РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2010, том 55, № 4, с. 450-458
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.321.8
МНОГОМОДОВЫЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ФИЛЬТРОМ
В ЗАДЕРЖАННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ © 2010 г. Э. В. Кальянов, В. И. Калинин
Поступила в редакцию 06.10.2008 г.
Рассмотрена хаотическая автоколебательная система, основанная на генераторе с запаздыванием, содержащем фильтрующий элемент в цепи обратной связи. Приведены результаты численного анализа уравнений, описывающих такой генератор при симметричной и асимметричной амплитудных характеристиках, позволяющих в широких пределах варьировать их нелинейность. Рассмотрен механизм перехода к хаосу. Исследован двухкаскадный генератор с запаздыванием, содержащий фильтр между парциальными усилителями.
ВВЕДЕНИЕ
Как отмечается в работе [1], исследование хаоса является одной из самых важных и интересных проблем физики и астрономии начала XXI в. С этой проблемой связано и изучение автоколебательных систем с запаздыванием, численный анализ различных модификаций уравнений которых приведен во многих работах [2—27]. Развитие хаотической динамики при возбуждении новых нелинейных мод удобно исследовать на основе автоколебательной системы с запаздыванием, в цепь обратной связи которой наряду с инерционным элементом и линией задержки включен резонансный фильтр [16]. Эта модель достаточно полно соответствует генератору с запаздыванием, создаваемым на основе лампы бегущей волны с фильтром в цепи обратной связи, экспериментальное исследование которого проводилось в [28], и ее детальный теоретический анализ представляется целесообразным. Особый интерес представляет исследование в такой системе влияния асимметрии амплитудной характеристики. В данной работе численными методами исследуется математическая модель автоколебательной системы, состоящей из замкнутых в кольцо нелинейного усилителя, линии задержки и фильтров первого и второго порядков. Наряду с исследованием работы автоколебательной системы при симметричной характеристике рассматривается работа при значительной асимметрии амплитудной характеристики, реализующейся в практических генераторах. Рассмотрен двухкаскад-ный генератор, в котором один усилитель обладает асимметричной характеристикой с падающим участком, а другой имеет ограничительную амплитудную характеристику.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С АСИММЕТРИЧНЫМИ АМПЛИТУДНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Достаточно общая однокаскадная модель автоколебательной системы с запаздыванием, состоящей из нелинейного усилителя, дифференцирующего элемента, фильтров первого и второго порядков и линии задержки, описывается уравнениями [14]
d2x/dt2 + (w0/Q) dx/dt + ю0 x = (ю0/a)dF(z)/dt, (1)
S dz/dt + z = xT , где x = x(t) — колебания на выходе фильтра второго порядка, xT = x(t — т) — колебания на выходе линии задержки (на входе фильтра первого порядка), т — запаздывание в обратной связи, z=z(t) — колебания на выходе фильтра первого порядка (на входе усилителя), а и S — постоянные времени дифференцирующего элемента и фильтра первого порядка, ю0, Q — резонансная частота и добротность фильтра второго порядка, F(z) — нелинейная функция.
Применительно к рассматриваемой математической модели, когда нет дифференцирующего элемента, можем на основе уравнений (1), записывая их в удобном для численного анализа виде, получить dx/dt = y — (w0/Q) x,
dy/dt = F(z) — ®o x, (2)
dz/dt = [xT - z ]/S.
В случае отсутствия фильтра второго порядка эта система преобразуется в широко известное дифференциально-разностное уравнение
S dz/dt + z = F(zT), (3)
которое предложено при различных характеристиках с падающим участком в [2, 3] и исследовалось во многих работах. Оно нашло важные приложения в различных областях науки и техники [29-32]. При исследовании хаотических решений уравнения (3)
F(z)/B
(a)
0.8 - // —" 1 40
0.4 1/ у 1 20
\ -1 0 1 - -0.8 2z 0
9
—1.2
F(z) 6
(б) 3
0.6 0
0.3 - / л \ -3
-2^ 0 1 - -0.8 2z 9 6
Рис. 1. Симметричные (а) и асимметричные (б) амплитудные характеристики: а) n = 0 (1); 2 (2); 4 (3); б) £ = 0 (1), 0.4 (2), 0.8 (3).
(в)
3 ;>
0 -
использовались различного типа симметричные амплитудные характеристики с падающим участком.
При отсутствии запаздывания из уравнения (2) получаются уравнения Дмитриева—Кислова [33]. В них учитывалось и влияние асимметрии характеристики. При используемой в работе [33] асимметричной характеристике рэлеевского типа они могут быть при выбранном расположении элементов записаны в виде
dx/dt = y — (w0/Q)x,
dy/dt =B z exp[-(z - £) 2] - x, (4)
dz/dt = (x - z)/5, где B - коэффициент усиления, £ — параметр асимметрии.
При численном анализе уравнений (2) для аппроксимации нелинейной характеристики целесообразно использовать следующее выражение:
F(z) = B arctg (z)/[1 + (z - £)n], (5)
где n - параметр нелинейности. Остальные обозначения имеют прежний смысл.
