ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 6, с. 706-710
= ГЕОФИЗИКА
УДК 550.831
МИНИМАКСНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИРАЗВЕДКИ И МАГНИТОРАЗВЕДКИ
© 2015 г. П. И. Балк, А. С. Долгаль
Представлено академиком РАН Г.С. Голицыным 09.02.2015 г. Поступило 28.01.2015 г.
Б01: 10.7868/80869565215180164
Предлагается принципиально отличный от существующих подход к решению обратных задач гравиразведки и магниторазведки, при котором за наилучший принимается вариант интерпретации, обеспечивающий максимум гарантированной меры близости построенной модели источника аномалии к реальному возмущающему объекту. В ряде наук (теория игр, экономика, исследование операций) схожая концепция выбора названа минимаксной. Важная особенность и преимущество минимаксного критерия оптимальности решения состоят в том, что он непосредственно выражен в терминах свойств извлекаемой информации и позволяет оценить ее меру, тогда как основные практикуемые методы решения обратных задач для потенциальных полей этой возможностью не обладают и ограничиваются ссылкой на оптимальность построенного решения по какому-то косвенному признаку (например, минимум невязки наблюденного и модельного полей или сходимость виртуальной последовательности приближенных решений при гипотетическом стремлении нормы помехи измерений к нулю).
Рассматривается общая постановка обратной задачи, заключающейся в оценке геометрии и положения носителя § с И3 возмущающих масс. Независимо от того, каков объем априорной информации О, всегда найдется множество Q допустимых вариантов интерпретации, полностью удовлетворяющих этой информации. Каждое из таких решений в равной степени может претендовать на роль истинного (или ближайшего к нему модельного) решения обратной задачи. Этой неопределенности (она названа е -эквивалентностью) теория интерпретации гравитационных и магнитных аномалий обязана обилию алгорит-
Горный институт
Уральского отделения Российской Академии наук, Пермь
E-mail: dolgal@mi-perm.ru
мов решения обратной задачи, использующих различные критерии выбора наилучшего варианта интерпретации из множества Q.
Наиболее реалистичной, понятной интерпретатору и в то же время достаточно продвинутой (в направлении повышения информативности решения обратных задач) формой реализации идеи минимаксного подхода является выбор наилучшего варианта интерпретации из некоторого конечного множества Q0 с Q конкурирующих вариантов §1, §2, ..., Бт модели носителя аномалиеоб-разующих масс, которые геофизику удалось построить за отведенное время. При том что минимаксный подход в других науках известен уже давно, удивительно, что в обратных задачах для потенциальных полей он до сих пор не обратил на себя внимания. В эпоху широкого применения неформализованного подбора, когда речь шла об единственном решении или обозримом множестве вариантов интерпретации (двух-трех, от силы десяти), интерпретатор мог осуществлять выбор лучшего из них вручную и, если бы такая возможность была, не стал бы доверять этот выбор каким-то формализованным приемам. Взятый позже курс на оптимизацию интерпретационного процесса не предусматривал анализа всего контекста выбора Q — все было ориентировано на одно решение, обеспечивающее глобальный минимум некоторого функционала. Заимствованные у вычислительной математики методы минимизации не обязаны по ходу поиска наилучшего решения продуцировать прочие допустимые решения, что также не способствовало актуализации минимаксного подхода в форме выбора оптимального из заданного (в явном виде) конечного множества допустимых вариантов интерпретации Q0. По нашему мнению, время идеи минимакса наступило только сейчас, когда на базе высокопроизводительной компьютерной техники стало возможным разрабатывать эффективные схемы построения представительных множеств допустимых вариантов решения обратной задачи при наличии
различной априорной информации О. Такие технологии базируются на монтажном методе решения обратных задач гравиразведки В.Н. Страхова в рамках конечноэлементных описаний плот-ностной среды [1]. Адекватный геолого-геофизическим реалиям монтажный метод в большей степени, чем универсальные классические методы минимизации, адаптируем к проблеме поиска не просто допустимого решения, а результативного допустимого решения обратной задачи, содержащего информацию, которой нет в других, ранее найденных решениях.
