ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 2, с. 214-221
УДК 66.01.011
МИНИМАЛЬНАЯ НЕОБРАТИМОСТЬ, ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКИ
ТЕПЛООБМЕННЫХ СИСТЕМ
© 2008 г. А. М. Цирлин, А. А. Ахременков, И. Н. Григоревский
Институт программных систем РАН, г. Переславлъ-Залесский, Ярославская область
tsirlin@sarc.botik.ru Поступила в редакцию 04.12.2006 г.
Получена оценка минимального производства энтропии, соответствующие ей распределения поверхностей теплообмена и температур контакта для систем теплообмена с заданной суммарной тепловой нагрузкой и коэффициентом теплопереноса. Доказано, что для теплового потока, пропорционального разности температур, отношения температур контактирующих потоков в любой точке системы должны быть одинаковы, как и температуры греющих потоков на ее выходе.
Предельные возможности технологических систем (тепловых и холодильных машин, систем разделения, химических реакторов и пр.), основанные на соотношениях термодинамики обратимых процессов (кпд Карно, обратимая работа разделения), очень важны, но как правило сильно завышены. Они не учитывают интенсивности потоков, поверхностей контакта и других факторов, связанных с заданной производительностью и конечными размерами аппаратов. В некоторых же случаях обратимые оценки вообще становятся бессмысленными. В частности, это относится к стационарным неравновесным системам, в которых имеется несколько резервуаров или поступают извне потоки вещества и энергии. Примером таких систем являются теплообменники, оценка термодинамического совершенства которых требует учета ограниченной поверхности контакта (интегрального коэффициента теплообмена) и тепловой нагрузки - количества теплоты, передаваемой в единицу времени от горячих к холодным потокам. Для оценки совершенства таких систем используют эксергитический подход, сравнивая системы по потерям эксергии в каждой из них. Последние пропорциональны производству энтропии и температуре окружающей среды Т0. Минимуму потерь эксергии при заданных температурах горячих потоков на входе в теплообменник и фиксированной тепловой нагрузке соответствует максимум средней температуры холодных потоков на выходе теплообменника.
В данной работе решена задача оценки минимально возможного производства энтропии (диссипации), а значит потерь эксергии в теплообмен-ной системе.
Такая оценка показывает, как влияют на возможности системы те или иные факторы (темпе-
ратура и водяной эквивалент потоков, тепловая нагрузка, коэффициент теплообмена и пр.); позволяет охарактеризовать термодинамическую эффективность теплообменной системы путем сравнения фактического производства энтропии с минимально возможным; дает возможность при проектировании новых систем воспользоваться условиями оптимальности теплообмена, с тем чтобы приблизить конфигурацию проектируемой системы к идеальной.
Для получения термодинамической оценки эффективности многопоточного теплообмена воспользуемся оценкой, найденной для двухпо-точного теплообменника [3, 4] - теплообменной ячейки. Затем рассмотрим задачу о минимальной диссипации для совокупности таких ячеек, связанных общими ограничениями на поверхность контакта и тепловую нагрузку. Наконец, приведем пример использования полученной оценки.
ДВУХПОТОЧНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Производство энтропии в термодинамической системе можно найти двумя способами. Если система функционирует, то его можно вычислить, зная параметры входящих потоков и потоков, покидающих систему. Если же решают задачу проектирования, то производство энтропии можно выразить через кинетические закономерности, коэффициенты тепло- и массопереноса и пр. как произведение потоков на движущие силы. Первоначально воспользуемся первым подходом и найдем, как связано производство энтропии в двухпо-точном теплообменнике с параметрами входных и выходных потоков.
Известно [2], что дифференциал молярной энтропии может быть выражен через теплоемкость вещества, прирост температуры и давления:
ds = TpdT - f|rl dP,
(1)
дует связь выходной температуры нагреваемого потока с производством энтропии
T 2 =
q
W21 1 - exp
а - а1
(6)
где cp - молярная теплоемкость при постоянном давлении, а v - молярный объем. Интегрирование этого выражения от начальных до конечных значений температуры и давления позволяет найти прирост молярной энтропии. Если известен молярный расход потока, то, умножив этот прирост на расход, получим производство энтропии, связанное с изменением параметров данного потока. Просуммировав эти величины по всем потокам, найдем производство энтропии в выделенной технологической системе.
В частности, для идеального газа, теплоемкость которого зависит только от температуры, а (dv/dT)p = R/p, прирост молярной энтропии равен
s - So
= I
<CpdT - R lnP, T Po
(2)
где R - универсальная газовая постоянная.
Для жидкостей с постоянной теплоемкостью при постоянном давлении
s - So = CPln ( T"
а{ = Wln|- |, i = 1, 2.
To
(4)
а = а1 + а2 = W1ln(Tl0 J/Wl | +
10
+ W2ln =
t 2- q/ w 2
(5)
Допустим, что параметры первого (горячего) потока и тепловая нагрузка фиксированы, а значит фиксировано и значение ах. Тогда из (5) сле-
Выходная температура нагреваемого потока монотонно увеличивается с уменьшением производства энтропии. Аналогичные выкладки для многопоточных теплообменников приводят к подобной связи между производством энтропии и средневзвешенной с учетом водяных эквивалентов температурой нагреваемых потоков.
