научная статья по теме МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ МИКРОПОЛЯРНЫХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК Физика

Текст научной статьи на тему «МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ МИКРОПОЛЯРНЫХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 59, № 2, с. 170-181

ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА ^

УДК 539.3

МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ МИКРОПОЛЯРНЫХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

© 2013 г. С. О. Саркисян, А. А. Саркисян*

Национальная академия наук Армении 377501 Гюмри, Армения, ул. Саят-Новы 2—11 E-mail: armenuhis@mail.ru, slusin@yahoo.com *Гюмрийский гос. Педагогический институт 377526Гюмри, Армения, квартал Ани, ул. 13, д. 11, кв. 15 E-mail: armenuhis@mail.ru, armenuhis@gmail.com Поступила в редакцию 24.05.2012 г.

В работе приведены уравнения общей прикладной-двумерной теории динамики микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений, при которой полностью учтены все вращательно-сдвиговые и родственные им деформации. На основе этой общей теории изучены задачи о свободных и вынужденных колебаниях микрополярных упругих тонких цилиндрических оболочек. На основе численного анализа выявлены особенности динамического поведения оболочек из микрополярного упругого материала.

Ключевые слова: микрополярно-упругий, оболочка, тонкий, динамическая теория, свободные и вынужденные колебания.

DOI: 10.7868/S0320791913010176

ВВЕДЕНИЕ

Внутренняя структура тела при ее деформировании на макроскопическом масштабном уровне (феноменологический подход) можно описать на основе микрополярной (несимметричной, мо-ментной) теории упругости. С этой точки зрения, принимая во внимание также современные серьезные приложения в микро- и наномеханике, актуально построение общих теорий статики и динамики микрополярных упругих тонких стержней, пластин и оболочек [1—10 и др.]. Современный обзор работ в этом направлении выполнен в работе [11].

Основная проблема теории статики и динамики микрополярных стержней или пластин и оболочек заключается в приближенном, но адекватном сведении двумерной или трехмерной задачи микрополярной теории упругости к общей одномерной или двумерной задаче.

Исторически большую известность завоевал метод гипотез построения теории упругих тонких стержней, пластин и оболочек. Суть метода заключается в принятии различных предположений относительно характера распределения перемещений или напряжений по толщине стержня, пластинки и оболочки. Наглядность допущений физического характера (имеем ввиду гипотезы Бернулли для стержней, гипотезы Кирхгофа для пластин и гипотезы Кирхгофа—Лява для оболочек, либо уточненные гипотезы Тимошенко для

этих тонких тел и др.), относительная простота формулировки основных уравнений привели к тому, что большинство конкретных прикладных задач как статического, так и динамического характера для тонких стержней, пластин и оболочек решались именно по теориям, построенным на основе метода гипотез.

Следует отметить, что из-за сложности проблемы выбор подходящих гипотез для построения общих прикладных теорий микрополярных упругих тонких стержней, пластин и оболочек является трудноосуществляемым делом.

С этой точки зрения, в работах [12—14] сначала на основе математического изучения проблемы выявлены асимптотические свойства решения трехмерной граничной или начально-граничной задачи микрополярной теории упругости в тонких областях. Далее, используя качественные стороны полученных результатов, сформулированы достаточно общие гипотезы, при помощи которых построены асимптотически точные прикладные теории статики и динамики микрополярных упругих тонких стержней, пластин и оболочек. В настоящее время актуально также выявление специфических свойств поведения, как при статических, так и при динамических деформациях упругих тонких стержней, пластин и оболочек из микрополярных материалов.

В работе [13], на основе изучения задач о свободных и вынужденных колебаний микрополярных пластин, выявлены специфические свойства

динамических характеристик микрополярного материала. Показано, например, что у микрополярных тонких пластинок существует резонанс -ная частота, которая не зависит от геометрических размеров пластинки. Отметим, что это явление впервые обнаружено в работе [15].

