ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Шупиков А.Н., Мисюра СЮ.
МИНИМИЗАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В РЕБРАХ ЖЕСТКОСТИ КРЫШКИ ГИДРОТУРБИНЫ
Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАНУкраины, г. Харьков
Предложена методика оптимального проектирования контура отверстия в ребре жесткости в крышке гидротурбины. Решена задача нелинейного программирования с целью минимизации максимальных напряжений в данной конструкции, используя градиентный метод.
Конечной целью проектирования является определение таких значений параметров конструкции, при которых последняя наилучшим образом отвечает предъявляемым требованиям. Реализация этой цели является предметом и задачей теории оптимального проектирования [1]. Среди важных задач оптимизации условно можно выделить три направления: оптимизация размеров [2, 3], формы [4, 5] и топологии [6, 7].
В статье [8] выполнена оптимизация формы автомобильного кузова с помощью системы инженерного анализа. В качестве функции выбрана жесткость кузова. Варьируемыми параметрами являются толщины пластин оболочек в несущих элементах конструкции.
Большинство практических задач оптимального проектирования деформируемых конструкций эффективнее всего решаются методами нелинейного программирования [9]. Анализ литературных источников [10] показал эффективность этих методов при оптимизации форм упругих тел.
В настоящей статье предлагается новый подход к решению актуальной задачи — оптимизации формы отверстия в ребрах жесткости крышки гидротурбины с целью минимизации максимальных значений интенсивности напряжений в ее конструкции.
Постановка задачи. Задача оптимального синтеза, сформулированная в терминах нелинейного программирования, заключается в отыскании вектора, компонентами
которого являются варьируемые параметры задачи оптимизации H = H*, H е Em, где Em — пространство варьируемых параметров, при которых функция цели F(H) достигает минимального значения F* = F(H*) = minF(H) и выполняются ограничения Gj(H*) > 0, j = \J.
В данном случае функция цели представляет собой максимальное значение интенсивности напряжений а = a(H), возникающих в конструкции крышки под действием эксплуатационных нагрузок F = maxc(H). Значения интенсивности напряжений определяются при решении задачи анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) крышки.
Как правило, максимальные значения интенсивности напряжений возникают в основных несущих элементах крышки — ребрах, представляющих собою пластины
Давление при аварийном режиме работы
, МПа*
0,297
0,330
0,338
ТТ^
х
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 2. Приведенные к давлению весовые нагрузки и давление воды
сложной формы в плане с отверстиями. Варьируемыми параметрами задачи оптимизации являются параметры, определяющие форму контура отверстия. На них налагаются ограничения, обусловленные эксплуатационными и технологическими требованиями.
Описание конструкции. Крышка гидротурбины является пространственной циклически симметричной конструкцией, состоящей из тонкостенных оболочек вращения, объединенных и-ребрами — меридиональными пластинами сложной конфигурации (рис. 1). В ребрах для размещения механизмов и снижения массы предусмотрены вырезы. Габаритные размеры крышки: диаметр 4,76 м, высота 1,45 м.
Крышка изготавливается из листового проката стали Ст20 или его аналога А8ТМ А516 0г.60 с толщинами в диапазоне от 20 до 50 мм. Механические свойства материала: модуль упругости Е = 2,1 • 105 МПа, коэффициент Пуассона 0,3, плотность 7850 кг/м3, предел текучести стТ = 215 МПа, временное сопротивление стВ = 430 МПа.
При осесимметричной нагрузке конструкцию можно рассматривать как циклически симметричную. Расчетную схему можно принять в виде сектора крышки с углом раствора 360/и с условиями циклической симметрии на краях (рис. 1), где и — количество секторов.
Крышка крепится к верхнему кольцу направляющего аппарата турбины с помощью шпилек. Нижние поверхности облицовки крышки находятся под действием давления воды.
Моделирование крышки гидротурбины. При построении модели сектора сначала задаются ключевые точки в срединной плоскости ребра, между которыми проводятся линии, составляющие контур, а затем создается модель. Для получения оболочечных частей конструкции и полной модели сектора линии пересечения поверхностей оболочек с плоскостью ребра поворачиваются по и против часовой стрелки на угол 360/2и. Далее на сектор наносится конечно-элементная сетка, после чего на элементах, принадлежащих границам соседних секторов, вводятся условия циклической
?
г, м
симметрии. Отношение толщины элементов крышки к их характерному размеру не превышает 1/10, поэтому применяется теория тонких оболочек. Кроме того вводятся условия закрепления крышки к фланцу верхнего кольца направляющего аппарата.
В модели, кроме гидравлического давления воды q, учитываются нагрузки от установленных на крышку деталей и узлов, которые имитируются приведенным давлением (рис. 2), распределенным по опорным поверхностям, на которые установлены узлы: регулирующее кольцо, Pl = 0,057 МПа, уплотнение вала, P2 = 0,028 МПа, направляющий подшипник, P3 = 0,041 МПа. Давление для наглядности показано стрелками на меридиане в плоскости ребра (рис. 2).
