ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 5, с. 68-81
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ^^^^^^^^ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
УДК 519.6
МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ ИНФЛЯЦИИ*
© 2012 г. В. Ю. Леонов, В. Г. Медницкий, Ю. В. Медницкий, А. К. Пителин
Москва, ЦЭМИ РАН, ВЦ РАН
Поступила в редакцию 05.03.12 г.
С помощью леонтьевской модели разработана комплексная модель инфляции цен, представляющая ее как динамический процесс изменения типа экономического равновесия. При этом показано, что темп инфляции и асимптотически устойчивый вектор цен определяются перроновым собственным значением и соответствующим ему левым собственным вектором некоторой полуположительной матрицы, которая строится на основе показателей межотраслевого баланса.
Введение. В [1, 2] с помощью декомпозиции одной многокритериальной оптимизационной задачи было показано, что при включении леонтьевской модели [3, 4] в различные варианты задачи формирования экономического равновесия у нее кроме известного решения в форме равновесия Эрроу—Дебре1 [4] существуют оптимальные решения (в многокритериальном случае — равновесия) еще двух типов. При одном из них возникают нулевые значения цен на все виды продукции, а значит, — и нулевые доходы. Соответственно, управление производством осуществляется не по экономическим, а по тем критериям, которыми руководствуются лица, принимающие такие решения. Во втором же случае при сколь угодно высокой инфляции цен на все виды продукции ни для одного из них не создается добавленной стоимости, что приводит к нулевым значениям объемов производства. Таким образом, если экономическое равновесие рассматривать как нормальное состояние производственной системы, то оба других, скорее, представляют собой завершающие стадии процесса, возникающего в силу взаимодействия каких-то специфических факторов, а цель настоящей работы заключается в разработке математической модели, позволяющей выделить эти факторы и оценить параметры, определяющие развитие процесса во времени. Одно из наиболее важных и общих его свойств, однако, можно указать уже сейчас: ни в одном из охарактеризованных выше аномальных состояний объемы производства не ограничиваются производственными мощностями. Таким образом, динамика процесса должна определяться только балансовыми соотношениями, а порождающие его факторы должны быть связаны с какими-то свойствами леонтьевской модели, учет которых поэтому необходим для разработки модели, описывающей процессы инфляции (и дефляции) цен.
1. О некоторых особенностях леонтьевской модели. Наиболее важные свойства этой модели связаны со следующим определением.
Определение. Квадратная матрица А называется продуктивной [5], если
Зр > 0: р > рА. (1.1)
Из (1.1) сразу же следует, что если матрица А > 0, то вектор р > 0. Кроме того, было показано [5], что матрица (Е - А)_1, где матрица Е — единичная, не только существует, но и не содержит отрицательных элементов тогда и только тогда, когда матрица А > 0 и продуктивна. Широкое использование таких матриц связано со следующим утверждением.
Те о р е м а 1. Если матрица А > 0 и продуктивна, то для любых полуположительных значений векторов у, м> равенствами
(Е - А) х = у, (1.2)
р(Е - А) = w (1.3)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-06-00336-а) и РГНФ (проект № 11-02-00149-а).
1 В [4] оно определяется как экономика благосостояния.
2 В краткой нотации (Е - А) 1 > 0, но если прямоугольная матрица ¥ > 0 и какие-то ее элементы обязательно положительные, то Ж называется полуположительной, и ¥ > 0, если положительны все ее элементы.
определены, причем однозначно, полуположительные векторы х,р, а для всей их четверки будет выполнено равенство
ру = wx. (1-4)
Если же матрица А еще и неприводима, то оба вектора х, р будут положительными .
Доказательство. Равенство (1.4) вытекает непосредственно из (1.2), (1.3). Векторы же х, р > 0 и определены однозначно, так как х = (Е - А)-1 у, р = w(Е - А)-1, а матрица (Е - А)-1 > 0. Но поскольку и матрица А > 0, то непосредственно из (1.2), (1.3) получаем неравенства х = Ах + + у > у, р = рА + w > ц>, откуда уже следует, что х, р полуположительны. Теперь предположим, что при полуположительном у таким же в (1.2) оказался и вектор х. Меняя в этом случае, если нужно, порядок, в котором расположены компоненты в векторах х, у, систему (1.2) можно представить в форме
(Е1 - Ап)х1 - Аих2 = у1, (15)
-А21Х1 + (Е2 - А22)х2 = у2,
где
х1 > 0, х2 = 0. (1.6)
Но из (1.5) и (1.6) сразу же следуют равенства
у2 = 0, А21 = 0. (1.7)
В соответствии с (1.7) матрица А приводима, а полуположительным может быть только вектор у1. Однако если в (1.5) вектор у1 > 0, то в комбинации с (1.7), в силу продуктивности матриц А11, А22 > 0 [5], получим единственное решение вида (1.6), которое становится возможным в (1.2) в том и только в том случае, когда матрица А приводима. Таким образом, если матрица А неприводима, то вектор х > 0 (для пары р, w доказательство проводится так же).
В семействе матриц А (а) = аА с параметром а е [0, +<ю) матрица А (0) = 0 тривиально продуктивна, так как условие (1.1) выполняется для любого значения вектора р > 0, а если матрица А
удовлетворяет условиям Гейла4 [6], то для любого фиксированного значения вектора р' > 0 можно подобрать такое
а0 е (0, +да), (1.8)
что для любого а е (а0, +да) будет выполнено условие
Зр' > 0: р' < ар' А. (1.9)
Более глубокий результат содержится в следующем утверждении.
