ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 4, с. 80-89
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ*
© 2012 г. Е.А. Ровенская
(Москва)
В работе предлагается упрощенная модель экономического роста страны с ограничениями на затраты экологически значимых ресурсов. Предполагается, что затраты ресурсов растут с ростом производства, но могут снижаться при наличии инвестиций в ресурсоэффективные технологии. Управление инвестициями нацелено на максимизацию интегрального дисконтированного ВВП страны. Модель калибруется для России на примере выбросов парниковых газов. Анализируются оптимальный, а также некоторые другие сценарии роста и выбросов.
Ключевые слова: модель экономического роста, устойчивое развитие, экологически значимые ресурсы.
1. МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ
Вопросы, связанные с управлением экологически значимыми ресурсами, активно обсуждаются как научной, так и широкой общественностью. При текущем уровне технологий снижение темпа потребления этих ресурсов подразумевает инвестиции в ресурсоэффективные технологии - использование вторсырья, альтернативные источники энергии, энергосбережение и т.д. Ясно, однако, что слишком большие инвестиции в краткосрочной перспективе могут привести к рецессии экономического роста и, как следствие, к снижению уровня потребления. Следовательно, возникает задача оптимального распределения инвестиций в экономический рост и в меры по снижению затрат экологически значимых ресурсов, решение которой может быть основано на результатах математического моделирования.
Сегодня существует большое число моделей, достаточно детально описывающих динамическое взаимодействие экономики и окружающей среды на региональном, национальном и глобальном уровнях. Отметим среди них DICE-модель глобального экономического роста, глобального потепления и его влияния на рост (Nordhaus, Boyer, 2000). Являясь достаточно агрегированной, модель DICE, однако, достаточно сложна как с аналитической, так и с вычислительной точек зрения. Другой известной моделью, учитывающей в явном виде и энергетику, является модель MERGE (Manne, Richels, 2004). Модель базируется на максимизации функции полезности, основные факторы производства - капитал, трудовые ресурсы и энергия. Изменение климата моделируется в зависимости от объема производства. В (Digas, Maksimov, Schrattenholzer, 2009), где используется вариация модели MERGE-5I, моделируются экономические и климатические последствия для России ряда типовых сценариев, базируясь на докризисной экономической ситуации.
В данной работе предлагается упрощенная модель оптимального использования экологически значимых ресурсов. Простота модели позволяет провести все вычисления аналитически, что, в свою очередь, дает возможность провести полный анализ возможных сценариев и их последствий.
Представленный анализ исходит из предпосылки доминирования идеи максимизации потребления как движущей силы экономического роста. Считаем, что общество сначала строит стратегию развития таким образом, чтобы максимизировать совокупное (дисконтированное)
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (проект 10-02-00516а).
потребление, а затем, в рамках этой стратегии, устанавливает другие, в том числе связанные с окружающей средой, цели.
Следуя этой предпосылке, в данном разделе рассматривается стандартная неоклассическая односекторная модель эндогенного экономического роста типа Рамсея с линейной производственной функцией (АК-модель) (Асешо£1и, 2009). В данной модели рост производственного фактора (капитала или технологий) эквивалентен росту объема производства. В расчетах объем производства будем отождествлять с национальным ВВП (см. например (КогёИаш, Боуег, 2000)). В качестве параметра, управляющего ростом, выступает объем потребления (считается, что часть произведенного потребляется, а оставшаяся часть инвестируется в рост). Управление происходит таким образом, чтобы максимизировать совокупную (интегральную) дисконтированную логарифмическую функцию полезности потребления на бесконечном интервале времени.
Математическая формулировка модели имеет вид:
Здесь Y(t) и c(t) - валовый объем производства и часть объема производства, направляемая на потребление в момент времени t (t $ 0) соответственно; Y0 > 0 - заданное начальное значение объема производства, р - дисконтирующий множитель, A - коэффициент капиталоотдачи экономики (объем производства, соответствующий единице производственного фактора), С ! (0,1) - минимально возможный уровень потребления. Потребление c(-) предполагается измеримой функцией и является управлением в рассматриваемой задаче. Задача (1), таким образом, подразумевает нахождение такого сценария потребления c(-), при котором функционал J принимает наибольшее возможное значение, считая, что фазовая траектория Y(-) соответствует выбранному управлению (т.е. определяется как решение задачи Коши из (1)).
Задача (1) относится к классу задач оптимального управления на бесконечном горизонте. Известно, что классическим инструментом решения задач оптимального управления является принцип максимума Л.С. Понтрягина (Понтрягин и др., 1983). Его утверждения устанавливают необходимые условия оптимальности, что во многих случаях позволяет выделить единственную оптимальную траекторию, причем так называемое условие трансверсальности на конце временного интервала играет ключевую роль. Однако общая формулировка принципа максимума для задач оптимального управления на бесконечном горизонте не содержит конструктивного условия трансверсальности. Его выполнение на бесконечности требует дополнительного анализа и возможно лишь для некоторых классов задач. Для решения задачи (1) применяется принцип максимума для задач оптимального управления на бесконечном интервале времени, разработанный в (Асеев, Кряжимский, 2007) для так называемого класса задач с условием монотонности.
