научная статья по теме МНОГОМЕРНАЯ ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «МНОГОМЕРНАЯ ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА»

Автоматика и телемеханика, Л- 12, 2007

PACS 02.30.Yy

© 2007 г. E.H. ГРЯЗИНА, В.Т. ПОЛЯК, д-р техн. наук (Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва)

МНОГОМЕРНАЯ ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА1

Рассматриваются характеристические полипомы с аффшшой неопределенностью специального вида. Показано, что для такого семейства область устойчивости в пространстве параметров является объединением многогранников. Предложен простой способ выделения области устойчивости и нахождения радиуса устойчивости при различной норме неопределенности для непрерывных и дискретных систем. Эффективность предложенного метода подтверждается примерами.

1. Введение

Данная работа посвящена проблеме устойчивости линейных систем управления, заданных своим характеристическим полиномом. В работе рассматривается структура области устойчивости в пространстве параметров для полиномов с вещественными коэффициентами. Для непрерывных систем рассматриваются семейства вида:

V

(1) а(в,к) = ао(в) + / (в)^ Ь щ(в2), к = [къ...,К }е ^,

г=1

где аг(в), г = 0,1/(в) — полиномы с вещественными коэффициентами, <ед(ао) = по, <1ед(/) = пь шах{<ед(/) + <ед(аг), по} = п.

г

Для дискретных систем:

V

(2) а(г,к) = ао(г) + / (г)^ кг аг(г), к = }е ^,

г= 1

где полиномы <ед(ао) = по, <ед(/) = п1, аг(г), г = 1, одновременно сим-

метричные или антисимметричные как полиномы степени п ^ по — п1. Напомним, что полином аг(г) называется симметричным полином ом степени п, если аг(г) = = гпаг(г-1), и антисимметричным, если аг(г) = —гпаг(г-1) (например, полином г3 + г является симметричным полиномом 4-й степени).

Задача описания области устойчивости в многомерном пространстве в общей постановке крайне сложна. Предложенный более полувека назад метод ^-разбиения [1] описывает универсальный способ описания границы областей с постоянным числом

1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 05-01-00114, 05-08-00114) и Программы Президиума РАН '22.

устойчивых корней, но эффективное построение этих областей возможно, лишь когда число параметров не превосходит двух. В любом случае общее число областей, получающихся в результате ^-разбиения, может быть очень велико, для некоторых классов полиномов их количество оценивается в [2. 3]. Здесь рассматривается особый класс полиномов, для которых можно конструктивно описать область устойчивости для произвольного числа параметров, основываясь на идее ^-разбиения.

По-видимому, первыми в этом направлении являются работы [4, 5], в которых рассматривается непрерывный случай с f (в) = 1, и область устойчивости описывается системой линейных неравенств. Аналогичный результат для дискретных систем представлен в [6] и упоминается среди прочих нехаритоновских подходов к изучению робастности дискретных систем в обзоре [7]. Следует также упомянуть работы Акермана [8], Мунро [9], Бхаттачарии [10, 11], в которых строилась область

к-

устойчивости для ПИД-регулятора с передаточной функцией С (в) =--+ кр + к^в.

В этих работах отмечается, что при фиксированном коэффициенте усиления кр ^-разбиение плоскости оставшихся параметров (к^, ка} состоит из прямых, поэтому

область устойчивости является объединением многоугольников. Пробегая все зна-кр

устойчивости в пространстве всех трех параметров регулятора. При этом на основе обобщения теоремы Эрмита-Билера [12] был предложен алгоритм выделения среди многочисленных областей Д-разбиения тех, что являются компонентами области устойчивости. В данной работе показано, что характеристический полином

кр

является частным случаем семейства полиномов специального вида (1) и предложенный ранее алгебраический метод выделения области устойчивости работает и для многомерного пространства параметров.

В задачах робастной устойчивости [13, 14] применяется несколько иной подход, где важным понятием является радиус устойчивости. Предполагается, что для некоторого фиксированного набора параметров характеристический полином устойчив, тогда радиус устойчивости показывает, как сильно можно изменить параметры, чтобы система но потеряла устойчивости. Если неопределенными параметрами являются сами коэффициенты полинома, которые изменяются в некоторых интервалах, т.е. имеем дело с интервальным полиномом, то радиус устойчивости вычисляется с помощью годографа Цыпкина Поляка, являющегося графической формой теоремы Харитонова [15]. Более сложная ситуация аффинное семейство полиномов с параметрами, которые могут изменяться независимо, оставаясь ограниченными в какой-нибудь взвешенной норме, например в параллелепипеде или эллипсоиде. В этом случае вычисление радиуса устойчивости также возможно, но требует громоздких вычислений [14, 16]. Для специального семейства полиномов (1), (2) в работе предлагается простая альтернативная процедура определения радиуса робастной устойчивости.

Отметим, что в чистом виде полиномы рассматриваемого вида встречаются достаточно редко, однако зачастую задача может быть сведена к рассмотренному семейству, например, фиксацией параметров при почетных степенях. Такой прием последнее время хорошо зарекомендовал себя в комбинированных случайных/детор-минированных методах [17, 18].

