РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2009, том 54, № 10, с. 1245-1251
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^
В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.383.63
МНОГОМОДОВАЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
© 2009 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 13.06.2007 г.
Рассмотрена новая математическая модель автоколебательной системы с запаздыванием, содержащей дополнительную обратную связь, которая обеспечивает в системе автопараметрическое самовоздействие. Приведены результаты численного анализа предложенной модели. Показано, что при использовании автопараметрического самовоздействия хаотизация колебаний становится более развитой и реализуется даже в случаях, когда без дополнительной обратной связи возбуждаются лишь регулярные колебания.
ВВЕДЕНИЕ
Многомодовые автоколебательные системы, создаваемые, как правило, на основе широкополосных усилителей типа ламп бегущей волны (ЛБВ), хорошо известны как генераторы, обладающие хаотической динамикой. Первые экспериментальные наблюдения шумовых колебаний при их трактовке как специфики динамики автоколебательной системы, созданной на основе ЛБВ, описаны в [1]. В настоящее время известно относительно большое число радиотехнических моделей, описывающих хаотическое поведение в генераторах с запаздыванием. Каждая из них обладает определенными достоинствами и недостатками, тем более, что существуют и различные модификации генераторов с запаздывающей обратной связью. Ранние модели [2-11] являлись относительно простыми, но их уравнения описывали, тем не менее, многие особенности автоколебательных систем с запаздывающим аргументом. Более сложные модели генераторов с запаздыванием были исследованы позднее [12-16]. Известны также работы [17, 18], в которых для изучения хаотических процессов в генераторах с запаздыванием использовались непосредственно уравнения электроники.
В работах [12-16] приведены результаты исследований автоколебательной системы, получающейся при использовании классического линейного осциллятора. Уравнения этой системы в автономном режиме работы при собственной частоте осциллятора, равной единице, имеют вид
с2х/йг2 + цйх/йг + х = (1/а)С^(г)/йг,
5йг/йг + г = х(г - т), (1)
где Е(г) - характеристика нелинейного усилителя, в цепь обратной связи которого включены фильтр первого порядка с постоянной времени 5, линия задержки сигнала на время т, осциллятор с парамет-
ром диссипации ц и дифференцирующий элемент. Постоянная времени последнего равна а.
Уравнения (1) описывают достаточно сложную автоколебательную систему с запаздыванием и инерционностью. Они исследовались в основном при аппроксимациях амплитудной характеристики с помощью выражений
Яг) = Вог(1 + г")-1, (2)
^(г) = Могехр(-гт), (3)
где В0, М0, п, т - постоянные коэффициенты. В некоторых частных случаях [19, 20] применялись иные аппроксимации, в том числе и кубичная [20].
Выражения (2) и (3) позволяют достаточно хорошо отобразить реальные амплитудные характеристики используемых усилителей. При этом, как отмечается в [14], зависимость, определяемая соотношением (2) при п = 4, близка к широко используемой характеристике, описываемой формулой (3) при т = 2, если М0 = 1.5В0. Кубичная аппроксимация не адекватна реальной характеристике, и ее применение при численном анализе не во всех случаях целесообразно.
Помимо использования для описания автономных режимов работы, уравнения (1) рассматривались при изучении связанных хаотических систем [21, 22], а также при исследовании воздействия внешних сигналов [12, 13, 23]. Система (1) сводится к одному уравнению при отсутствии инерционного элемента (при 5 = 0). Как показано в [14], при стремлении параметра инерционности к нулю хаос сохраняется.
В данной работе рассматривается радиотехническая модель генератора с запаздыванием и инерционностью, имеющая, в отличие от системы (1), дополнительную автопараметрическую обратную связь и нелинейность в колебательном контуре. Приводятся результаты численного анализа предложенной автоколебательной системы.
1246
КАЛЬЯНОВ
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Более общая математическая модель автоколебательной системы получается на основе уравнений (1), если вместо линейного колебательного контура использовать ангармонический неавтономный осциллятор, описываемый нелинейным уравнением Матье [24]. В этом случае будем иметь
d2 x/ dt2 + ц dx/dt + ( 1 + a cos2t ) x + в x3 =
= ( 1/ст) dF( z)/dt,
S dz/dt + z = x ( t - t) ,
где a и в - постоянные, определяющие соответственно величины параметрической накачки и нелинейной возвращающей силы.
Уравнения (4) описывает автоколебательную систему с запаздыванием и инерционностью при параметрическом воздействии. При этом колебательные процессы усложняются за счет нелинейной возвращающей силы.
В системе (4) можно создать автопараметрическое "самовоздействие", если вместо внешней силы ввести собственный сигнал, задержанный на время T, достаточное для того, чтобы этот сигнал (сигнал x(t - T)) "воспринимался" системой как внешний. В этом случае уравнения (4) преобразуются к виду
d2 x/ dt2 + ц dx/dt + [ 1 + ax ( t - T)] x + в x3 =
(5)
При Т = т = а = в = 0 уравнения (7) преобразуются к системе, описывающей процессы в обычном генераторе, обладающем амплитудной характеристикой Р(х).