Рассмотрим теплообменник с двумя потоками и найдем минимальное производство энтропии а в нем при заданной входной температуре Т0 греющего потока, его водяном эквиваленте W, тепловой нагрузке д и интегральном коэффициенте теплообмена а. Через I обозначим текущую координату контакта элемента греющего потока, которая изменяется от нуля до Ь, а через д(и, Т) - поток теплоты в сечении I. Температуру нагреваемого потока обозначим через и(1).
Формальная постановка задачи примет вид:
а
L
= Iq (uT- T)di -
min
u(l)
(3) при условиях
а прирост энтропии за счет изменения состояния 1-го потока равен произведению его водяного эквивалента на логарифм отношения абсолютных температур на выходе и входе системы:
dT = q(u, T)
~dl = WW~,
T(0) = T
o
I q (u, T) dl = q.
(7)
(8)
(9)
Производство энтропии а = Ъа I - суммарной разнице потоков энтропии на выходе и входе системы.
Запишем связь производства энтропии в двух-поточном теплообменнике с водяными эквивалентами потоков W1 и их температурами на
входе Т10, Т20 и выходе Т 1, Т2 при заданной тепловой нагрузке д:
Для получения оценок предположим, что закон изменения и(1) и связанный с ним закон теплоотвода д(и, Т) подлежат оптимальному выбору. После получения решения выясним возможности их реализации.
Воспользовавшись тем, что правая часть в (8) сохраняет знак, упростим задачу, сделав замену
dl = -
dTW
q (u, T)
Приходим к постановке
To
а =W К U - T)dT■
T (L)
min,
u(T)
W I dT = q,
(10)
(11)
T (L)
T
T
o
o
L
o
T
Рис. 1. Граница достижимости для двухпоточного теплообменника при W = 1, Т0 = 370 К.
И
л
Т (Ь)
Я (и, Т)
= £.
Из условия (12)
Т (Ь) = Т0-иг
(13)
(14)
д Ь
ь _
= 0
1)• Т) q
1
—дя = 0
и2 я2ди
(15)
или
я( и, Т2/ едя _
д и —'
(16)
Равенства (13, 16), позволяют найти и*(Т) и —. Конкретизируем их для закона теплообмена
Я _ а(Т - и).
а| - - 1 _ —, V/.
ь у/'
Получим
Условие (13) примет форму
Т 0
1
(17)
(18)
йТ
Т (ь)
а(Т - и)
(19)
Соотношения (18), (19) определяют и*(Т, а, —) и множитель Лагранжа —. В том случае, когда коэффициент теплопередачи постоянен, введем его интегральное значение а = аЬ.
По условию (18) отношение — постоянно. Обозначим
_ т < 1,
(20)
и перепишем (19) в форме Т0 I
йТ
Т (1-т)
а
У-'
Откуда
Т (ь)
1 уЛ
т _ 1 - т=г1п-
а Т0- я / У Уравнение (8) примет форму
(21)
Если водяной эквивалент W (теплоемкость потока) зависит от Т, то функцию W(T) следует внести внутрь интегралов в (12)-(13). Для простоты далее считаем водяной эквивалент константой.
Запишем функцию Лагранжа и условия оптимальности задачи (11), (13) в предположении невырожденности решения
йТ _ -а Т(1- т)
-Т*(/) _ Тое и * (/) _ тТ* (/).
а(1 - т) " Ь и
(22)
Минимально достижимое производство энтропии с учетом (21)
22
а * _ ИI - -
т-')1? _:
У 1п
Т о-Я / И
Т (ь)
а - И 1п
Т о-Я / И
(23)
_(1-т)2 _ а ---
т
Отметим, что выражения (21), (23) не содержат параметров нагреваемого потока, так как температура этого потока и*(1) связана с Т*(1) условием оптимальности (18) и вытекающим из него равенством (22).
Условие а > а* при фиксированных значениях W и Т0 определяет в пространстве с координатами
а, Я, а область достижимых процессов теплообмена, расположенную выше границы, соответствующей оптимальной организации процесса (рис. 1). На этой границе достигается максимум тепловой нагрузки при фиксированном общем коэффициенте теплообмена и минимум поверхности теплообмена при заданной тепловой нагрузке.
Нетрудно показать [4], что закон изменения температуры нагреваемого потока (22), а значит и минимальное производство энтропии (23) может быть достигнуто в противоточном трубчатом
г
0
I
/
0
теплообменнике с неизменным по длине коэффициентом теплообмена а, если водяной эквивалент нагреваемого потока
W
W1 = — ,
т
(24)
а температура этого потока на входе в теплообменник выбрана как в:
и (Ь) = Т (Ь) т = | То--^1 т.
(25)
Выражение (23) позволяет, найдя производство энтропии для произвольного реального двухпоточного теплообменника как
а = W 1п
+ W11п -
ТТ
А 0 вх 1 1 в
д = W ( Т0 вх - Т0 вых )>
(26)
а =
= W 1п
Т о-д / W
+ W 11п
Г0 - д/ - д/а (27)
сравнить его с а*. При этом а в (23) - общий коэффициент теплопередачи рассматриваемого
а *
теплообменника. Отношение п = — - 1 характеризует степень термодинамического совершенства теплообмена.
Пример. Найдем коэффициент термодинамического совершенства теплообменника, в котором гидродинамика каждого из потоков характеризуется режимом идеального смешения, температура греющего потока на входе Т0 = 350 К, его водяной эквивалент W = 10 Вт/К, коэффициент тепло
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.