ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН Том 5, № 2, 2009, стр. 5-9
= МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 551.217.3+532.5
МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНОГО ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗОСОДЕРЖАЩЕЙ ЖИДКОСТИ ИЗ ПОЛОСТИ ЧЕРЕЗ КАНАЛ
© 2009 г. О.В. Руденко12, А.Л. Собисевич2, С.В. Ратнер3
Работа посвящена построению простейшей теории непрерывного истечения глинистых сред грязевых вулканов булганакского типа и сравнению ее выводов с результатами наблюдений. В целях выяснения характерных особенностей рассматриваемой динамики, в том числе выяснения роли нелинейных эффектов в различных режимах истечения, получены численные оценки давления в грязе-вулканической камере.
Ключевые слова: грязевой вулканизм, моделирование, режимы извержения, дифференциальные уравнения, численные оценки.
В процессе геолого-геофизических исследований последних десятилетий накоплен обширный эмпирический материал по грязевому вулканизму, позволяющий вплотную подойти к построению концептуальных и математических моделей, с помощью которых можно исследовать различные аспекты грязевулканической деятельности и ее связь с проявлениями сейсмической активности, склоновыми процессами и просадками грунта.
Как известно [1], по характеру деятельности выделяют вулканы трех типов: локбатанского, булганакского и шугинского. Деятельность вулканов локбатанского типа сводится к следующему: если интенсивность начального извержения была велика, в эруптивном канале скапливается только газ, давление в газовой залежи резко снижается и динамическое давление становится ниже гидростатического, тогда канал перекрывается пластичными глинами, которые обеспечивают почти полную герметичность. Продолжающееся накопление газов восстанавливает аномально высокое давление в залежи и создает неустойчивое равновесие, которое легко нарушается любыми внешними воздействиями (тектоническими подвижками, землетрясениями), что приводит к повторным извержениям, иногда взрывного типа.
При относительно невысокой разнице давлений газы движутся вверх медленно, путем своеобраз-
1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2; тел. (495) 939-29-36.
2 Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта Российской академии наук, 123995, ГСП-5, Москва Д-242, Б. Грузинская ул., 10; тел. (495) 254-90-80, e-mail: alex@ifz.ru.
3 Южный научный центр Российской академии наук, 344006, Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: lanarat@mail.ru.
ного перелива, что характеризует вулканы булганакского типа. Непрерывный режим истечения глинистых сред характеризуется меньшими значениями скоростей потока и перепадов давления, что существенно упрощает задачу математического моделирования. Грязевые вулканы третьего (шу-гинского) типа имеют смешанный тип деятельности - систематический, в течение длительного времени выбрасывание газов и сопочной грязи с незначительным содержанием грубообломочного материала периодически нарушается значительными выбросами, напоминающими первичные извержения вулканов локбатанского типа. Это обусловлено наличием на путях миграции глубинных флюидов промежуточных областей их накопления, зачастую расположенных практически параллельно друг другу и дневной поверхности Земли.
Обсудим вначале возможные режимы истечения водо- и газонасыщенной глинистой среды из очага, находящегося под высоким давлением. При достаточно большой концентрации воды среда в очаге находится в жидком состоянии. Эта жидкость содержит газ (в основном метан), который находится в растворенном состоянии. Очаг соединен с поверхностью земли одним или несколькими каналами, которые либо забиты «пробкой» - частично обезвоженной и очень вязкой глиной, либо заполнены вытекающим наружу менее вязким газожидкостным флюидом.
В первом случае, когда растущее давление в очаге достигает критического значения, «пробка» разрушается или выталкивается наружу; при этом возникает извержение взрывного типа. Проблема описания «взрывного» извержения грязевого вул-
6
О.В. РУДЕНКО и др.
кана похожа на ключевую задачу нестационарного истечения вскипающих жидкостей из сосудов высокого давления. Эти задача актуальна также с точки зрения анализа аварийных ситуаций на нефтепроводах и скважинах, на атомных электростанциях и в аппаратах некоторых химико-технологических процессов [2].
Непрерывный режим истечения глинистых сред характеризуется меньшими значениями скоростей потока и перепадов давления. Он более прост и нагляден в описании. Кроме того, этот режим типичен для грязевых вулканов Северо-Западного Кавказа, на которых проведены многочисленные натурные измерения. Данная работа посвящена построению простейшей теории непрерывного истечения и сравнению ее выводов с результатами наблюдений.
Заметим, что построение более сложной теории, учитывающей множество реальных физических факторов, приобретет актуальность, когда будет получен и проанализирован значительно больший (по сравнению с имеющимся на сегодняшний день) объем экспериментальных данных.
Итак, рассмотрим одномерное течение газосо-держащей жидкости в канале, начинающемся в очаге (при х = 0) и заканчивающемся на поверхности (при х = Ь). Уравнения неразрывности и движения вязкой жидкости имеют вид
до д „ ди ди , Ф Л
--1--ри = 0, р--+ ри--1--= и. (1)
д? дх д? дх дх
Здесь р - плотность среды, и - скорость, ^ -сдвиговая вязкость, Д= - лапласиан по поперечным координатам. Пусть режим стационарен и производными по времени можно пренебречь. «Вязкий» член аппроксимируем выражением
Д, и . -o ■
2 '
(2)
ления аппроксимируем формулой
Р
Nf1- p- j, p < p * n = 0, (p > p*).