В данной работе рассмотрены задачи о свободных и вынужденных колебаниях микрополярных упругих круговых цилиндрических оболочек. На основе численного анализа выявлены специфические особенности динамических характеристик цилиндрических оболочек из микрополярных материалов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим изотропную оболочку постоянной толщины 2Н как упругое микрополярное трехмерное тело. Будем исходить из основных уравнений пространственной динамической задачи линейной микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [16, 17]:

Уравнения движения имеют вид:

а „

5 2у„

+ э

пшка шк

= i

д 2ю„

(1)

(2)

дг дг2

Физические соотношения:

шп = (и + а) У шп + (и - а) У пш + ^Укк^пш И шп = (У + е) К шп + (У-е) к пш + Рк кк§ пш

Геометрические соотношения:

У пш ^ш,п Э кпш^к, Кпш ®ш,п" (3)

Здесь а, Д — тензоры силовых и моментных напряжений; у, X — тензоры деформаций и изгибов-

кручений; V, ю — векторы перемещения и независимого поворота; X, ц, а, в, у, е — упругие постоянные микрополярного материала оболочки. Индексы п, т, к принимают значения 1, 2, 3. Будем использовать криволинейные ортогональные координаты ак, принятые в теории оболочек [18].

Граничные условия на лицевых поверхностях оболочки а3 = ±к можем записать так:

а* = р±, СТ33 = р±, ^ = ш±, Цзз = ш±. (4)

На поверхности края оболочки 2, в зависимости от способа приложения внешней нагрузки, закрепления ее точек, граничные условия запишутся в силовых и моментных напряжениях, перемещениях и поворотах или в смешанном виде. При помощи начальных условий считаются заданными векторы V, ю, —, —— при ? = 0. Будем считать,

дг —г

что толщина оболочки мала по сравнению с характерными радиусами кривизны срединной поверхности оболочки.

Следуя качественным результатам асимптотического анализа системы уравнений микрополярной теории упругости (1)—(3) в области тонкой оболочки, в работе [12] в основу построения общей динамической теории микрополярных оболочек были поставлены следующие гипотезы:

1. В процессе деформации первоначально прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна свободно поворачиваются в пространстве как жесткое целое на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины и не оставаясь перпендикулярным к деформированной срединной поверхности. Принятую гипотезу математически запишем так:

V = Щ (ах, а2,г) + а3у(ах, а2, г), V = и3 (а!, а2, г), ю;- =0.1 (а!, а2, г), (5) ю3 = (ах, а2, г) + а31 (ах, а2, г), (, = 1,2). Таким образом, нормальное к срединной поверхности перемещение и тангенциальные независимые повороты являются постоянными функциями по толщине оболочки, а тангенциальные перемещения и нормальный независимый поворот меняются по линейному закону.

Отметим, что с точки зрения перемещений гипотеза (5), по сути дела, представляет собой кинематическую гипотезу Тимошенко в классической теории упругих оболочек [19—21]. Гипотезу (5), в целом, назовем обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко в микрополярной теории оболочек.

2. Силовым напряжением ст33 можно пренебречь относительно силовых напряжений <5и ( = = 1, 2) в обобщенном законе Гука (2).

3. Используя допущение о тонкостенности оболочки, примем 1 + а3/Д« 1 (- = 1, 2), где Д — главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки.

4. При определении деформаций, изгибов— кручений, силовых и моментных напряжений, сначала для силовых касательных напряжений ст3(-и моментного напряжения ц33 примем

= ^ («1, «2,г), ^33 = ^33 («1, а2,г). (6) После вычисления указанных величин, значения ст3(- и ц33 окончательно определим прибавлением к соответствующим значениям (6) слагаемых, получаемых интегрированием соответствующих уравнений движения из (1), для которых потребуем, чтобы усредненные по толщине оболочки величины были равны нулю.

