ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2004, том 97, № 3, с. 5-14
^ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.61:538.915
МОДЕЛЬ ХАББАРДА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРОИЗВОДЯЩЕГО ФУНКЦИОНАЛА
© 2004 г. И. Ä. Изшмов, Н. И. Чащин
Институт физики металлов УрО РАН, 620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18 Поступила в редакцию 11.08.2003 г.
Метод производящего функционала, ранее предложенный авторами для описания спиновых и сильно коррелированных систем, применяется к модели Хаббарда в условиях сильной корреляции. Для электронной функции Грина, выраженной в терминах Х-операторов, выведено уравнение в вариационных производных по флуктуирующим полям. Уравнение имеет матричную структуру и содержит матричные элементы, учитывающие куперовское спаривание. Для нормальной фазы основное уравнение расщеплено на два: для собственно-энергетической и концевой частей. Итерации этих уравнений порождают теорию возмущений по параметру W/U, где W- ширина затравочной зоны, а U - величина кулоновского отталкивания на узле. В хартри-фоковском приближении по параметру W/U получены самосогласованные уравнения для среднего поля. Хартриевская поправка соответствует приближению "Хаббард-1" и приводит к двухзонному квазичастичному спектру. Учет фоковской поправки при U s W может нарушить эту картину и привести к комплексным значениям энергии в некоторых участках спектра, превращая щель в псевдощель.
1. ВВЕДЕНИЕ
За сорок лет, прошедших с появления знаменитой работы Хаббарда [1], электронная модель металла с сильным кулоновским отталкиванием на узле, получившая название модель Хаббарда, была исследована многими способами. Несмотря на значительные успехи в понимании ее кванто-во-статистических свойств, некоторые вопросы остаются не полностью выясненными. Причиной этому являются математические трудности, возникающие в условиях сильной корреляции, когда параметр и кулоновского отталкивания на одном узле порядка ширины W затравочной зоны. В последнее десятилетие значительный прогресс достигнут при использовании метода динамического среднего поля (БМРТ) (см. обзор [2]), основанного на рассмотрении предела бесконечной размерности пространства С = В этом приближении удается с единой точки зрения вычислить совокупность основных свойств модели: ее квазичастичный спектр, коллективные моды, термодинамику и объяснить фазовую диаграмму модели с учетом металлической и диэлектрической фаз как в парамагнитном, так и в магнитоупорядочен-ных состояниях.
К сожалению, в методе БМБТ игнорируется зависимость собственной энергии электрона от импульса - учитываются лишь ее динамические свойства. Среди многих других подходов, использовавшихся в теории сильно коррелированных систем, укажем метод производящего функционала, первоначально примененный для обычных
фермисистем [3], а затем обобщенный на спиновые и сильно коррелированные системы, описываемые операторами спина и Х-операторами Хаббарда (см. обзор [4] и монографию [5]). Этот метод, детально разработанный нами для модели Гейзенберга [6], был распространен недавно на ¿/-модель [7], яС-модель [8] и периодическую модель Андерсона [9]. Для каждой модели введен производящий функционал, описывающий взаимодействие системы с внешними флуктуирующими полями, и выведены уравнения для него в вариационных производных по этим полям. Различные функции Грина (ФГ) представляются как вариационные производные по этим полям. Например, для ¿/-модели, являющейся предельным случаем модели Хаббарда при и > W, мы получили уравнения в вариационных производных для электронной ФГ [7]. Это уравнение расщепляется на пару уравнений для собственно-энергетической и концевой частей, которые могут решаться методом итераций по параметру перескока электрона с узла на узел - величине порядка ширины затравочной зоны Ж
В настоящей работе мы развиваем метод производящего функционала для полной модели Хаббарда в условиях сильной корреляции, когда гамильтониан модели целесообразно выразить в терминах Х-операторов. Электронная ФГ тогда является матрицей по индексам двух хаббардов-ских подзон, на которые расщепляется исходная затравочная зона. Мы выведем матричные уравнения в вариационных производных для собственно-энергетической и концевой частей и запи-
шем разложения для них с точностью до второго порядка по W.
Матричное уравнение для электронной ФГ автоматически содержит аномальные компоненты, которые могут описывать состояния с куперов-ским спариванием. В данной работе мы ограничимся исследованием нормальной фазы. Разложение первого порядка для собственной энергии содержит две поправки: одну из них следует интерпретировать, как поправку типа Хартри, а вторую - типа Фока. Такая терминология возникла в стандартной теории возмущений, когда разложение ведется по кулоновской энергии. В условиях сильной корреляции разложение ведется по кинетической энергии электронов, но мы используем терминологию "поправки Хартри-Фока", имея в виду обратное разделение гамильтониана на нулевое приближение и возмущение. Формально вид хартри-фоковских поправок для случая сильных корреляций совпадает с видом этих поправок в стандартной ситуации, но выражения для входящих в них ФГ различны.
В этой статье мы ограничимся исследованием хартри-фоковского приближения (в расширенном толковании этого термина) и построим самосогласованное приближение среднего поля. Хар-триевская поправка соответствует известному приближению "Хаббард-1", приводящему к двух-зонному спектру. Фоковская поправка при и ё W может привести к комплексным значениям энергии в некоторых участках спектра, превращая щель в псевдощель.
2. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ МОДЕЛИ
Модель Хаббарда в условиях сильной электронной корреляции удобно исследовать в терминах Х-операторов [5]. Оператор Xзадается на каждом узле г и описывает переходы между четырьмя возможными состояниями \р) и |д). Они выражаются через обычные электронные операторы посредством формул:
„аО + , л ч -.Ла — +
х = С а( I- Пга), х = ас а па,
с+а — ха0 + а х2а, с а = х0а + а Хр. (2.2)
Удобно ввести двухкомпонентные спиноры из /операторов:
г а) =
{ X 0 а Л
ча ха2у
, Р+(г а) = (ха0, а х2а). (2.3)
Тогда гамильтониан модели представляется в виде Ж = Ж0 + Жь где
= X Х^ахаа + е2х22
1 V а
(2.4)
= XXX ^ (г а) гал (у)ЧЧ(] а). (2.5)
1] а а1а2
Здесь
£а = -2- а -ц, £2 = и-2ц,
поскольку мы добавляем к гамильтониану члены, учитывающие магнитное поле Н и химический потенциал ц. В квадратичной форме (2.5) Ра(га) представляет компоненту спинора Р(га), (а = 1, 2), кроме того мы ввели матрицу
¿а|3(У) — ^1]Та|3' Т
( \
1 1 1 1
(2.6)
Запишем уравнения движения для /-операторов. Для термодинамического времени т(-в < т < в, в = 1/кТ) исходим из уравнения Гейзенберга
Р(1 а) - -[Р( 1а), Ж],
которое в случае гамильтониана (2.4) - (2.5) можно записать в следующем виде:
1 а1) - - ^а1Р( 1 а1) - (11' )Р( 1'а') -
У V02
(2.7)
- х 11 1 т^( 11' )Р( 1'а1) + а1Р+ (1' а1 Ж 1'1) гтУх\
Здесь введены двухрядные матрицы по спинор-ным индексам
уаа _ + у20 _ — + +
хг — сгасга, хг — а СгаСга,
ха — пга( 1- пга), х; — пгапга,
х00 — (1 - п,а)( 1 - Щ а).
(2.1)
В первой строке записаны ферми-подобные /-операторы, во второй строке - бозеподобные ¿-операторы, наконец, в последних двух строках стоят диагональные х-операторы. Обычные электронные операторы представляют линейные комбинации двух /-операторов:
¿а —
£а 0
0 £а + и у
га —
х 00+х аа 0
х аа+х ?2
(2.8)
и матрицы Паули тх, тУ, тг.
Цифровые индексы здесь и дальше означают четырехмерную координату, включающую узел и время т, т.е. 1 = (гъ т1), ...; по штрихованным ин-
0
дексам подразумевается суммирование (суммирование по узлам г и интегрирование по времени т). Наконец, введена величина
к 11') = 8(Т!- т1) г^Т = г (11') Т,
представляющая матрицу по спинорным индек сам (этот последний факт отмечен символом г).
3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Воспользуемся общим уравнением движения для (2.9) величин типа ((Т. ..е~у)) (см. приложение в работах
[5, 6]) и запишем его для выражения ((ТтТ1 Т+)), определяющего электронную ФГ:
д ((ТтТ«1 (101 )^2(2а2в"")) =
(3.1)
Таким образом, оператор Т представляет линейную комбинацию /-операторов, коэффициентами в которой являются бозе-подобные ¿-операторы, а также матрицы Е и г. Аналогичное уравнение движения можно записать для эрмитово-сопряженного оператора
Т+(101) = Е01Т+ (101) - Т+(1'01 )г( 1'1) ^ +
(2.10) Вычислим антикоммутатор и коммутатор от Т
Этх
= ((TJ^ (1 (2а2)} + e~v)) +
+ ((TТФ «i (Id (2 02) e~V ))-- ((TJTai(1 di), V}_^2(202)e~V)).
+ (1' 01 )г( 1'1 )тгх гч 01 х 10 г т уг( 11' )т( 1' 01).
Следуя методу, многократно примененному нами к разным квантовым моделям [4-9], введем производящий функционал
Z [ V] = Tr( Tт e~V ) = (( Tт e~V)),
(2.11)
операторов в (3.1). Имеем
{Т«1 ( 1 01 ( 2 02 )} + =
= 512(5^04 50102ТгХ0101),
{Т«1 (101), V}_ =
где Тт - хронологический оператор по времени т, а V описывает взаимодействие системы с внешними флуктуирующими полями. Для гамильтониана (2.4) - (2.5) оператор V следует выбрать в виде флуктуирук>щих ' полей:
,, 00 „00 22 „22 а'а^а'а' а'а^а'а'
V = V1' Х1' + у 1' Х1' + у 1' Х1' + у 1' Х1' +
02 20 20 02 + V1' Х1' + V1' Х1'.
(3.2)
(3.3)
= W11Т( 1а1) + V11 1Т( 1а1) + а1у12 Т+( 1а1 )тх. Здесь W - двухрядная матрица, составленная из
(2.12)
< =
Он представляет линейную комбинацию всех диагональных и ¿-операторов с одноточечными полями V. Таким образом, дифференцируя выражение (2.9) по разным V, мы можем выразить различные ФГ через вариационные производные по соответствующим полям. Например, для одноча-стичных бозеподобных ФГ магнонов и дублонов имеем выражения:
00 00
- V1 + V1
0
22 00 V1 " V1
(3.4)
Теперь мы должны подставить соотношения (2.7), (3.2) и (3.3) в уравнение (3.1). После подстановки его можно представить в виде
С?( 101, 1' а1)((ТтТ( 1'а1 )Т+( 202) в~У)) = = ^^ ((ТХ1 в~У)) + 8^« Т т Х0101 в~У))] +
D00( 12) = - < T т Х00 Х00> = -2-
52Z
D02 (12) = - < Tt Х02 Х20> = -
1_
Z? 00? 0'
Zj5v1 5 V2 1
;; (2.13)
5z_
2 0 о 02 .
20 0 ^5 V1 5 v2
(2.14)
+ 01 vT тх (( T^+(101 )Т+(2 02) e~V)) + + ?(11')((Tт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.