Работа построена следующим образом. Второй раздел посвящен робастной устойчивости рассматриваемых семейств. В такой постановке подразумевается, что полином а(в, 0) = а0(в) устойчив и требуется описать все значения параметров, при которых эта устойчивость сохраняется. Особое внимание уделено тому, как выделить нужную компоненту области устойчивости, если последняя не является односвяз-ной. Все эти вопросы рассматриваются и для дискретного семейства. В этом же разделе рассматривается задача о нахождении радиуса устойчивости, когда параметры

могут изменяться в некоторой взвешенной норме. В третьем разделе описываются общие особенности структуры области устойчивости. Характерно, что для такого семейства метод ^-разбиения позволяет описать область устойчивости в случае произвольного числа параметров, основной операцией является решение линейных относительно параметров систем неравенств. В этом же разделе демонстрируется способ выделения области устойчивости и приводятся оценки количества систем линейных неравенств, разрешимость каждой из которых эквивалентна нахождению устойчивой компоненты. Каждый раздел сопровождается примерами. Четвертый раздел содержит заключительные выводы.

2. Робастная устойчивость

Пусть задан устойчивый номинальный полином а(з,к*) (а(г,к*)). Опишем компоненту области устойчивости в пространстве параметров, содержащую точку к*. В аффинном семействе линейной заменой параметров всегда можно добиться, чтобы номинальный полином соответствовал к* = 0. Без ограничения общности полагаем в дальнейшем, что для непрерывного случая все корпи ао(з) имеют отрицательную вещественную часть и ¿вд(ао) ^ шах{йвд(/) + ¿вд(аг)}, для дискретного случая кор-

г

ни ао(г) расположены внутри единичного круга, ¿вд(ао) = шах{с!вд(/) + ¿вд(аг)}.

г

2.1. Непрерывный случай

Границы областей с заданным количеством устойчивых и неустойчивых корней определяются методом Д-разбиения. Переход корней из левой полуплоскости в правую и наоборот происходит при тех значениях параметров, при которых полином имеет нулевой вещественный корень, пару сопряженных мнимых корней, либо при изменении степени полинома. Для рассматриваемого семейства (1) это описывается системой уравнений

V

(3) Ие(ао(.и)) + Ие(/(.и))^ ^¿(-и2) = 0,

г=1

V

(4) 1ш (ао(.и)) + 1ш (/О)) кгаг—2) = 0,

г=1

и е [0, ю].

V

Выражая из одного уравнения ^ кгаг(-и2) и подставляя в другое, получаем

г=1

уравнение вида иГ(и2) = 0, не содержащее параметров:

(5) Ие(ао (.и))1ш(/(.и)) - Ие(/(.и))1ш (ао(.и)) = 0.

Простые вещественные положительные корпи этого уравнения 0 = и о < и < ... ... < ит-1 назовем критическими частотами. Кроме того, если имеет место равенство ¿вд(ао) = шах{йвд(/) + ¿вд(аг)}, обозначим ит = это значение соответ-

г

ствуот случаю изменения степени. Для каждой критической частоты уравнения (3) и (4) линейно зависимы и описывают гиперплоскость в пространстве параметров, которая является границей Д-разбиения:

V

(6) р(иг) + |/(.иг) |253 к; а, (-и?) = 0, г = 0,1, ... ,т,

3=1

где р(и) = Ие (ао(.и))Ие (/(.и)) + 1ш (ао(.и))1ш(/(.и)).

Уравнение (6) представляет собой вещественную часть полинома а*(]ш,к) = = а(зш,к)/(— з^), в точках оно эквивалентно системе уравнений Д-разбиения (3) (4). Отметим, что не содержащее параметров уравнение (5) соответствует мнимой части полинома а*(зш,к).

Данные гиперплоскости делят пространство параметров ^ на области с постоянным количеством устойчивых корней, любая такая область является выпуклым многогранником. Впервые такое свойство области устойчивости было отмечено для систем с ПИД-регулятором с фиксированным коэффициентом пропорциональности в [8^10]. Действительно, при фиксированном кр характеристический полином имеет вид, рассматриваемый в данной статье.

2.2. Компонента, содержащая номинальный полином.

Границы областей с постоянным числом устойчивых корней задаются уравнениями (6). В общем случае область устойчивости может не быть односвязной и при исследовании робастной устойчивости необходимо выделить ту ее компоненту, которая содержит номинальный полином.

Теорема 1. Компонента области устойчивости семейства (1), содержащая номинальный устойчивый полином a0(s), описывается системой линейных относительно параметров неравенств

sign(p(wj)) рЫ + \f(jui)\2^ kj aj (-ш2) > 0, i = 0, 1,...,m

где p(u) = Re (ao(ju))Re (f (ju)) + Im (ao(ju))Im (f (ju)). Доказательство этой теоремы приведено в Приложении.

Пример 1. Этот пример предложен в [19]. Для заданного объекта требуется

к-

описать все ПИД-регуляторы вида C(s) = — + кр + kds, стабилизирующие его. Объект задан своей передаточной функцией

G(a) = s3 - 2s2 - s - 1

w s6 + 2s5 + 32s4 + 26s3 + 65s2 - 8s + 1 '

тогда характеристический полином замкнутой системы после домноженпя на соот-

f(-s)

S(s, к,, kp, kd) = s2(-s8 - 35s6 - 87s4 + 54s2 + 9) + + (k- + kds2)(-s6 + 6s4 + 3s2

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком