научная статья по теме МНОГОСЕТОЧНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ Математика

Текст научной статьи на тему «МНОГОСЕТОЧНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 11, с. 1938-1952

УДК 519.634

МНОГОСЕТОЧНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ

© 2010 г. К. Н. Волков

(Университет Суррея, Гилфорд, GU2 7XH, Великобритания) e-mail: k.volkov@surrey.ac.uk Поступила в редакцию 07.05.2009 г.

Предлагается многосеточный метод решения системы разностных уравнений, полученной в результате конечно-объемной дискретизации уравнений Эйлера или Навье—Стокса на неструктурированной сетке. Последовательность вложенных неструктурированных сеток строится при помощи метода схлопывающихся граней, учитывающего особенности задачи (невязкая/вязкая). Возможности подхода демонстрируются на примере решения задачи обтекания профиля равномерным потоком невязкой и вязкой сжимаемой жидкости на структурированной, неструктурированной и гибридной сетке. Приводится топология сеток различного уровня, обсуждается их качество и влияние структуры сетки на фактор сходимости многосеточного метода. Библ. 17. Фиг. 11.

Ключевые слова: многосеточный метод, неструктурированная сетка, метод конечных объемов, уравнения Эйлера, уравнения Навье—Стокса, задачи газовой динамики.

1. ВВЕДЕНИЕ

Выбор метода решения системы разностных уравнений оказывает существенное влияние на устойчивость вычислительной процедуры и скорость сходимости итерационного процесса. Одним из универсальных методов решения систем разностных уравнений является многосеточный метод (Multi-Grid Method, MGM), основанный на использовании последовательности вложенных сеток и операторов перехода от одной сетки к другой.

Процесс решения начинается с самой грубой сетки. Решение, полученное на грубой сетке, интерполируется на подробную сетку и используется в качестве начального приближения в каком-либо итерационном процессе, что требует сравнительно небольшого числа итераций для достижения заданной точности. При этом учитывается свойство некоторых итерационных методов (например, метода Гаусса—Зейделя) сходиться с высокой скоростью на нескольких итерациях за счет быстрого подавления высокочастотных компонент Фурье начальной ошибки в разложении по базису из собственных векторов, замедляясь в дальнейшем. Низкочастотные гармоники сходятся медленнее и составляют основную часть ошибки.

Многосеточный метод не является фиксированным методом, а представляет собой шаблон и сборную конструкцию, эффективность реализации которой зависит от адаптации ее компонентов к решаемой задаче.

Наиболее простой реализацией классических многосеточных методов является каскадный метод, состоящий из процедуры интерполяции с итерационным сглаживанием.

Многосеточный алгоритм для стандартной пятиточечной дискретизации уравнения Пуассона в единичном квадрате сформулирован в [1], а заложенные идеи получили развитие в [2], [3]. Существенный вклад в перенесение идей многосеточного алгоритма на область решения нелинейных уравнений, разработку техники многоуровневой адаптации и метода вложенных итераций внесли авторы работы [4], [5].

В современных численных методах используются многоуровневые многосеточные методы с явным и неявным построением последовательности сеток.

Многосеточный цикл включает в себя следующие этапы: предварительное сглаживание (pre-smoothing), расчет невязки на текущем уровне сетки (residual calculation), ограничение и коррекция невязки на грубой сетке (restriction), продолжение и интерполяция ошибки на подробную

1938

сетку (prolongation), коррекция решения на подробной сетке с использованием поправки, интерполируемой с грубой сетки (coarse grid correction), заключительное сглаживание (post-smoothing) для погашения высокочастотных компонент погрешности, появляющихся после интерполяции на подробную сетку. Вычисления прекращаются по достижении заданной точности.

Сглаживающий метод (smoother), демпфирующий высокочастотные моды ошибки, представляется наиболее зависимым компонентом многосеточного метода от типа решаемой задачи (см. [6]). Роль сглаживающего метода заключается в том, что он должен не столько уменьшать полную ошибку, сколько сглаживать ее (подавлять высокочастотные гармоники) так, чтобы ошибка допускала хорошее приближение на грубой сетке. Стандартными сглаживающими методами являются линейные итерационные методы (метод Якоби, метод Гаусса—Зейделя, метод неполной факторизации).

Выбор последовательности сеток и оператора интерполяции во многом определяют качество многосеточного метода. Критериями качества являются фактор сходимости, показывающий насколько быстро сходится метод (сколько итераций требуется для достижения заданного уровня невязки), и сложность операторов ограничения и продолжения, определяющая количество операций и объем памяти, необходимых для каждой итерации.

В задачах механики жидкости и газа для реализации многосеточной технологии применяются различные подходы.

