ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 2, с. 131-137
УДК 66 (015+021.21)
МНОЖЕСТВЕННОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ И ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ РЕАКТОРЕ С НЕПОДВИЖНЫМ СЛОЕМ КАТАЛИЗАТОРА © 2010 г. С. А. Бостанджиян, К. Г. Шкадинский*
Институт структурной макрокинетики и проблем материаловедения РАН, г. Черноголовка, Московская область *Институт проблем химической физики РАН, г. Черноголовка, Московская область
bosschg@gmail.com Поступила в редакцию 09.10.2008 г.
На основе двухфазной математической модели проведено исследование гетерогенно-каталитических реакций в цилиндрическом реакторе осевого течения с неподвижным слоем катализатора. Определены области множественности стационарных состояний по основным технологическим параметрам — скорости потока и температуре хладагента. Исследованы переходные режимы от одного стационарного состояния к другому, возможные маршруты выхода к различным стационарным состояниям.
ВВЕДЕНИЕ
Систематическое исследование двухфазной модели реактора с неподвижным слоем катализатора началось после опубликования работ Лью и Амунд-сона [1, 2]. Рассматривалась простейшая модель, в которой диффузионным переносом вещества и кон-дуктивным переносом тепла в газе и в катализаторе в осевом направлении пренебрегается, учитывается только конвективный перенос тепла и вещества.
Существенное улучшение двухфазной математической модели Лью и Амундсона было осуществлено Айгенбергером [3, 4] путем введения в уравнении теплового баланса для слоя катализатора слагаемого, выражающего кондуктивный теплоперенос по каркасу слоя.
Модель Айгенбергера была усовершенствована и до некоторой степени упрощена в работах А.А. Бута-кова и А.Г. Мержанова [5, 6]. Усовершенствование коснулось уравнений энергии и диффузии для реагирующего газа. В этих уравнениях у Айгенбергера учитываются только конвективные слагаемые переноса тепла и вещества, в модели Бутакова-Мержа-нова наряду с конвективными слагаемыми учитываются также диффузионные слагаемые переноса тепла и вещества по газу. Упрощение модели выразилось в уменьшении числа дифференциальных уравнений. У Айгенбергера процесс описывается системой четырех уравнений — двух уравнений энергии для катализатора и газа и двух уравнений для концентрации в движущемся газе и внутри зерна катализатора. Модель Бутакова—Мержанова не содержит уравнений для концентрации внутри катализатора, замыкание системы осуществляется использованием двух алгебраических соотношений, выражающих взаимосвязь теплообмена и массообмена между катализатором и реагирующим газом.
При анализе различных математических моделей реакторов с неподвижным слоем катализатора одним из основных вопросов является вопрос о числе стационарных состояний и областях изменения основных параметров задачи, где возможны различные режимы протекания реакции.
Стационарные состояния в принципе можно исследовать на основе нестационарной системы уравнений, применяя метод установления. Но этот путь трудоемкий и недостаточно эффективный по следующим причинам. Во-первых, границы областей множественности стационарных состояний определяются методом "вилки", но чем ближе к этим границам берутся значения параметров, тем медленнее происходит выход на стационарный режим. Во-вторых, методом установления можно получить только устойчивые режимы, поэтому вопрос об общем числе стационарных решений остается открытым. Между тем, неустойчивые стационарные режимы, помимо общего теоретического интереса, представляют также практический интерес, поскольку в ряде случаев процесс приходится вести именно в этом режиме посредством стабилизации его системой управления с обратной связью.
Целью данной работы является определение области множественности стационарных состояний по основным технологическим параметрам — расходу и температуре хладоагента, исследование динамики воспламенения, погасания и выхода на стационарный режим, определение способов выхода к различным режимам и исследование динамики перехода от одного режима к другому.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
В данной работе используется двухфазная математическая модель Бутакова—Мержанова [5, 6]. Согласно этой модели, процесс описывается системой трех
дифференциальных уравнений—двух уравнений теплопроводности для катализатора и газа и уравнения для глубины химического превращения. В безразмерных переменных система уравнений, начальные и граничные условия записываются в виде [6, 7]
ф501 _ фхА + у Ба[ ( 1 - п) ехр [ 6 ! / ( 1 + в б!)] - 01-02 - 0 1 - 0 „ 1, 5т Ре д%2 у 11 + уКЬе"- 1 ехр [ 0 1/( 1 + р01 ) ] к Бе Г
(1 - ф)д02 _ (1^-ф)д!02 - ( ! - ф)50- + ^£(01 - 02) ,
^ Ре 5%2 ^ у К 1
(1 - ф)^ = (1 - Ф) ^ - (1 - Ф)д? +
5т Ре5%2 5%
+
Ба( 1 - п ) ехр [0 1 / (1 + в 0 1)] 1 + уК Ьеп - 1ехр [01 /(1 + в01)]'
т = 0: 01 =
^ П = П п
(2)
Ре _
УЬ а2
Ье _
Б
У =
С2 Р2
К =
Бе _
"2 С1 р1 гсоОЕко ехр [ -Е/(ЯТо) ]
Ь аЯтО Со О Ко Е ехр[-Е/ ( ЯТо) ]
(ажБо/Уо)Я Т .
Б1 _
ао Ь
V
д0
% _ о: д-1 = Б1(01 - 0^),
д0
5% _ Ре(02- ^, 5%
% _ 1: 50- _ о, 502 _ о,
ь 5% 5%
5 п _ Ре
ЬеП;
5П _ о.