Как следует из формулы (5), величина р* имеет смысл критического давления, выше которого газ полностью растворен в жидкости, N - максимальная концентрация свободного газа. Поскольку течение медленное, примем уравнение состояния газа в виде
= Ро (Р) Р 0 Ро
где р0 - плотность газа при атмосферном давлении р0. С учётом уравнения состояния и выражения (5) зависимость плотности среды (4) от давления при р < р* будет иметь вид
1
Р _ Р
Ро Р о \ Ро
Pl p о
1-
p *,
(6)
В квадратных скобках (6) отброшен заведомо малый
P0
член, равный отношению плотностей —. Заметим,
Pl
что зависимость p(p) (6) является нелинейной. Таким образом, в задаче присутствуют нелинейности двух типов: первая из них обусловлена структурой уравнения движения (1), вторая - уравнения состояния (6).
1. Рассмотрим вначале течение при отсутствии газа (N = 0, р = pL). В этом случае из уравнения постоянства потока (3) следует u = const, в уравнении движения (3) нелинейный член обращается в нуль, а само это уравнение и его решение имеют вид
где a - радиус канала, o - коэффициент пропорциональности.
При сделанных допущениях система уравнений (1) принимает вид
. Q du , dp oh п ,,, ри = const = — = q, ри--1---1--u = 0, (3)
S dx dx a 2
где Q - поток жидкости через поперечное сечение канала S = ra2, q - плотность потока.
Связь эффективной плотности среды и давления запишем следующим образом:
_!= n(p) + 1- n(p) (4)
Р Pg(p ) Pl
где tG, tL - плотности газа и жидкости, а зависимость концентрации свободного газа (суммарный относительный объём газовых пузырьков) от дав-
dp Q
Pl— = - oh
dx
ra
4 '
oh Q pi - p(x) =--Tx.
(7)
Рь га4
Здесь р1 = р(х = 0) - внутреннее давление в камере.
Полагая х = Ь, р(х = Ь) = р0, свяжем поток жидкости через сечение трубки с перепадом давления на её концах:
Q
ra 4 pL
ohL
(pi - p0) .
(8)
Выражение (8) совпадает с точным решением для течения Пуазейля (см., например, [3]). Сравнивая (8) с формулой (17.10) из [3], определим константу о = 8 в модели вязкого члена (2).
2. Рассмотрим случай, когда давление в камере р1 < р*. При этом на всем протяжении канала дав-
n
МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНОГО ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗОСОДЕРЖАЩЕЙ ЖИДКОСТИ
7
ление ниже критического и течение всюду является двухфазным. Для его описания достаточно решить уравнение движения (3) вместе с уравнением состояния (6). Перепишем (3) и (6) в более удобной форме:
йу , Ч2 й ( Рь ) , ( Рь ) _ о
йх рьр о йх\ р ) а2 рьр о \ Р
Рь- = Р±м 1+( 1-Р^мРо. )
Р
Ро У
Ро Р*
(9)
р
где у = —. Исключая из системы (9) плотность
ро
среды, придем к одному нелинейному уравнению
(у2- а2)^ + 3у(С + 8у) = 0.
йX
Здесь использованы такие обозначения:
- Ч2 -м, 3=
(10)
Ро Р о
Рь
РьРо а ро
С = —М, 8 = 1 - с Ро Р*
(11)
В уравнении (1о) переменные разделяются, и его удается проинтегрировать:
' а2 82 ^
у - С
8 82
1--
)1п(т + 8у )-
С
а
С
1п у = - 3х + С.
(12)
Константу С в (12) находим из граничного условия: при х = о, на выходе из очага, у = -Р- = у1 (см.
Р о
рис. 1). Подставляя найденное значение константы в (12), приведем решение к виду
83 Л у
—х = I 1 - —
С
у/
1 +
у^ 8уА 8у/
1--0281) #
X 1п ■
С
1 +
Д. а2 8 , у
- +--1п —.
у!
8у/ у Су! С у!
(13)
л х ,л п, Ь 1 + В
А — = (1 - Р) - —1п-
Ь В 1 + ВР
л Р (1+ В)
+--1п-.
В 1 + ВР
(14)
Рис. 1. Постановка задачи
Р
Здесь нормированное давление Р = — изменяется
Р!
от единицы (при х = о) до нуля, а безразмерные коэффициенты равны
83Ь
А = --— (1-^Ьм^о
у! (га2)2 РьРЛ Ро Р*)
В /
8у/
1-^Ро.) —
Ро Р* Ро
Ро
(15)
Л /
Для анализа этого выражения запишем его в более удобном виде
(т)
Я2 Ро
( га2)2 Р о Р2ьм
1- Р^мРо. V
Ро Р*
Если пренебречь гидродинамической нелинейностью, то есть «конвективным» членом в уравнении движения (1), в решении (14) обратится в нуль коэффициент Л, и это решение примет вид
Ах = (1- Р)-— 1п 1+В . (16)
Ь В 1 + ВР
С
2
8
О.В. РУДЕНКО и др.
Р 1-
ß = 10
В = 1
I в = од
0,2
0,4
0,6
AL
1- tLNpL Po Р*
(17)
держании N ■
Po p * tip o
10-2' 10-
P =
1-2 . B L
(18)
16rhQp* 1 --x.
p2 „ 2 S PlPl
(19)
Полагая в (19) x = L, p = p0, p0/pI < 1, найдем давление в камере
16rhQp*
2
Pi
S2 Pl
L.
(20)
Рис. 2. Изменение давления с координатой при двухфазном режиме истечения, описываемое решением (16)
Зависимости (16) давления от нормированной координаты изображены на рис. 2 при различных значениях параметра В. Во всех случаях, когда коэффициент В в решении (14) положен равным нулю, давление падает с удалением от очага. Учет гидродинамической нелин
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.