Метод решения задачи анализа. Задача об определении НДС крышки при статическом нагружении решается методом конечных элементов (МКЭ), при этом используется треугольный упругий оболочечный конечный элемент с тремя узлами. Элемент в каждом узле имеет шесть степеней свободы: перемещения в направлении осей X, У, Z и повороты вокруг осей X, У, Z. В результате решения статической задачи анализа НДС вычисляются наибольшие значения интенсивности напряжений в крышке.
Функция цели. Поскольку крышка гидротурбины представляет собой пространственную конструкцию, состоящую из тонкостенных пластинчатых и оболочечных элементов, то функция цели, максимальная интенсивность напряжений, имеет вид
Р(Е) = с(#) = -\ъ\ , где ст2 - главные напряжения.
Таким образом, функция цели задается алгоритмически и вычисляется при решении задачи анализа НДС крышки гидротурбины на каждом этапе процесса оптимизации.
Варьируемые параметры. Особое значение имеет выбор варьируемых параметров задачи оптимизации. Поскольку оптимизируемый объект представляет собой сложную конструкцию, для описания НДС которой используется большое количество конечных элементов, то приходится принимать меры для снижения размерности пространства варьируемых параметров (их количества), обеспечивая заданную точность решения.
Контур отверстия в ребре описан сплайнами, проходящими через заданные точки Бк,
к = 1, К, координаты которых известны из рис. 2, где K — количество точек на контуре.
Наиболее простой (но наименее удачный) подход состоит в выборе в качестве варьируемых параметров совокупности координат точек: 8к = 5(Хк, Ук), к = 1, К. При этом количество варьируемых параметров равно удвоенному числу этих точек 2К .
Уменьшить вдвое число варьируемых параметров можно двумя способами. Первый состоит в том, что фиксируется совокупность координат Хк (или Ук), а варьируется Ук
(или Хк), к = 1, К. Второй способ заключается во введении полярной системы координат с началом, расположенным приблизительно посередине отверстия, и в выборе в качестве варьируемых параметров в задаче оптимизации длин радиус-векторов гк, соединяющих начало координат с вышеуказанными точками 8к на контуре. При этом углы фк, соответствующие радиус-векторам гк, считаются фиксированными и равными их значениям в исходной конструкции
Г = Г (ф), ф = агс8ш((у - уо)/г),
г = у1 (х - х о)2 + (у - у о)2, Гк = Г(ф к), где индексом ноль отмечено начало полярной системы координат.
Сокращение количества варьируемых параметров в задаче оптимизации дает предлагаемый в настоящей статье подход, когда длина радиус-вектора г, описывающего контур отверстия в ребре, аппроксимируется тригонометрическим многочленом [11, 12]
т
Я (ф) = с0 + ^ е( • со8(; • ф), ф= 0,2п. (1)
I=1
В соответствии с теоремой Вейерштрасса [12] такая аппроксимация будет равномерной.
Каждое известное из рис. 2 значение функции гк = г (фк) дает возможность записать соответствующее уравнение
т
К (фк) = гк или Со + £ С1 ■ СО&(1 ■ ) = гк, (
1=1 (2) к = 1К,
система которых позволяет определить значение неизвестных коэффициентов С ( = 0, т).
Чем больше количество точек Як на контуре отверстия, тем более точной является аппроксимация контура тригонометрическими многочленами, поэтому число таких
уравнений, как правило, гораздо больше количества неизвестных сь ; = 0, т, которые являются варьируемыми параметрами задачи оптимизации. Поэтому для их решения применяем метод наименьших квадратов [11, 13].
Такой подход позволяет с одной стороны получить решение задачи с заданной степенью точности при сравнительно небольшом числе варьируемых параметров, а с другой — использовать всю полезную информацию, которая содержится в "лишних" уравнениях системы (2).
В соответствии с этим подходом неизвестные величины с определяются из условий минимальности функционала
К К ( т \
1 = Е (А - гк )2 = X X С] - ^с/-фк) - гк
к=1 к=1 ^ ]=0
которые имеют вид д1 /дс1 = 0, что позволяет определить с из системы линейных алгебраических уравнений
Z
j=0
' K
X C0S(j 'Фк )C0S( 'Фк) .к=1
K
Cj =X rk cos(i 'Фк). (3)
к=1
Таким образом, с, ; = 0, т являются варьируемыми параметрами в задаче, а набор С1, полученный из (3) для отверстия в исходной конструкции, представляет собой "стартовую точку" в процессе минимизации интенсивности напряжений в ребре жесткости крышки гидротурбины.
Кроме того, необходимо ввести ограничения на длины некоторых из радиус-векторов, так как в отверстии ребра проходят трубопроводы и расположены механизмы. Эти ограничения имеют вид
d = max
i 0 *\ , 0 (Т - rj )/Г
< d*, J = 1, L, (4)
0
где r; и r; — длины радиус-векторов для точек на контуре отверстия в исходной и оптимизируемой конструкции; l — номера точек, на длины радиус-векторов которых на-
I *
кладывается ограничение; d — предельное сверху относительное отклонение радиусов от исходных величин.
Метод оптимизации. З
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.