ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.375
© 2004 г. В. Ф. Бакиров, Р. В. Гольдштейн
МОДЕЛЬ ЛЕОНОВА-ПАНАСЮКА-ДАГДЕЙЛА ДЛЯ ТРЕЩИНЫ НА ГРАНИЦЕ СОЕДИНЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Рассматривается плоская задача о предельном равновесии трещины-расслоения на границе раздела различных материалов. Предполагается, что при приложении на бесконечности равномерно распределенных нормальных напряжений в концевых областях действуют постоянные нормальные и касательные напряжения сцепления между берегами трещины. Исследован общий случай, когда размеры концевых областей не малы по сравнению с характерным размером трещины. Получены аналитические выражения для компонент вектора раскрытия берегов трещины, распределения напряжений на продолжении трещины, коэффициентов интенсивности напряжений, а также соотношения между внешней нагрузкой, длиной трещины и параметрами концевой области в состоянии предельного равновесия. Отдельно рассмотрен случай, когда концевые области малы по сравнению с длиной трещины.
Оценка сопротивления адгезионного соединения росту трещин по границе предполагает то или иное моделирование процессов деформирования и подготовки разрушения в концевых областях трещин-расслоений с учетом механических свойств и геометрических характеристик промежуточного адгезионного слоя.
Для этой цели можно рассмотреть модель трещины [1, 2] на границе двух сред со связями, действующими между ее поверхностями в концевых областях трещины. Был подробно рассмотрен случай линейно деформируемых связей [3]. В развитие моделей Г.И. Баренблатта [46] для трещин в однородных телах Р.Л. Салганика [7] для трещин на границе двух сред принимается, что концевые области, занятые связями, могут быть и не малыми в сравнении с размером трещины. Задача о трещине-расслоении под действием внешней нормальной нагрузки и возникающих нормальных и касательных напряжений в связях, препятствующих ее раскрытию, сводится к системе сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядрами типа Коши, которая решается численно.
В то же время представляет интерес построение модели, допускающей, с одной стороны, учет процессов в концевых областях трещины на границе двух сред и, с другой - аналитическое решение задачи о предельном равновесии трещины. Подобная модель предложена в данной работе и представляет собой по сути обобщение модели Леонова - Панасюка - Дагдейла [8, 9] для трещин в однородных средах. Принимается, что при действии на бесконечности равномерно распределенных нормальных напряжений взаимодействие между поверхностями в концевых областях трещины характеризуется постоянными нормальными и касательными напряжениями сцепления. Это предположение, в частности, позволяет моделировать пластическое течение в промежуточном адгезионном слое в концевых областях трещины.
Заметим, что в то время как в однородных телах гипотеза о тонкой пластической зоне в конце трещины хорошо описывает процессы роста трещины в тонких пластинках, в случае кусочно-однородного тела при малой в сравнении с длиной трещины толщине адгезионного слоя пластические зоны могут быть локализованы в пределах него не только в условиях плоского напряженного состояния. Это заведомо имеет место, если адгезионный слой более пластичен, чем соединенные им материалы.
Заметим также, что хотя решение краевой задачи теории упругости, к которой в рамках предложенной модели сводится отыскание раскрытия поверхностей трещины на границе двух
О0
У
|1, ¿1
Ж*
21
х
|2, ¿2
Оо
Фиг. 1
сред, в простейшем варианте полуплоскостей имеет, как и в случае трещины - расслоения без пластических зон, осциллирующие особенности вблизи концов трещины, это не мешает получить содержательные соотношения между параметрами концевой области, длиной трещины и внешней нагрузкой в состоянии ее предельного равновесия. Последнее связано с тем, что рассматриваемая краевая задача по существу является внешней по отношению к исходной задаче о трещине при наличии адгезионного слоя, наличие которого во внутренней задаче исключает нефизичную необходимость взаимного перехлеста поверхностей трещины при осциллирующей особенности решения вблизи конца трещины.
В ряде работ [10-14] специально исследовались возможности модификации постановки задачи о трещине на границе двух сред, позволяющие снять осциллирующую особенность путем введения зон контакта с проскальзыванием без трения [10-13] или с предельным трением [14].
