ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 2, с. 99-112
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МОДЕЛЬ РЫНКА ТРУДА С ЭНТРОПИЙНЫМ ОПЕРАТОРОМ
Описана одна из разновидностей факторной модели движения населения, где в качестве факторов подвижности выступают следующие параметры: собственная конкурентоспособность и ее интенсивность, сравнительная конкурентоспособность и интенсивность ее функции расстояния, взаимодействие спроса и предложения, интенсивность сравнительной полезности когорт, интенсивность собственной полезности когорт и интенсивность старения знаний. Показано, как эти параметры можно оценить по имеющимся статистическим данным и каким именно.
Проблема неполной занятости (безработицы) остается одной из наиболее острых экономических и социальных проблем (Beer, Wissen, 1999). С одной стороны, рыночная организация экономической системы предполагает наличие положительного сальдо между предположением и потребностью рабочей силы. Оно является инструментом влияния на производительность и качество труда, но, с другой стороны, ложится дополнительной нагрузкой на работающее население и является источником социальных конфликтов. В последнее десятилетие безработица приобрела ярко выраженную национальную окраску благодаря интенсивной и слабо управляемой миграции рабочей силы из развивающихся стран в развитые. Стремление развитых стран регулировать социальную напряженность, нагнетаемую безработной и нерезидентной частью населения, путем увеличения денежных компенсаций привело к так называемой "скрытой" безработице: снижению мотивации к труду. Во многих развитых странах значительная группа населения довольствуется денежной компенсацией и не хочет работать.
Другая особенность трудового рынка - его феминизация. Вовлечение этой части трудовых ресурсов в производственную деятельность с экономической точки зрения следует считать позитивным явлением. Но, с другой стороны, оно оказывает негативное влияние на семейную структуру общества, воспроизводство населения и, в конечном счете, на экономику.
Трудовой рынок формирует возрастную и когортную структуры занятости, которые определяют его состояние. Этот процесс - недетерминированный, и в модельном представлении можно считать случайным. Поэтому структуру занятости будем характеризовать функциями плотности распределения занятых либо по возрасту а (возрастная структура занятости (ВСЗ) - %(а, ~t)), либо по когортам С (когортная структура занятости (КСЗ) - w(С, ~t)), принадлежащим к трудоспособным возрастам.
В статье будут рассматриваться когорты по дате рождения. Поэтому когорта С, возраста а и календарное время t связаны следующим соотношением:
Наличие такой связи позволяет использовать для изучения рынка труда одну из характеристик структуры занятости, а именно КСЗ-функцию с, 1).
Для моделирования динамики функции плотности распределения занятых введем понятия энтропии
(КОНКУРЕНЦИЯ КОГОРТ)
© 2004 г. Л. ван Внесен, А. Ю. Попков, Е. Ю. Попков, Ю. С. Попков
(Нидерланды, Москва)
1. ВВЕДЕНИЕ
c = t - а.
(1)
E( 1С, t) = lnw(С, t)
(2)
и производства энтропии (Пригожин, 1960)
(3)
99
7*
Отсюда следует, что производство энтропии (ПЭ-функция)
У( с, г) = у - (4)
w(с, г) аг
и в данном случае оно является характеристикой относительной скорости изменения функции распределения занятых когорт.
Эволюция состояния трудового рынка во времени происходит под влиянием социально-экономической системы (Петров, Поспелов, 1979). Последняя в данном случае служит источником ресурсов - трудовых и экономических (рабочих мест). Первые характеризуются предложением рабочей силы, а вторые - потребностью в ней. Внутренний механизм трудового рынка - это конкуренция за рабочие места. Количественное описание этого процесса удобно строить в терминах конкурентоспособности: собственной, когда речь идет об индивидах, занимающих рабочие места и стремящихся их сохранить, и сравнительной, для новых участников рынка труда, стремящихся вытолкнуть первых с рабочих мест. Охарактеризуем взаимодействие этих факторов в терминах производства энтропии у( с, ~г).
Влияние конкуренции, трудовых и экономических ресурсов на ПЭ-функцию будет описываться в терминах полезности (Нейман, Моргенштерн, 1976), причем каждой когорте, как участнику рынка труда, соответствует свой уровень полезности. Одной из компонент полезности является размер когорты, оккупирующей рабочие места. Для моделирования динамики КСЗ с учетом когортной структуры предложения и общего числа рабочих мест используется макроси-стемный подход (Попков, 1999).