Для начала установим применимость теоремы 10.1 из (Асеев, Кряжимский, 2007) для задачи (1) (отметим, что из вида управляемой системы и ограничения на управление следует, что для любого допустимого управления для соответствующей ему траектории верно, что Y0 < Y(t)< Y0e(1-c)t для всех t $ 0).
Лемма 1. Пусть для задачи (1) выполнены условия (Асеев, Кряжимский, 2007):
1) существует такое M0, что YA(1 - c)Y # M0(1 + Y2) для любых Y $ 0, c ! [c, 1 ];
2) для любого Y $ 0 множество Q(Y) = {(y0, y) : y0 # ln (cY); y = A(1 - c) Y, c ! [ c, 1]} является выпуклым;
3) существуют такие положительные функции n(') и м(-) на [0, да), что n(t) " +0 и ~(t) " +0, а для любой допустимой пары (Y(-), c(-)) e-ptmaxce[_;1Jln(cY(t)) |< n(t), t $ 0 и
0
(1)
Y(t) = A(1 - c(t)) Y(t), Y(0) = Ye, c(t) ! [c,1] (t $ 0).
3
T
4) (условие монотонности) для любой допустимой траектории У(-) управляемой системы _ д
задачи (1) и любого с ! [с, 1] выполняется-1п (сУ(:)) >0, t $ 0; кроме того, существует чис-
дУ
ло с0 ! [с, 1] такое, что А(1 - с0)У0 > 0.
Доказательство. Существование упомянутых в формулировке леммы констант и функций докажем их конструктивным построением. Так, утверждение 1 верно для любого М0 > А.
Утверждение 4 верно для любого с0! [с, 1 ], поскольку с ! (0,1).
Нормируя У^) на У0, полагаем У0 = 1. Вычисляя максимум по с ! [с, 1 ], получаем, что первое из
условий 3 верно при п(:) = А(1 - с) t е-^, а второе условие верно при ~(^) = А(1 - с)(t + 1/р)е-р/р, t $ 0.
Для доказательства условия 2 отметим, что для любого У $ 0 множество 2(У) представляет
собой такой прямоугольник на плоскости уу0, что у0 # 1п У и у ! [0, (1- с)У], и, таким образом, является выпуклым. Очевидно, что условие монотонности выполняется ввиду того, что
д_ -1п (сУ) = 1/с >0 для всех с ! [с, 1 ].
дУ
Доказанная лемма дает возможность применить принцип максимума для задач оптимального управления на бесконечном горизонте с условием монотонности, сформулированный в (Асеев, Кряжимский, 2007) в теореме 10.1, для получения необходимых условий оптимальности для задачи (1).
Построим функцию Гамильтона-Понтрягина для задачи (1) в виде Н(У, А, с) = 1п сУ + АА(1 - с)У, где А - текущее значение сопряженной переменной. Заметим, что Нсс(У, А, с) = - 1/с2 < 0 для
всех с ! [с, 1 ], следовательно, функция с 7 Н(У, А, с) вогнута и имеет единственный глобальный максимум.
Условие максимума и сопряженное уравнение имеют вид
[1/(ААУ), если ААУ $ 1; . с * = \ А С) = рА (0 - УУ^) - А С) А(1 - с С))
[1, если ААУ <1,
соответственно.
Теорема 1. Управление с) = — и траектория У(^ = У0е(А-р)t (^ $ 0) оптимальны в задаче (1). А
Доказательство. Следующие три допустимые пары управления с(-) и фазовой переменной У(-) удовлетворяют всем необходимым условиям оптимальности, получаемым из принципа максимума, сформулированного выше:
0 с(0 = 1 и У(0 = У0 для всех t $ 0;
А + (АА0 У0 - А \ е р: рр
А + (АА0 У0 - А) е р: р
, У^) = еА: (Ус - + ^-р: ), t $ 0 (Ас $ 1/рУс); \ рА0 рА0
УС) = еА:(У.-^ + ^е-'*), t! [0,1], с(:) = 1 и \ рА0 рА0 /
У^) = еЛА( + е-р?) для всех t $ 1 (А, ! [ 1/(АУ)0,1/(рУ>)]).
\ рА0 рА0 /
Сравнивая соответствующие значения функционала J задачи (1), получаем, что оптимальной парой является управление и траектория, заданные по (//), причем А0 > 1/рУ0, что и приводит к утверждению теоремы.
Таким образом, показано, что оптимальной стратегией потребления в рамках рассматриваемой модели является потребление постоянной части ВВП, равной р/Л, и соответственно, инвестирование части ВВП, равной 1 - р/Л. Такая стратегия потребления приводит к экспоненциальному тренду экономического роста с темпом прироста Л - р (теорема 1).
2. МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАТРАТАМИ ЭКОЛОГИЧЕСКИ ЗНАЧИМЫХ РЕСУРСОВ
Связь между экономическим ростом, мерами по управлению затратами экологически значимых ресурсов и самими затратами этих ресурсов зависит от стадии экономического и социального развития общества, структуры экономики и ряда других факторов. В данной работе предлагается считать, что в среднесрочной перспективе затраты экологически значимых ресурсов пропорциональны объему произво
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.