1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим плоскую задачу о трещине длины 21, расположенной на границе раздела двух упругих безграничных полуплоскостей из различных материалов \х\ < I, у = 0. Пусть верхнюю полуплоскость (у > 0) заполняет среда с параметрами | = к = к1, а нижнюю (у < 0) - среда с параметрами | = |2, к = к2, где к:, 2 = 3 - 4v1, 2 - плоской деформации, к:, 2 = (3 - V!, 2)/(1 + V!, 2) - для плоского напряженного состояния; |1, |2 и V!, V2 - модули сдвига и коэффициенты Пуассона материалов. Положим, что на удаленной границе (х2 + у2 ^ «>) приложены равномерно распределенные нормальные напряжения о0, в то время как в концевых областях размеры й, примыкающих к вершинам трещины (I - й < |х| < I, у = 0), действуют постоянные нормальные и касательные напряжения сцепления между берегами трещины о* и х* (фиг. 1), отвечающие пластическому течению адгезионного материала в тонком промежуточном слое и удовлетворяющие некоторому критерию пластичности:
/ (о*,т* ) = 0
где / - монотонно возрастающая функция от абсолютных значений о* и т*, зависящая от свойств адгезионного материала. Отметим, что условие ограниченности на-
пряжений у вершины трещины при х = ±1 (см. ниже) дает второе соотношение для определения значений о* и т*.
Пользуясь линейностью задачи, рассматриваемое состояние можно представить суперпозицией следующих двух состояний: 1) адгезионное соединение материалов без трещины под действием постоянного растягивающего напряжения о0 на бесконечности, 2) адгезионное соединение материалов с трещиной на границе раздела, при этом на берега трещины сносится растягивающее напряжение о0.
Введем безразмерные величины
х' = хИ, й = й! I
Опуская штрихи и учитывая сказанное выше, будем рассматривать задачу о трещине единичной полудлины со следующими граничными условиями на ее берегах:
Оуу( X ) =
- оп + о„
1- й < IX < 1
-оп, IX < 1 - й
°ху( х ) =
т*, 1-й < х < 1 0, |х| < 1- й
(1.1)
-т
-1 < |х < -(1- й)
Рассмотрим безразмерный (отнесенный к I) вектор раскрытия берегов трещины
и(Ых(х), Ыу(х)) = и (и+(х), и+ (х)) - и (Ых(х), ыу(х))
(1.2)
где и+(и+ (х), и+ (х)) и и (их (х), иу (х)) - векторы безразмерных перемещений верхнего и нижнего берега трещины. Производные по х от компонент вектора раскрытия берегов трещины при наличии произвольных нормальных оуу(х) и касательных оху(х) напряжений на берегах трещины длины 2, расположенной на границе раздела материалов, получим, следуя описанному ранее подходу [3]:
Ыу(х) - ¡и'х(х)
У
4 (1 + а)
(1- а)(Оху( х) + [ Оуу( х)) -
1+а
Г. 21.1 + |х| ЯЛ/ 1 - х
1 - |х| ^^х | (Оуу(^) - IОху(^))й%
где
.2 1 МА +
I = -1, а =
ф( х) =
1- х^-1'в
(£ - х)фф
в = 1па = к^+Л+к^+Л = , 1 = М-1 + М-2
Л~2 К1+х
Подставив выражения (1.1) в равенство (1.3), получим
иу(х) - 1их(х)
Уф( х)
2 I в - х _ еЬпв
(1.3)
оп + (о* - гт*)(х) - (о* + гт* ) Й2 ( х )
(1.4)
где
бх (х)
Я(х, 2!й - 1, в) - (21в - х)!еЬпв, 1 - й < х < 1 1
Я | -х,
2!й - 1
, -в , 0 < х < 1- й
е2( х) = л (х, р )
Я (Х1; Х2,Р) :
2 х
1/2- I в 2
п( 1-21 Р)1 1+ х2
1
(1.5)
1 - 2гр + (-х1 + 21р)Л 1, 1, 3/2 - Iр
+х
2
(1 - х1)^ 1, 1/2 -1р, 3/2 - ¿р, 1-+-|х2] |
Через Да, Ь, с, г) обозначена гипергеометрическая функция комплексного переменного г, которая в круге |г| < 1 представляется рядом
Л(а, Ь, с, г) = ^
к = 0
с ф 0, -1, -2, -3, ...
