ЯДРА
МИКРОСКОПИЧЕСКИЙ К +-ЯДЕРНЫЙ ОПТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ РАСЧЕТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ И ПОЛНЫХ СЕЧЕНИЙ РЕАКЦИИ
©2010г. В. К. Лукьянов^*, Е. В. Земляная1), К. В. Лукьянов1^ К. М. Ханна2)
Поступила в редакцию 28.12.2009 г.
Рассчитаны дифференциальные сечения упругого рассеяния и полные сечения реакций К + -мезонов с ядрами 12С, 40Са при импульсах пучка 0.635, 0.715 и 0.8 ГэВ/с. В расчетах используется микроскопический оптический потенциал (ОП), полученный на основе высокоэнергетического приближения. Он определяется амплитудой каон-нуклонного рассеяния и функцией распределения плотности точечных нуклонов ядра-мишени. В этом же приближении уравнение Клейна—Гордона—Фока сводится к форме уравнения Шредингера. Показано, что небольшие различия в способах получения последнего не приводят к видимым различиям в дифференциальных сечениях, но сами эффекты релятивизации весьма велики. Получено хорошее согласие с экспериментальными данными упругого К+А-рассеяния. Согласовать результаты по полным сечениям реакций удается за счет добавления к ОП его производной с максимумом на периферии, вклад которой определяется подгонкой.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что в силу особенностей своей внутренней структуры K + -мезоны с импульсами ниже 1 ГэВ/с взаимодействуют с нуклонами гораздо слабее, чем сами нуклоны с нуклонами. Полные сечения этих частиц различаются примерно в 5 раз, и соответственно длина пробега K+-мезонов в ядре на столько же превышает длину пробега падающего нуклона. Таким образом, K + -мезоны довольно свободно проникают в центральную область ядра, успевая совершить в основом однократные K+N-соударения, и являются хорошим "пробником" при изучении распределения нейтронов в ядрах, в то время как электроны используются в качестве "пробника" распределения ядерных протонов. Это является причиной постоянного внимания к имеющимся экспериментальным данным по дифференциальным сечениям упругого рассеяния [1, 2] и полным сечениям реакций [3— 7] каонов с ядрами. Так, в одной из первых теоретических работ [8] рассчитывались дифференциальные сечения упругого и неупругого рассеяния K ± -мезонов с импульсом 0.8 ГэВ/с на ядрах 12C и 40Ca. Использовалась амплитуда высокоэнергетического многократного рассеяния теории
1)Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия.
2)Отдел теоретической и математической физики, НИЦ,
Комитет по атомной энергии, Каир, Египет.
E-mail: lukyanov@theor.jinr.ru
Глаубера [9]. Сделан вывод о малом вкладе в сечение поправок на перерассеяние каона в ядре, а выявленное расхождение теории с экспериментом авторы [8] относят на счет "неопределенности" элементарной К-амплитуды в ядерной среде. Глауберовский подход применялся также в работе [10] при расчете упругого и неупругого рассеяния К + -мезонов на ядрах 6'7Ы, где тоже использовалась амплитуда свободного К-рассеяния, а смысл работы состоял в применении для этих ядер кластерных моделей типа а2N и а! В работе [11] был построен каон-ядерный оптический потенциал на основе ¿-матрицы К-рассеяния, а волновые функции ядерных нуклонов рассчитывлись в поле потенциальной ямы. Согласие с экспериментальными данными достигалось за счет увеличения на 10—15% вклада 5ц-фазы в К+N-амплитуде, что связывалось с влиянием ядерной среды. Позднее, в [12] для расчета упругого рассеяния К+-мезонов использовалась локальная версия [13] потенциала Кисслингера [14], предложенного ранее для пион-ядерного рассеяния. Здесь также пришлось увеличивать на 10—15% вклад 5ц-фазы, чтобы получить согласие с экспериментом. Еще одна попытка найти адекватный К+-ядерный, но уже феноменологический, потенциал рассеяния была предпринята в работе [15], где шестипараметриче-ский потенциал Вудса—Саксона подгонялся к данным упругого рассеяния. Однако здесь проявилась известная неоднозначность в выборе параметров (в работе приводится по четыре набора параметров для каждой энергии и заданного ядра). Частич-
Таблица 1. Параметры двух- и трехпараметрической функций ферми-распределения плотности точечных нуклонов ядра 12 C
Таблица 2. Параметры К-амплитуды рассеяния согласно подгонке[24]
&1аЬ, ГэВ/с V Фм2 ГГП Фм2 Р °к «к Фм2 вп, Фм2
с, Фм а, Фм и) у/(г2), Фм Литература
2.275 0.393 2.289 [19,20] 0.635 1.311 1.555 -1.688 -0.463 0.151 0.0014
2.1545 0.425 2.298 [22] 0.715 1.32 1.67 -1.467 -0.373 0.0114 0.0015
2.002 0.383 0.540 2.322 [23] 0.800 1.32 1.70 -1.31 -0.323 0.01 0.00135
но такую неоднозначность можно устранить, если привлекать данные по неупругому рассеянию и полным К+-ядерным сечениям. И все же большое число параметров феноменологического потенциала, разных для различных входных данных расчета, заставляет возвращаться к поиску адекватных моделей именно микроскопических потенциалов, в которых нет свободных параметров, а используются известные данные о структуре ядра и амплитуде К+N-рассеяния. Это позволило бы установить такие основные характеристики потенциала, как его форма и зависимость от энергии столкновения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
В настоящей работе мы берем за основу весьма простой в использовании микроскопический оптический потенциал (ОП), полученный в [16] на основе выражения для амплитуды нерелятивистской теории высокоэнергетического рассеяния сложных систем [9, 17, 18] в ее так называемом оптическом пределе. По сути это есть модель ОП в приближении однократного рассеяния каонов на нуклонах ядра, где элементарная амплитуда К+N-рассеяния суммируется по всем нуклонам ядра, а распределение (точечных) нуклонов задается соответствующей функцией плотности. Обе эти величины известны, вообще говоря, из обработки данных независимых экспериментов. Такая модель весьма схожа с моделью фолдинга, однако в последней вместо К+N-амплитуды фигурирует потенциал элементарного взаимодействия падающей частицы с нуклонами ядра-мишени. Итак, согласно [16] имеем
1/н = УН + = (1)
(2п)2
те
х °к(а* + г) йдд2]о(дт)р^(д)^(д)
и=р,п 0
(К = С = 1).