Таким образом,
(8)
(4)
dx/dt = ( 1/ст) F ( x ) - ( у + цл ), dy/dt = x.
В случае использования аппроксимации (2) эта система, после исключения переменной y, сводится к известному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка, полученному в [14]
d2x/dt2 + {ц - B[ 1+ xn( 1- n)]/( 1 + xn)2} x x dx/dt + x = 0,
(9)
= ( 1/ст) dF( z) / dt,
Sdz/dt + z = x(t - t),
где a имеет смысл коэффициента интенсивности автопараметрического самовоздействия.
Уравнения (5) описывают поведение исследуемой автоколебательной системы с запаздыванием и инерционностью при наличии дополнительной автопараметрической обратной связи. Модель, описываемая уравнениями (1), является частным случаем этой системы, получающимся при a = в = 0.
При численном анализе уравнения (5) записывались в эквивалентной им системе, имеющей вид
dx/dt = ( 1/ст)F(z) - (у + ),
dy/dt = {[ 1 + ax ( t - T)] + вx2 }x, (6)
dz/dt = [x(t - t) - z]/S.
Представленная запись системы (5) удобна тем, что F(z) входит в уравнение не в форме ее производной, а в явном виде, что позволяет использовать сложные аппроксимирующие функции.
В случае отсутствия инерционности (S = 0) система (6) сводится к двум уравнениям
dx/dt = ( 1/ст)F[x(t - t)] - (у + ц^),
n 2 (7)
dy/dt = {[ 1 + ax ( t - T )] + в x } x.
где В = В0/ст. В свою очередь, как отмечается в [14], это уравнение "в случае кубической характеристики ... преобразуется в классическое уравнение Ван дер Поля". Действительно, при = В0х(1 - х2) из системы (8) вместо уравнения (9) будем иметь
cl2x/dt2 - е(1 - ах2)Сх/Сг + х = 0, где в = В - ц, а = В/в.
Расчеты проводились при использовании метода Рунге-Кутта четвертого порядка. При вычислении бифуркационных диаграмм следующие значения начальных условий для переменных выбирали : х(0) = у(0) = г(0) = 0.1, х(0 - т) = х(0 - Т) = 0. Бифуркационные диаграммы рассчитывали при адиабатическом увеличении изменяемого параметра. Начальные условия при расчете реализаций, фазовых портретов и спектров мощности определялись величинами переменных, которые соответствовали выбранному значению изменяемого параметра на бифуркационной диаграмме. Шаг интегрирования при работе системы с автопараметрической обратной связью задавался меньшим по сравнению со случаем работы системы без этой связи, что обусловлено повышением средней частоты хаотических колебаний благодаря нелинейной возвращающей силе, используемой при подключении обратной связи, обеспечивающей автопараметрическое самовоздействие.
2. ВЛИЯНИЕ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В СИСТЕМЕ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ИНЕРЦИОННОСТЬЮ
На рис. 1-4 приведены зависимости, полученные при использовании для численного анализа уравнений (6) и выражения для амплитудной характеристики в форме (2). Величины неизменяемых параметров следующие: ц = 0.25, т = 2, п = 4, Т = 2.4. Параметры В, а, в, 5 варьировались. Шаг интегрирования при работе системы без дополнительной обратной связи выбран равным 0.02, а при работе с автопараметрическим самовоздействием - 0.01.
На рис. 1 представлены бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие изменение максимальных значений колебательного процесса (обозначенных [х]) в зависимости от параметра усиления В (при В = В0/а), когда коэффициенты а и в равны нулю (а) и когда при Т = 2.4 эти коэффициенты определяются величинами а = 4, в = 0.4 (б). В обоих случаях 8 = 1.
Видно, что как при отсутствии автопараметрического воздействия и нелинейной возвращающей силы (рис. 1а), так и при их наличии (рис. 16) автоколебания возбуждаются при превышении параметром усиления значения В - 4.4. Однако при автопараметрическом самовоздействии автоколебания возбуждаются более жестко и интенсивность колебаний выше. При этом выше и средняя частота хаотических колебаний. Об этом свидетельствует то, что число точек, соответствующих максимальным значениям колебательного процесса, а также их "разброс" больше в случае автопараметрического самовоздействия. Число точек в случае автопараметрической обратной связи больше (рис. 16) несмотря на то, что их число уменьшено вдвое по сравнению с рис. 1а за счет того, что шаг интегрирования в случае рис. 1а равен 0.02, а в случае рис. 16 - 0.01.
На рис. 2 приведены характерные реализации, на рис. 3 - фазовые портреты (аттракторы) и на рис. 4 - спектры мощности в двух режимах, отображаемых соответственно на диаграммах рис. 1а, 16 при величине параметра усиления В - 8. В обоих режимах возбуждаются хаотические колебания и реализуется хорошее перемешивание фазовых траекторий. При наличии дополнительной автопараметрической обратной связи наблюдается перемежаемость типа "хаос-хаос", что четко видно на фрагменте реализации колебаний, представленной на рис. 26. При этом спектр мощности при работе системы с дополнительной обратной связью (рис. 46) значительно шире, чем в слу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.