АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 4, с. 432-441
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ^^^^^^^^
ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.222
МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН СФЕРИЧЕСКИМИ ЧАСТИЦАМИ С МОНОПОЛЬНЫМ ТИПОМ КОЛЕБАНИЙ, РАСПОЛОЖЕННЫМИ В УЗЛАХ ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ С ОДИНАКОВЫМИ ЯЧЕЙКАМИ
© 2015 г. Ю. А. Кобелев
Институт прикладной физики РАН 603950 Н. Новгород, ул. Ульянова 46 Е-таИ: kobelev@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 13.05.2014 г.
Решается задача о рассеянии плоской звуковой волны безграничной трехмерной решеткой с одинаковыми ячейками, в узлах которой расположены сферические частицы с монопольным типом колебаний. Показано, что в колебаниях частиц отсутствуют радиационные потери энергии, а в случае пузырьков газа в жидкости наблюдается увеличение резонансной частоты их колебаний и монотонное уменьшение фазовой скорости распространения волны, модулирующей амплитуды колебаний пузырьков, с увеличением их концентрации. Решение проводится без введения эффективной частицы с параметрами плотности, сдвигового напряжения и радиуса, как это сделано в более ранней работе автора для средних полей амплитуд колебаний частиц.
Ключевые слова: звуковое поле, многократное рассеяние, сферические частицы, монополь, жидкие и упругие среды.
БО1: 10.7868/80320791915030090
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа является продолжением работы автора [1], где решалась задача о рассеянии звука сферическими частицами с монопольным типом колебаний, расположенными в узлах плоской безграничной сетки. Общей целью данных работ является подтверждение или опровержение результатов еще более ранней работы [2], в которой можно выделить три наиболее существенных результата. Во-первых, в среде, содержащей частицы с регулярным или статистически независимым распределениями в пространстве, у волны, модулирующей средние амплитуды колебаний частиц, отсутствуют радиационные потери от рассеяния звука отдельной частицей. В результате они колеблются как бы в несжимаемой среде. Хотя качественное объяснение этого эффекта дается в монографии [3]: в среде с постоянной концентрацией частиц рассеиваемые отдельными частицами волны уничтожают друг друга всюду, кроме направления первичной волны. И, по-видимому, на основании этих же соображений в работе [4] радиационные потери просто отбрасываются. В большинстве же работ, как по теории многократного рассеяния [5, 6], так и квазигомогенной [7, 8], радиационные потери дают дополнительное затухание энергии когерентного поля и являются источником некогерентного. Но здесь воз-
никает противоречие, поскольку эти теории допускают переход и к регулярному распределению частиц в среде, где некогерентной компоненты поля нет, следовательно, нет и радиационных потерь. Источником же некогерентного поля могут быть только флуктуации концентрации частиц в среде [3]. Во-вторых, для пузырьков газа в жидкости с увеличением их концентрации резонансная частота колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при объемном содержании частиц около 30%, когда фазовая скорость волны, модулирующей амплитуды колебаний частиц (далее скорость амплитудной волны), становится независящей от частоты. В литературе автору не удалось найти информацию, подтверждающую или опровергающую данный вывод. И, наконец, скорость волны, модулирующей амплитуды колебаний частиц, монотонно уменьшается с увеличением концентрации пузырьков, а квазигомогенная теория [7] дает для низкочастотной скорости этой волны немонотонное поведение с минимумом вблизи 50% объемного содержания газа (подробнее об этом в [2]). Эти выводы противоречат друг другу.