5%
Безразмерные переменные и параметры:
0 _ Е (Т - То), % _ X, т _ У, ЯТП Ь Ь
(3)
п
! о
—С, 0'- _ Е(Т- То) (/ = 1,2),
со ЯТо
1 о
ЕЕ
01п _ 2( Т'п - То) , _ 2(- То),
ЯТо ЯТо
П-п _
Ь
- К
У
С_о_Сп, Ба _ Ькоехр[-Е/(ЯТо)],
а _
а_
12
С1Р1 С2 Р2
, У
яТ с
о С2 р2
Е Осо
, X _
Стационарную систему уравнений можно получить, приравняв к нулю левые части уравнений (1). Прежде чем перейти к стационарной системе уравнений, отметим, что такой важный технологический параметр как скорость потока входит в два безразмерных параметра: в параметры Дамкелера и Пекле. Изменение расхода влечет за собой одновременное изменение обоих параметров, что затрудняет исследование различных стационарных режимов и переходы между ними, связанные с изменением расхода. Вместо параметра Дамкелера можно ввести параметр 5 = Ре Да/у, не содержащий скорости потока и являющийся известным из теории теплового взрыва параметром Франк-Каменецкого [8]
5_
Осо
X
Е КоЬ2ехр[-Е/(ЯТо)].
2 ЯТо
Приравняв левые части уравнений (1) к нулю, получим систему трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, решение которой тоже представляет определенные трудности. Но можно сделать физически разумные допущения, значительно упрощающие решение поставленной задачи. Во втором и третьем уравнениях системы (1) осевой перенос тепла и вещества осуществляется в основном конвективно, диффузионный перенос мал по сравнению с конвективным переносом, поэтому вторыми производными можно пренебречь.
о
2
(4)
Введем обозначения: У1 = 01(^), у2 = 02 (-), Уз = П(-), У 4 = 01 (-).
С учетом сделанных допущений стационарную систему, соответствующую нестационарной системе (1), можно записать в виде:
йу1 йу2 _ 5 ( ) 1- " У4, 1- " К( 1 - ф) Рв(У1 - У2),
1 - Уз
1Уз =
1 - (1 - ф)Ре\уКЬе"-1 + ехр[-У1 /(1 + рУ1)]
1.4 = -у5|_1 - Уз__(5)
1 - ФК\yKLe"- 1 + ехр [-У1/ ( 1 + рУ 1 ) ]
У1 -У2 У1 - 0ж 1
К
Бе
Получили систему четырех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения этой системы нужно задавать краевые условия, т.е. значения всех искомых функций на входе в реактор. Даже для лабораторных реакторов, не говоря о промышленных реакторах, значения параметра Пекле достигают нескольких сот и тысяч. При таких значениях Ре граничные условия Данкверста для газа на входе в реактор превращаются в граничное условие первого рода, что подтверждается также проведенными расчетами по нестационарной системе уравнений (1). В использованной модели слой катализатора представляется в виде пучка тонкостенных капилляров, ориентированных вдоль продольной оси реактора. При таком представлении теплоотдача от переднего торца мала, и можно считать его теплоизолированным. С учетом сказанного краевые условия можно записать в виде
- = 0: У1 = Б, У2 = 0Ыр, Уз = 0, У4 = 0, (6)
где Б — неизвестное пока значение температуры катализатора на входе в реактор. При произвольно заданном значении Б производная на выходе из реактора не равна нулю, что требуется условием (3). Значение Б нужно определить так, чтобы выполнялось условие у4 (1) = 0.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Система (5) с краевыми условиями (6) решалась методом Рунге—Кутта. Значение искомой величины 8 определялось методом пристрелки. Если обозначить 01 (1) = /(Б), то задача сводится к решению трансцендентного уравнения /(Б)=0, при этом для получения значения функции в какой-то точке необходимо провести интегрирование системы (5). Расчеты проводились при фиксированных значе-
ниях параметров: ф = 0.5, у = 0.01, х = 0.1, р = 0.03, у = 0.05, 0пр = -5, 1е = 1/3, п = 1/3, К=0.3, Бе = 3, Ы = 0, 5 = 1000. Варьировались параметры Ре и 0„.
В зависимости от значений параметров задачи кривая /(Б) может пересекать ось абсцисс в одной, трех или в пяти точках, соответственно исходная задача допускает одно, три или пять стационарных состояний. Если для наиболее общего случая пяти решений корни уравнения /(Б) = 0 пронумеровать в порядке возрастания, то решения, соответствующие нечетным номерам, устойчивые, четным - неустойчивые. Первое стационарное состояние соответствует низкотемпературному кинетическому режиму. Пятое стационарное состояние соответствует высокотемпературному диффузионному режиму. Отличительной особенностью кривых распределения температуры катализатора по длине реактора диффузионного режима является то, что их максимумы при всех значениях параметров находятся вблизи входа в реактор. С ростом расхода максимальная температура растет, координата максимума слабо растет, температура катализатора на переднем торце высокая.
Третий режим также является высокотемпературным, но в отличие от пятого режима максимум может находиться в любой точке реактора, вплоть до его конца, но не ближе максимума диффузионного режима. Температура катализатора вблизи входа близка к температуре на входе. Этот режим будем называть отрывным. Пяти корням уравнения/Б) = 0 в порядке возрастания соответствуют режимы: 1 - кинетический, 2 — неустойчивый отрывной, 3 — устойчивый отры
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.