В предложенной постановке центр тяжести проблемы реализации минимаксного подхода смещается в область построения достаточно представительного множества вариантов интерпретации. Откажемся от заведомой идеализации Б е Q0, однако предположим, что среди достаточно большого числа допустимых носителей Бу, у = 1,2,..., т, которые удается построить с помощью технологий типа [2], существует достаточно близкий к Б носитель Б ° такой, что его можно отождествить с Б. С учетом фактически неограниченных аппроксимационных возможностей сеточных классов М (вопрос лишь в выборе размеров сеточного элемента), с которыми работают монтажные алгоритмы, и особенностей технологии из [2] предпосылка о присутствии в множестве Q0 элемента Б° ~ Б является оправданной. Сам алгоритм выбора из множества Q0 минимаксного решения Бор' прост и состоит в следующем. Для каждого допустимого модельного носителя возмущающих масс Б у, у = 1,2,..., т, претендендующего
на роль оптимального решения Бор', отыщем ассоциированный с ним носитель Бк = Бк(у) е Q0 такой, что расхождение р(Бу, Б°) будет наибольшим, если носителем Б° окажется носитель Бк(у). Решение Бу(1) предпочтительней БУ(2), если р(Бу(1), Бк(1)) < р(БЛ2), Бк(2)), где Бк(1) и Бк(2) — решения из Q0, наиболее удаленные по метрике р от Бу(1) и Бу(2). Минимаксным является решение Бор е Q0, гарантированная близость
рор' = шах{р(Бор', Б,): Б, е Q0, Б, Ф Бор'} которого к неизвестному решению Б ° является наибольшей по отношению к любому другому выбору итогового варианта интерпретации Б у е Q0: р0р' < < тах{р(Бу, Б(): Б( е Q0, Б( ф Бу} для всех Бу е Qo,
Б у ф Бор. Минимаксный подход не опасается конкуренции со стороны известных методов и охотно готов включать в множество Q0 любые решения, оптимальные по иным критериям. Эти решения могут повлиять на выбор оптимального минимаксного решения, но при большой мощно-
сти |20| могут совпасть с последним лишь в каких-то исключительных случаях.
По Клоду Шеннону, "информация — это снятая неопределенность наших знаний о предмете исследования" [3]. Достоинства минимаксного подхода сразу становятся очевидны, если о состоятельности методов решения обратных задач судить не по косвенным признакам, многие из которых имеют весьма отдаленное отношение к проблеме повышения информативности результатов интерпретации, а по свойствам извлекаемой информации об источниках аномалии в данном конкретном случае. Не станем упрощать ситуацию и ставить знак равенства между понятиями "процесс решения обратной задачи" и "извлечение информации об аномалиеобразующем объекте", а следуя Шеннону, под информацией, которую несет в себе носитель Ба е Q0, будем понимать тот его фрагмент Ба0) с Ба, который одновременно является и фрагментом истинного носителя Б: Б^ = Ба п Б.
Меру ц(Б,а0)) области Б^0 логично принять за количество информации, которую несет в себе носитель Ба. Эту меру можно использовать и как оценку близости приближенного и точного решений обратной задачи. Но зная ц(Б,а0)) невозможно определить, какой именно фрагмент носителя Ба является и фрагментом носителя Б. Если так, то информацию Б^, содержащуюся в решении Ба, логично назвать скрытой. Область Ба\Б, позиционирующую себя как возможный фрагмент возмущающего объекта, хотя таковым не является, назовем ложной информацией, а фрагмент Б\Ба возмущающего объекта, не нашедший места в решении Ба обратной задачи — потерянной информацией.
Используя новую терминологию, можно сказать, что достаточный объем скрытой информации о возмущающем объекте и есть то главное, что ожидает геофизик от результатов интерпретации. При этом следует смириться с тем, что постановка вопроса о построении метода, г а р а н -тированно превосходящего конкурирующий по фактическому объему скрытой информации в построенном с его помощью решении обратной задачи, изначально некорректна. Качество решения обратной задачи всегда случайно и во многом предопределено свойствами выборки помех в измерениях. При этом наугад взятое решение может уступить решению, найденному с помощью математически выверенного метода. Придется смириться, но у теории интерпретации потенциальных полей остается только одно направление повышения надежности и информативности результатов интерпретации — максимизация г а р а н т и р о в а н н о г о объема скрытой информации в приближенном решении обратной
708
БАЛК, ДОЛГАЛЬ
задачи и разработка эффективных способов оценки этого объема информации. Таков взгляд авторов на реальные возможности методов количественной интерпретации гравитационных и магнитных аномалий.
Сделаем следующий общий вывод. При всем разнообразии традиционные алгоритмы решения обратных задач гравиразведки и магниторазведки, основанные на попарном (не обязательно явном) сравнении альтернативных вариантов интерпретации по значению скалярного критерия ¥ (методы подбора, где роль ¥ играет невязка — наиболее известные из них) не в состоянии уменьшить априорную неопределенность в отношении конфигурации и местоположения источников поля. Наилучшее (оптимальное) решение, найденное по любому из этих методов, не содержит никаких сведений об объемах достоверной, скрытой, ложной и потерянной информации. Минимакс-
сторг
ный же подход дает не только само решение о , для которого (в рамках множества известных решений Q0) гарантированная степень его близости к точному максимальна, но также и саму неулуч-шаемую оценку меры р близости этих решений. По сути минимаксный подход закрывает проблему наилучшего критерия выбора одного из допустимых решений в качестве итогового варианта интерпретации.
Информация, которую несет минимаксное решение обратной задачи, может дорогого стоить. Зная предельно возможную меру неопределенности в результатах интерп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.