Теорема 2. Если матрица А > 0 и неприводима, а X 0 — ее перроново собственное значение и а 0 = V ^ 0, (1.10)
то матрица аА продуктивна Уа е [0,а0), но система однородных леонтьевских уравнений
(Е - аА) х - у = 0 (1.11)
Уа е (а0, +да) не имеет полуположительных решений х, у.
Если а0 — технологический темп роста неймановской модели с матрицами (Е, А), где А > 0 и неприводима, то, как показано в [6], для определенного с точностью до произвольного положительного множителя вектора х > 0 выполняется равенство
(Е -а 0 А) х = 0, (1.12)
3 В дальнейшем, для краткости, будем использовать обозначения Канторовича х, р > 0.
4 Полуположительна и не содержит нулевых столбцов.
а значит, и для параметра а 0 — условие (1.8). Но тогда х — правый собственный вектор матрицы А с собственным значением 1/а 0 = X 0. Однако по теореме Перрона [7] у матрицы А существует левый собственный вектор р" > 0 с собственным значением X 0 >Х0, а так как X 0р " х = = (р' 'А )х = р' '(Ах) = X 0 р'' х и р'' х > 0, то выполняется равенство (1.10). Используя (1.10), получаем соотношения р''(Е - аА) = (а0 -а)р''А, р''А > 0, а из них уже следует, что Уа е [0, +<ю) выполняется условие (1.1) (с вектором р = р''), а Уа е (а0, +да) — (1.9) (с вектором р' = р''). В результате все столбцы матрицы [(аА - Е), Е], а значит, и их выпуклая оболочка с; = (аА — Е)х + у; х,у > 0;Е (х{ + уI) = 1 оказываются в полупространстве р'' д > 0, т.е. отсекаются от нуля гипер-
I е I
плоскостью р'\ = 0 [8]. Но тогда у любой из сбалансированных в (1.11) пар векторов х,у какие-то компоненты должны быть отрицательными.
Следствие 1. Система (1.3) с неприводимой матрицей А > 0 имеет при полуположительной правой части w решение р > 0 тогда и только тогда, когда определенный в (1.10) параметр
а0 > 1. (1.13)
Для доказательства достаточно заметить, что А = А (1).
2. Модель ценообразования с учетом инфляции. Обычно сбалансированные в (1.2) векторы х, у и затрат отраслей в межотраслевом обороте г находятся в результате суммирования элементов таблицы некоторого стоимостного (или натурально-стоимостного) баланса [3, 9] с помощью соотношений
у = Е у», х = у< + Е хч, г у = Е хч' ', ■>е 1' (2Л)
1 е У (¡) у е I 1 е I
где величинами у{, х у в некоторых фиксированных ценах определены денежные стоимости элементов товарной продукции отрасли 1 е I, формирующих поставки у у некоторому множеству потребителей у е / ( ¡), и той части ее валовой продукции, которая передается в отрасли у е I. После получения таким способом текущих значений векторов х, г из равенств
юу = х1 - г, у е I (2.2)
можно найти значения величин юу, у е I, определяющих созданную в каждой из отраслей добавленную стоимость [10] — положительную, если производство продукции в соответствующей отрасли экономически эффективно. В связи с этим суммы г у + Юу, у е I иногда рассматриваются экономистами [9, 10] как полные затраты отраслей, возникающие в процессах производства продукции. Однако в действительности величины ю у могут быть представлены суммами вида
юу = ю1 + юу, у е I, (2.3)
где некоторые не учтенные в матрице ЦхЦ дополнительные затраты, возникающие в отраслях в силу существующих социально-экономических условий5, выражены только первыми слагаемыми ю1, а вторыми характеризуется, скорее, экономическая эффективность6 юу соответствующих отраслей. Переходя к относительным показателям'
х13
/ 11/ 2 2/ Iху , V] =ЮуУху , V = ®у/ху ,
^ = фу = Еау, 1 - I, (2.4)
¡е I
можно сформулировать следующее утверждение.
5 Они могут включать разного рода дополнительные расходы, например, оплату импорта, налоговые отчисления, зарплату работающих по найму и т.д.
6 Например, такие как прибыль, доходы от вложений в ценные бумаги и всевозможные иные поступления.
7 Если ху = 0, то в балансовую таблицу входит нулевая строка, которую можно просто вычеркнуть.
Те о р е м а 3. Если в (1.3) компоненты вектора м> определены равенствами м*. = м* + м*., у е I, (2.5)
где величины м*, м*. получены в (2.1)—(2.4), то компонентами вектора р*, формирующего в (1.3) решение, будут
р*. = 1, ( е I. (2.6)
Действительно, после подстановки из (2.5), (2.6) в (1.3) там возникают равенства
1 = X ач + и*. + и*.., . е I, (2.7)
I е I
но к ним же в соответствии с (2.4), (2.5) приводятся и равенства (2.2) после деления каждого из них на входящую в него величину х.
Таким образом, теоремой 3 утверждается, что при задании правой части в (1.3) из порождающего это соотношение баланса дальнейшей коррекции цен уже не требуется. Поэтому цены, показанные в (2.6), для краткости, будут называться исходными.
Значения цен на продукцию отраслей с учетом инфляции формируются равенствами
f \
п+1
РГ = (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.