1. Используется независимая последовательность сеток, построенных при помощи того или иного сеточного генератора (см. [7]) (black-box grid generator). Процедура построения сеток различного уровня не является полностью автоматизированной (сетки различного уровня строятся вручную), а связь между топологией сеток и многосеточным методом отсутствует. Однако имеется возможность использования произвольного сеточного генератора, что придает подходу определенную гибкость.

2. Для решения сложных задач используется подход, основанный на построении весовых множителей грубой сетки (edge weights) при помощи слияния контрольных объемов подробной сетки (см. [8]) (agglomeration multi-grid). Использование гибридной сетки не приводит к дополнительным трудностям, обеспечивая высокие показатели эффективности.

Различают алгебраический (Algebraic Multi-Grid, AMG) и геометрический (Full Approximation Storage, FAS) подходы. В алгебраическом подходе дискретные уравнения на последовательности вложенных сеток формируются без построения вложенных сеток, а в геометрическом — иерархия сеток создается при помощи слияния контрольных объемов подробной сетки (при этом отпадает необходимость хранения сеток различного уровня в виде отдельных файлов). В зависимости от топологии исходной сетки, грубые сетки имеют ячейки нерегулярной формы с различным числом граней (несколько контрольных объемов подробной сетки объединяются в контрольный объем грубой сетки). Простота построения сеточных уровней приводит к простоте построения операторов ограничения и продолжения. Геометрический подход представляется более подходящим для решения нелинейных задач, поскольку нелинейности исходной системы передаются вниз по иерархии сеток (от подробной сетки к грубой). Подход нарушает сумму порядков точности операторов ограничения и продолжения при решении уравнений Навье—Стокса (см. [5]).

3. Последовательность вложенных сеток строится при помощи внедрения новых узлов с последующим перестроением сетки (см. [9]) (grid adaptive refinement). Процесс построения сеток начинается с самой грубой сетки, что приводит к трудностям контроля качества подробной сетки в пристеночной области при решении вязких задач. Несмотря на полностью автоматизированную процедуру построения последовательности вложенных сеток, возникают также трудности при моделировании течений около тел сложной формы, для воспроизведения поверхности которых используются сплайны.

4. Использование процедуры, основанной на схлопывании грани подробной сетки для перехода к следующему сеточному уровню. Процесс построения сеток начинается с сетки наилучшей разрешающей способности. Такой подход представляется достаточно гибким и эффективным, позволяя достичь 1-го порядка точности для оператора ограничения и 2-го порядка точности для оператора продолжения (см. [9], [10]), и в модифицированном виде используется в данной работе.

Последовательность вложенных структурированных сеток строится тривиальным образом (узлы сетки поочередно удаляются в каждом координатном направлении).

Подход к построению последовательности вложенных треугольных и тетраэдральных сеток развивается в [11] (full coarsening method). Два узла сетки, связанных гранью, заменяются одним узлом, а все ячейки, связанные с этой гранью, перестраиваются. В процессе огрубления сетки от-

ношение числа ячеек к числу узлов остается постоянным. Дополнительные ограничения позволяют добиться изотропности сетки (например, около стенки).

Обобщение подхода из [11] на случай гибридных сеток представляется затруднительным, поскольку при перестроении ячеек их форма (число угловых точек) должна, по возможности, сохраняться, чтобы не нарушалась топология вложенных сеток. На треугольной или тетраэдральной сетке удаление двух узлов и замена их одним (схлопывание грани) приводит к исчезновению ячейки, а на гибридной сетке исчезновение ячейки связывается со схлопыванием нескольких граней. Огрубление сетки в регулярной шестигранной области приводит к уменьшению числа узлов в 2 раза, но не приводит к уменьшению числа граней, в связи с чем подход из [11] не сохраняет регулярной структуры грубых сеток.

В [12] рассматривается граф узлов сетки и вводятся два ограничения, одно из которых состоит в том, чтобы схлопывание граней сетки не приводило к возникновению ячеек с отрицательным объемом, а другое — в том, чтобы длина ни одной из соседних граней не превышала заданной длины (при огрублении сетки длина грани удваивается). Подход из [12] дает последовательность сеток высокого качества в приблизительно изотропном случае (расчеты невязких течений). В расчетах вязких течений подход приводит к слишком грубому разрешению сетки вблизи стенки, не обеспечивая надлежащей точности (см. [13]).

В модифицированном подходе (directional coarsening method), развиваемом в [13], для построения сетки в пограничном слое, где используются ячейки, сжатые по нормали к стенке, накладывается дополнительное ограничение, не позволяющее схлопывать самую короткую грань в ячейке. Схлопывание грани проводится тогда, когда имеется еще одна грань, ориентированная по нормали к стенке. Модифицированный подход позволяет сохранить структурированную часть сетки вблизи стенки

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»