(а )к(Ь )к к
(с )кк!
гк, (Х)к = Щ +1 )...а + к-1), (А,)0
1
а в области, не принадлежащей кругу сходимости, определяется путем аналитического продолжения этого ряда. Функция Да, Ь, с, г) регулярна в комплексной плоскости с разрезом (1,
Из условия равенства нулю вектора раскрытия берегов трещины при х = 1
Ых (1) = 0, Иу( 1) = 0
по формуле
х
Ыу(х) - ¿Ых(х) = |(ы'у(^) - ¿Ых(£))й£
1
найдем для 1 - й < х < 1 компоненты вектора раскрытия берегов трещины
(1.6)
Ыу(х) - ¿Ых(х)
4еЬ пр
(1- х )ф(х)[о0- (о* - ¿т* )Л(х) - (О * + ¿т* )Р2(х)] (1.7)
где
р(х) = 1 - 5(х, 2/й - 1, р), Р2(х) = 5(х, , р]
0 , П 1/2-1 р
2 еп прх2
5(х!, х2, р)
п( 1-21 р)( 1 + х2)'
(1.8)
Л| 1, 1, 3/2 -1 р, 1 - Л{1,1, 3/2 -1 р, -—- х1)х2 1 + х2) { ^ (1- х1
) х2- (1 + х1 )Л1
Для значений 0 < х < 1 - й компоненты вектора раскрытия берегов трещины определяются с учетом условия непрерывности вектора раскрытия при х = 1 - й по формуле
у(х) - ¿Ых(х) = | (ы'у(^) - ¿Ых(£))й£ + Ыу(1 - й) - ¿Ых(1 - й)
(1.9)
1-й
х
Ы
Под интегралом производные по х от компонент вектора раскрытия берегов трещины берутся в соответствии с выражением (1.4), а компоненты вектора раскрытия на краю концевой области х = 1 - й определяются по формуле (1.7). Имеем
иу( 1-й) - 1их (1-й) = у<|( 1-й !2)1/2 + 'в( й !2)1/2 ¿в Оо
2еЬ пв
(1- й/2)й/2Л(1, 1, 3/ 2 + ¿в, й/2)0*+ ^ + (1
- й/2)1 + 2 ¿в( й/2)1-2 ,р х
1 -21 в ,
х | Л(1, 1, 3/2 - 1 в, й/2) - Л 1, 1, 3/2 - 1 в,
-1
(2/й -1 )2-1^ 1-2г'в
о* + 1 т*
(1.10)
и для 0 < х < 1 - й находим
иу(х) - Шх(х) = 4 ^ ..(1- х2)ф(х) х
оо -(о* -¿т*)5(-х 2/йгг - (0* + 1т*^ -т7^, в
'2/й -1'
(1.11)
Функция 5(х1, х2, в) определяется формулой (1.8).
Компоненты вектора перемещений верхнего и нижнего берегов трещины связаны следующими соотношениями [15]:
иДх) = Ы-(х) = ц ! ( к2 а + 1 ) и+( х ) = и+( х ) = Ц2 ( к 1 + а )
(1.12)
Тогда по вектору раскрытия и(их(х), иу(х)) найдем векторы перемещений верхнего и нижнего берега трещины и+( и+ (х), и+ (х)) и и-( и- (х), и- (х)) по формулам
си, и = си
(1.13)
где
1+
ц1( к 2 а + 1 )■ ц2 (к! + а) _
-1
1+
ц2(к! + а) -(к2а + 1),
-1
Распределение напряжений на продолжении трещины (х > 1) при произвольном распределении нормальных оуу(х) и касательных оху(х) напряжений на берегах трещины длины 2 имеет вид [15]:
Оху( х) + ¿о у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.