Основная система уравнений микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений записывается в виде [12]:

Уравнения движения:

1 дТ, + 1 dAj

1 dS,

Al даi AAj да, , 1 дА,

J T- Ty) + -—^ +

J A, да,

AjAj да

(Sji + S,j) + ^ =

N3

R

д 2ц

= 2ph —у - (P+ - Pi), дt

-L M + dAj

A, dai AiAj da, ^ 1 dAi

(Mii - Mjj) +

± дМл Adaj

+

(Mji + Mjj) - N31 = AjAj da j

= дл - ир+p-),

3 dt

T11 _ T22 +__L

R R2 A1A2

d(A2N13) + 5(A1N23)

_ da1

da9

т , 52w , + -4 = 2p^—у _ (P3 _ P3), dt

AJ daj

1L +_L dAJ j - j, ) + _L dj

A, da, AiAj da,

1 dA /T T ч Li3

+--L (L, + Ly) + -i3 +

AjAj da j R

+(-1)J(Nj3 - N3j) = 2Jh ^ - (m+ - m-),

dt

L11 — L22 +__L

R1 R2 A1A2

S^L^) + d(A1L23)

_ da1

da

2

+

+ (S12 - S21) = 2Jh

d Q3 , +

—53 - («3 - ^3), dt2

L33

A1A2

д(^2Л13) + 5(AA23)

_ da1

da2

3 2

- (M12 - M21) + J f| = h(m+ + m-) 3 dt

Физические соотношения упругости: Т = [Гц +vr jj],

M =

1 -v2 2Eh3

3(1 -v У "

К +v Kj],

Sy = 2h[(|i + а)Г j + (д - а)Г fl], My = ^^^^[(д + а)^,, + (д-а)^],

N,3 = 2h[(|i + а)Г;3 + (д-а)^], N3, = 2Л[(ц + а)Г3г + (ц-а)Г;3], Lu = 2h[(P + 2у)Кц +Р(кj,+)],

Ly = 2h[(Y + в)Ку + (у - е)Кл],

(7)

(8)

J33 = 2h[(p + 2y)v + p(K11 + К22)],

L,3 = 2h

4ys у - 6 m+ + m,

Ki3 +

Лй =

2h

Y + 6

4y6

Y + 6 '3 y + 6 2h

/¿3 +

Y + 6 2

Y - 6 m+ - m-

Геометрические соотношения:

= 1 дщ +_±_ dA + w,

A, да, Al■AJ■ да j

1 duj 1 54

R,-

Гу = ^^--- (-1)JQ3,

A, д а, AjAj да j

Ku = 1 M + ^ MVJ, ^ = -! dw + El , A, да, AiAj да j A, да, R,

j- 1 ^ м ¥i _ (_1Уг,

A, da, A;AJ da j

K„ =

(9)

г,3 = -в, + (-1)Jа, Г3, = у, -(-1)Ja,,

=

1 +_LdALQJ /;3 = ±,

A da, AjAj da ,■ R, A da,

к = 1 dQj 1 dA,, _ к = 1 д^3

Ky = Ki3 = .

A, da, AjAj da j A da, R,

Здесь Тц, Sy, N3, N3i — усилия от силовых напряжений, Мц, My — усредненные моменты от силовых напряжений, Lu, Ly, L3, L33 — усредненные моменты от моментных напряжений, Л3 — гипермоменты от моментных напряжений.

Граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки (например, при a1 = const) имеют вид:

JT rr-f ^ ^ СУ о -fc »fc

n = Тп или щ = u*, S12 = S12 или u2 = u*,

N13 = N*3 или w = w*, M11 = M* или = yf, H12 = Hf2 или y2 = L11 = Jf1 или Q1 =

L12 = Lf2 или Q.2 = L13 = Lf3 или Q3 =

(10)

Л13 = Л13 или i = i*

Начальные условия, при ? = 0, необходимо с

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»