Кратко поясним ключевые моменты теории, излагаемой в работе [2]. Прежде всего отметим, что задачи рассеяния звука в жидких или упругих средах с дискретными неоднородностями необ-
ходимо решать совместно с векторными и скалярными полями даже для монопольных колебаний частиц. Такой метод решения, базирующийся на сферических средних по поверхности частицы от скалярного и векторного потенциалов, предложен в работах автора [9, 10]. Вне зависимости от распределения частиц в среде (регулярное или статистически независимое) вводится эффективная сферическая частица с объемом, равным объему среды, приходящимся на одну частицу, по аналогии с работой [11], где решаются задачи рассеяния только скалярных полей в жидкости или только векторных полей в упругой среде. Далее рассматриваются монопольные колебания этой частицы в упругой среде, по аналогии с колебаниями реальной [9]. Граничные условия при этом потребовали введения эффективной сдвиговой жесткости, отличной от нуля даже в случае пузырьков газа в идеальной жидкости.
В настоящей работе предлагается решение указанной выше задачи без привлечения каких-либо гипотез, позволяющее убедительнее обосновать выводы работы [2] и справедливое, в том числе, для предельно больших концентраций частиц, вплоть до их соприкосновения.
СУММИРОВАНИЕ ЗВУКОВЫХ ПОЛЕЙ, РАССЕЯННЫХ РЕШЕТКОЙ
Решетка составлена из N одинаковых, безграничных по координатам y, z плоских сеток, расположенных на расстоянии a1 друг от друга по оси х. Ячейка решетки представляет собой параллелепипед, сечение которого в плоскости y, z имеет форму параллелограмма со стороной a2 вдоль оси y и стороной a3, наклоненной на угол в от оси z. Введение угла в позволяет получить предельно большие концентрации частиц на единицу площади сетки. Положение узлов решетки определяется векторами
Г/ = ajn x + rLJ, rLJ = (ajj + %/зsin P)n y + %/зП * с целыми числами J1, j2, j3, изменяющимися в пределах: 0 < j < N - 1, -да < j2 3 < да и единичными векторами nx, n , n* вдоль осей х, y, z соответственно. Положение произвольной точки определяется векторами r = TLj + rx, rx = xnx + yny + *n* с координатами y и z, изменяющимися в пределах -a2 < y < a2, -a3 cos p < z < a3 cos p вокруг узловой точки и координатой х в пределах -да < x < да. В узлах решетки расположены одинаковые сферические частицы радиуса R с монопольным типом колебаний под действием звука, поэтому рассеянные ими поля описываются скалярным потенциалом как в упругой среде, так и в жидкости.
Пусть на решетку падает плоская звуковая волна с гармоническим по времени потенциалом, пропорциональным exp (mt), с амплитудой
V о (г±, + гх) = ехр[-к (г±, + гх)]. Векг°р к = = к± + кхпх определяет угол падения на решетку звуковой волны, а его длина к = ю/ с — волновое число продольных звуковых волн, с — их скорость. Амплитуды колебаний частиц а (г,) и суммарного поля в среде у (г, + гх) будут пропорциональны сомножителю падающего поля ехр (-гкг±,), т.е.
К+J--с-) К
(1)
и этот сомножитель можно исключить из дальнейших вычислений. Для поля у (гх) уравнение многократного рассеяния, но только уже не на частицах, а на сетках, составляющих решетку, записывается в виде [10]
V (гх) = exp (-/kr,) +
2nR
a2a3 cos ß
N-1
x Za (ji) Z (Щх
jl =0 (m2>m3 =-<*>)
x exp{-[Vm|x - aJi\ + /(y + Sm3z
(2)
Здесь sm2 = ky + lnm2la2, smj = kz - (2nm2/a2)tgß + + 2nm3/a3 cos ß — компоненты волновых векторов
Sm = Sm2Пy + Sm}Пг, Jm = >/4 - k2, Sm = ^ + ky, kz — проекции вектора k на плоскость yz. Целые числа m2, m3 изменяются в пределах от —да до да. Каждое слагаемое в равенстве (2) с конкретным j1 есть поле, рассеянное соответствующей сеткой; выражение для него получено в [1] при условии достаточно "плотной" сетки, когда 2я/a2, 2я/a3 > k и
существует только один мнимый корень -Jm = ikx при m2 = m3 = 0 (kx — проекция вектора k на ось x). Кроме этого, здесь и далее исключаются значения вектора rx, лежащие внутри частиц.