Здесь рп(д) и рр(д) — формфакторы функций распределения плотностей точечных нейтронов и протонов ядра. Для ядер 12С и 40Ca можно считать
эти плотности равными (рп(г) = рР(г)). Для рр мы берем двухпараметрические симметризованные ферми-функции, параметры которых приведены в [19], а сами они были получены в ходе подгонки [20] рассчитанных формфакторов электрон-ядерного рассеяния к экспериментальным (см., например, [21]) после исключения из них формфак-тора протона. Так, для 40Са получены параметр радиуса с = 3.593 Фм и диффузности а = 0.493 Фм. Для ядра 12С они даны в табл. 1, где вместе с параметрами из [19, 20] приведены также параметры из работ [22, 23]. Как видно из (1), ОП определяется полным сечением аик каон-нуклонного взаимодействия и отношением аик вещественной к мнимой части амплитуды К+N-рассеяния вперед, которые зависят от энергии. Формфактор К+N-амплитуды имеет вид ¡V(д) = вхр(-/Зид2/2). Величины аик, аК и параметр наклона были получены в работе [24] на основе известных фаз рассеяния и представлены там для пяти значений импульса столкновения к\аь от 0.489 до 0.902 ГэВ/с. Для других значений импульса эти параметры мы находим методом аппроксимации Лагранжа (см. табл. 2). Таким образом, предлагаемый ОП (1) не содержит свободных параметров. При рассматриваемом выше сравнении расчетов с экспериментальными данными кинетическая энергия К+-мезона сопоставима или превышает его массу, и поэтому требуется релятивизация задачи. Тогда в выражении (1) для ОП надо в качестве скорости каона в с.ц.м. использовать релятивистское выражение /Зс = к\аь/(Е +
+ т2/т2), где Е = ^к2аЪ + т\ — полная энергия
каона в л.с. Далее, ядерный потенциал (1) вместе с кулоновским потенциалом Цс (г) будем подставлять в уравнение Клейна—Гордона—Фока, которое в приближении Е ^ и и с включением квадратичных по и/Е членов сводится по форме к уравнению Шредингера вида
(А + к2)ф(х) = 2Ц
2 Е
= 2^ией(т)ф(г),
ф(т) = (2)
где
Цей =
и (г) = ин (г) + иС(г).
и -
41
2 Е
(3)
Ниже в расчетах для и с используем известное выражение кулоновского потенциала равномерно распределенного заряда ядра в сфере радиуса Ес = гс А1/3 при гс = 1.3 Фм. В (2) в качестве к надо брать релятивистский импульс в с.ц.м.
, т2кыъ (4)
л/(т1 + т2) + 2 т2Т1аЪ
где Т1аЬ = Е — т1. В правую часть уравнения (2) входит величина Д = Д7(г) = 71т1т2/(71т1 + + т2), которая по сути есть релятивистская приведенная масса (энергия) системы, а из нее для удобства выделена нерелятивистская приведенная масса д = ш1ш2/(ш1 + т2). В такой записи фактор релятивизации потенциала равен:
т1 + т2
= *-_
71 т1 + т2' где лоренц-фактор каона в с.ц.м. 71т-2 + т1
71
д/ 271Ш1Ш2 + т\ + т |'
71
£ т1
(5)
(6)
Уравнение (2) можно решать численно с помощью стандартных программ, написанных для уравнения Шредингера. Мы для этого используем код DWUCK4 [25]. При этом потенциалом является Цей(г).
Обычно в (2) поправки и2/2Е к потенциалу и и поправки т2/т2Е к релятивистской скорости вс отбрасываются, а в расчетах используют иед ~ ~ 7(г)и и вс ~ в = к[аь/Е. Использование подобного рода приближений приводит к несколько отличным от (5) выражениям для 7(г). Так, в [26] получено выражение
к2 Ш — т2
7
(г2) =
(\¥ — т2)2 — т\ ц
(7)
где \¥ = л/к2 + т\ + л/к2 + есть полная энергия в с.ц.м. В работе [27] предложено брать
к1
7
(г3) =
вд1
(8)
что позволяет получить из уравнения (2) с кулонов-ским потенциалом точечного заряда релятивистскую форму резерфордовского сечения рассеяния. Также можно использовать выражение, которое получается согласно [28] в виде
Ш — т2 т2
7(г4) =
Ш
Д
(9)
На самом деле значения 7(г), вычисленные с помощью приведенных формул для рассматриваемых выше энергий каон-ядерного рассеяния, оказываются весьма близкими. Так, при импульсах 0.8 и 0.635 ГэВ/с каонов, рассеиваемых на ядре 12С, эти факторы релятивизации оказываются соответственно равными 1.789(±2.5%) и 1.557(±2%), а для рассеяния на ядре 40Са при 0.8 ГэВ/с имеем 7(г) = 1.866(±1%). На рис. 1 в качестве примера приведены вещественная и мнимая части ОП для рассеяния К + + 40Са при 0.8 ГэВ/с, а также кривые д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.