурирует лишь во втором слагаемом в подынтегральном выраже-
2 При в = 0, когда У = -ЭХ/Эу, величина X пропорциональна (отличается множителем тс/Г) потенциалу поперечного
(±В) электрического поля возмущения Е ± = -Уф.
о
X
нии в (6). Интересуясь самыми жесткими, среди мод с различными т, условиями устойчивости, будем это положительное слагаемое опускать (полагать |т | > 1).
Для есть ограничение снизу [3, 4]
[I
WK > WL = 6 п p х
w*+Щ + Y) Ч V Jdx)-'.
(12)
rfdlnJ
iPx + 52 Y + 5 p^
dy 3
X+ Y Jdx
I JdX
— 0.
Его решение есть
1 dp
C
Y ^ — — —~ —-— X + —~,
* B2dV B
(13)
(14)
где, с учетом (4),
C—
p
12rB XJdx
1 + 5 I B 2 J dX
3 P IJdX .
(15)
I JdX
Минимизация по X, проводимая при нормировке IpX2 JdX — const Ф 0, (16)
где p(y, х) - положительная функция, эквивалентна минимизации функционала (wL
+ wL)/IpX2 Jdx. Уравнение Эйлера
- i-Г_J_dX| + f_ ApJ + df J)X +
+
dXf r2 B2 J dX
rfd ln J
dp fT/ 5 ЭJIf dy
+ jJY + ^--
dy 3 dy
d ydy
X+ Y JdX
(17)
I JdX
— 0,
В случае прямой периодической цепочки ловушек будем для простоты считать, что отдельная ловушка (составляющая период 2хе) имеет экваториальную плоскость симметрии. В этом случае, выделяя занятый одной ловушкой интервал -Хе < X - Хе, поставим граничные условия
dX dX
— 0,
(19)
3. Заменив на wL, можно получить минимизацией функционала wU + wL по Y и по X (см., например, [22]) достаточное условие устойчивости. Величина Y входит в wU + wL только в комбинации
с ЭХ/Эу. Введем Y = Y + ЭХ/Эу. При минимизации
wU + wL по Y имеем уравнение Эйлера
допускающие решение желобкового вида и баллонную моду. Решения, удовлетворяющие (19), периодичны с периодом 2хе, если они четные Х(у, -х) = Х(у, х), и с периодом 4хе, если нечетные. Следует подчеркнуть, что в действительности для цепочки ловушек с естественным, нескачкообразным, ходом В(х) возникает лишь требование непрерывности X и дХ/дх на границе между ячейками, и в случае периодической системы из него вовсе не вытекают требование периодичности возмущения и условия (19). Принятая нами периодичность Х по х фактически означает, что речь идет об устойчивости одиночной ловушки, а периодическое "продолжение" позволяет избежать трудности формулировки граничных условий на торцах. Задача об устойчивости цепочки ловушек без предположений типа (19) рассмотрена в разд. 5.
Условие того, что минимум функционала wU + + wL при нормировке (16), или, что эквивалентно,
минимум функционала + wL)(|рХ2 МхУ1, не
отрицателен, состоит в отсутствии при любом у отрицательных собственных значений Л у системы (13), (17) при дополнительном требовании (18) (или (19)). Подстановкой (14) в (17) с использованием (4) это условие сводится к отсутствию собственных значений Л < 0 у интегро-дифференци-ального уравнения
Af 1 dX) + f 2К dp
dXf r2 В2 J f rBd y
+ Лр JX —
— 2k j_
rB f
З3p 1I XJdX
(20)
где Л - множитель Лагранжа (значение минимума + wL)/|рХ2 М%). Если силовые линии замкнуты, дополнительным ("граничным") условием к (17)является
Х(у,х + хо) = Х(у, х). (18)
5 IB— JdX),
1 + 5 J JI JdX
(совпадает с уравнением (6.28) работы [2]) при том же требовании (18) ((19)).
Для определенности будем рассматривать прямую цепочку. Будем различать возмущения двух классов. В первом интегральное слагаемое в (20) отлично от нуля. Решение задачи (20), (19), в ко-
х
тором X(х) не имеет нулей, находится н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.