Представим амплитуду монопольных колебаний частиц a (j\) в виде набора встречных волн, модулирующих амплитуды колебаний частиц
a (ji) = х
2%R
х Z [An exp ((ai jl) + Bn exp ((aj)]
(«2,«3 )=--
(3)
с волновыми числами 4п = - пП, аналогичными 4т, где надо заменить т2, т3 на п2 и п3, а параметр
= п1х + к2у + к2 = ц„х + к2± отличается от квадрата к только проекцией на ось х. Подстановка равенства (3) в (2) дает для поля у (гх) выражение
x
^ (?я) = ехр (-/кгх) + ^{1/Тт) ехр (-
тГ± х )
X
N-1
^ ехр {-4т \х - а^!):
(4)
Л=0
х [А„ ехр {—/иа]) + В„ ехр л/па] ].
Здесь обозначение суммирования по п2, п3, т2, т3 заменено на краткое п, т. Суммирование по ]х проведем для трех областей по координате х: -да < х < 0, 0 < х < а1 (N -1), х > а1 ^ -1), которые выделяет модуль разности в показателе экспонент х - а1]1. Для всех областей сумма посостоит из геометрических прогрессий, ограничен-
ных по числу членов, со знаменателями из функций ехр |_{±/т + 4п) a1J, суммирование которых приводит равенство (4) к виду
у(Гх,х < 0) = ехр(-/кГх) + У-^ехр{{тх - /8т) х
Г 1 - ехр [- (т + 4п) а^] | п 1 - ехр[-(т ^ТП)а1]
+В,
1 - ехр [{{ + 4п) а^]1
1 - ехр ( + л/п)а1~^ ]
для области х < 0, а для х > а1(N - 1)
¥ ( х > а1 ( - 1)) = ехр (-/кГх ) + еХР [- {{ + тГ1х )] :
п,т
Г 1 - ехр [{■(т -4п) a1NJ 1 - ехр (т + 4п) а^Д | п 1 - ехр [{{ -4п)а1 ] п 1 - ехр \(т + -\/п)а1] ]
(5)
(6)
Суммирование в области 0 < х < а1 (N - 1) проведем, выделив сетку с номером] и представив значе-
ние х в
х в виде х = ах] + х]
со значениями х, из области
-а1 < х] < а1. После аналогичного суммирования геометрических прогрессий получаем выражение для поля:
В,
¥ (Гх) = ехр (-/кГх) + У-^ехр (-/8 „г^) {ехр ((тх]) р {^^^—/_р ]) +
пт^т { 4 '[ ехр |(т-V п)а1\-1
ехр {{щ]) - ехр {{та1 ]) , ,— . { ехр {—Ша1 ]) - ехр Г- {(т + 4п) а1 ( - 1) + л[та1]~\
-4 г, ,—--^ + ехр{тх])<Ап-^-'----+
ехр \Ыт + ып)а1\-1 { у /\ ехр \Ыт + >/ п)а1|-1
■ ехр {{т |х ] |) Г Ап ехр {-¡ти) + Вп ехр {л/ж^)]!
(7)
ехр {{щ]) - ехр {{[т + 4п) а1 ( -1) + Тта1 ] ]
ехр {{ -4п)а1\ -1
+ Вп
Нетрудно увидеть, что поле (7) при ] = 0 и х) < 0 совпадает с полем (5), а при ] = N - 1 и х) > 0 — с полем (6).
Таким образом, поля вне решетки и в ней между сетками представлены тем же набором волн, что и для одной сетки: бегущих вправо или влево при т2 = т3 = 0 и неоднородных (далее прижатых к сеткам), бегущих вдоль сеток при т2 = т3 Ф 0. В решетке появился дополнительный набор волн, модулирующий амплитуду колебаний частиц с
волновыми числами л/и. Волновому числу п0х
(случай п2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.