Выражение (5) позволяет в широких пределах варьировать формой амплитудной характеристики. При £ = 0 характеристика является симметричной, причем ограничительной при n = 0 (рис. 1а, кривая 1) и с падающим участком при n = 2, 4 (рис. 2а, кривые 2
Щ
Рис. 2. Изменение максимальных значений колебательного процесса в зависимости от частоты фильтра при значениях параметрах нелинейности п = 0 (а) и п = 4 (б, в).
и 3). С увеличением параметра £ проявляется асимметрия характеристики, увеличивающаяся с ростом £. Это показано на рис. 2б для случая п = 4 при £ = 0 (1), 0.4 (2) и 0.8 (3). Уже при £ = 0.8 асимметрия такова, что амплитудная характеристика практически полностью находится в первом квадранте на плоскости {г, Дг)}.
При замене обратной тригонометрической функции аг^(г) на ее аргумент г выражение (5) отображает (при £ = 0 и учете запаздывания) аппроксимацию характеристики, используемую в работе [2] применительно к уравнению типа (3). При этом соотношение (3) получило название уравнения Мэки—Гласса. При аппроксимации нелинейного элемента с помощью синусоидальной функции соотношение (3) называют уравнением Икеды. Следует отметить, что уравнение автоколебательной системы типа (3) при линейной и ограничительной характеристиках рассматривалось еще в работе [34].
2
3
4
Соотношения (2), (5) описывают математическую модель однокаскадного генератора с запаздыванием, который содержит фильтрующий элемент.
Возможность варьирования крутизны амплитудной характеристики при ее аппроксимации с помощью выражения (5) представляется интересным в случае каскадного варианта математической модели, предложенной в [18], который представляет больший интерес для практики. При этом целесообразно использовать в одном из каскадов, маломощном, асимметричную амплитудную характеристику, а в выходном — ограничительную.
Уравнения системы в каскадном варианте с учетом аппроксимации (5) можно представить в виде йх/йг = (ю0/0 х + и, 2
йи/йг = ю0 [^1(г1) — х],
йгх/йг = - Т1)] - £11/81, (6а)
й^/й? = [х(г - Т2) - £2]/§2,
где
(г) = Бхаге1Е&)/[ 1 + - 0.8)0 4], 1 1 1 1 1 (6б)
Р2[г2(^- Т1)] = 0.5Б2аге1£[г2(^- Т1)].
Уравнения (6) описывают процессы в каскадном варианте системы, состоящей из двух усилителей, между которыми помещен резонансный фильтр, имеющий добротность Q и резонансную частоту ю0. Нелинейный элемент первого генератора является асимметричным и обладает падающим участком. Характеристика выходного каскада является ограничительной. В соответствии с уравнениями (6а) и (6б) колебания с выхода второго усилителя подаются на вход первого усилителя через направленный от-ветвитель, имеющий коэффициент ответвления у. Переменная х отображает колебательные процессы на выходе резонансного фильтрующего элемента, а переменные £1 и £2 определяют колебания на выходах инерционных элементов (на входах нелинейных элементов), обладающих соответственно параметрами релаксации 81 и 82. Запаздывание в системе определяется временами задержки парциальных подсистем т1 и т2. Колебания у(1) на выходе направленного ответвителя каскадного генератора определяются выражением
V = (1 - у ) 0.5В2аге1£(£2). (7)
Расчеты проводились методом Рунге-Кутта 4-го порядка при шаге интегрирования 0.02. Начальные условия для переменных равны 0.1.
2. СЛУЧАЙ СИММЕТРИЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
При перестройке фильтрующего элемента в системе, описываемой соотношениями (2), (5) при £, = = 0, возникают зоны генерации, число которых определяется запаздыванием в цепи обратной связи. При ограничительной характеристике нелинейного
элемента колебания в каждой зоне являются регулярными, тогда как при наличии падающего участка в амплитудной характеристике колебания на границах зон генерации усложняются вплоть до хаоса. Во всех случаях при изменении собственной частоты фильтра проявляется гистерезис.
Отмеченные особенности колебаний иллюстрируются рис. 2. На нем приведены бифуркационные диаграммы, показывающие изменение максимальных значений [х] колебательного процесса х(г) в зависимости от частоты фильтра. Диаграммы рассчитаны в случаях ограничительной характеристики (п = 0, рис. 2а) и характеристики с падающим участком (п = 4, рис. 2б, 2в) при В = 2 ипри В = 4 соответственно. Во всех случаях значение добротности фильтра равно Q = 20. Постоянная времени инерционного элемента при расчетах полагалась равной 8 = 0.25, а время запаздывания в линии задержки т = 4. Кривая 1 на рис. 2а и диаграмма рис. 2б рассчитаны при адиабатическом увеличении резонансной частоты фильтра второго порядка, а кривая 2 на рис. 2а и диаграмма рис. 2в - при адиабатическом уменьшении частоты.
Видно, что при использовании ограничительной характеристики (рис. 2а) переход от одной зоны генерации к другой существенно отличается от случая (рис. 2б, 2в), когда характеристика имеет падающий участок. При ограничительной характеристике переход от одной зоны к другой реализуется при сохранении регулярного режима работы, хотя в узком интервале изменения частоты ю0 заметно удвоение периода колебаний. При характеристике с падающим участком переход от одной зоны генерации к другой сопровождается возбуждением сложных и хаотических колебаний. Последнее обусл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.