Построенная модель трудового рынка содержит ряд неопределенных параметров, которые восстанавливаются по реальным данным с помощью процедуры идентификации. Особенность предлагаемой в статье процедуры состоит в том, что она формулируется как задача многокритериальной оптимизации на ограниченном множестве. Для ее решения предлагается алгоритм случайного поиска с элементами искусственного интеллекта. Значительная часть статьи посвящена идентификации модели с использованием реальных данных для девяти стран Европейского Союза. Анализ статистических данных и результатов идентификации позволил выдвинуть гипотезу о том, что восстановленные параметры модели могут служить своеобразным "портретом" трудового рынка соответствующей страны и пригодны для их классификации.
2. СТРУКТУРА И УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ Рассмотрим население, имеющее возраст а, из интервала трудоспособности (возрастного окна) А„, = [а0, а1 ], а е А№. Если в каждой возрастной группе исключить нетрудоспособных по болезни людей, то население из возрастного интервала А№ определяет так называемое потенциальное предложение рабочей силы на рынке труда. Здесь следует сделать некоторые замечания. Реальное предложение рабочей силы обычно меньше потенциального, так как в каждой возрастной группе существует определенное количество трудоспособных людей, но не имеющих по тем или иным причинам желания работать. Динамику рынка труда будем рассматривать на конечном интервале времени Т = [}0, } 1 ], где ~г 1 = ~г0 + а0. Последнее не сужает область применения модели, но позволяет представить основные принципы построения и структуру, не отягощая изложение техническими деталями.
В начале временного интервала ~г 0 старшая когорта (возраст а1) имеет согласно (1) дату рождения, равную:
Со = ~г0- 011. (5)
Младшая когорта, возраст которой в начале временного интервала равен а = а0 и которая входит в возрастное окно А№ в конце временного интервала ~г 1, имеет дату рождения:
С =~г о. (6)
Таким образом, множество интересующих нас когорт К = [ С0, С1 ]. Параллельно введем стандартизованные переменные:
a = a-a
0'
где
a е Aw = [ 0, a * ],
t = t -10, t е t = [o, a0],
c = c - c0, c е K = [0, ai], a * — ai — a0.
(7)
(8)
Следует отметить, что в каждый момент времени г только часть когорт с из множества К (7) принадлежит возрастному окну Ли. Все такие когорты образуют подмножество Сг, которое имеет вид:
С, = [ г, г + а * ] е К, г е Т. (9)
Для описания состояния рынка труда в стандартизованных переменных будем использовать введенные выше две функции плотности:
- когортная структура занятости и(с, г), где с е Сг и г е Т;
- возрастная структура занятости %(а, г), где а е Ли и г е Т, и распределение работающих когорт (РРК) к(с, г), где с е К и г е Т.
Между этими характеристиками рынка труда существует взаимнооднозначное соответствие:
с, г) = х(г- с, г), с е С,, ге т, (10)
к(c, t) =
Х(a, t) = w(t - a, t), a е Aw, t е T,
w(c, t) для c е [0, a0], t е [0, c],
0 для c е [0, a0 ], t е [ c + 1, a0 ],
w(c, t) для c е [a0+ 1, a * ], t е [0, a0 ],
0 для c е [a* + 1, a1 ], t е [0, c - (a* + 1)],
w(c, t) для c е [a* + 1, a1 ], t е [c - a*, a0].
(11)
(12)
Далее в основном будет использоваться КСЗ-функция. Ее изменение во времени характеризуется функцией производства энтропии (4). Тогда получим следующую систему дифференциальных уравнений:
й-и^с, г) _ йг
w(c, t)у( c, t),
(13)
где t е T, c - фиксированная когорта из подмножества Ct.
Поскольку вся необходимая для исследования рынка труда информация привязана к дискретной временной шкале, целесообразно перейти к разностной аппроксимации уравнений (13). Используя схему Эйлера с постоянным шагом, равным одному году, получим:
w(c, t + 1) = w(c, t)[ 1 + Y(c, t)], c е Ct, t е T1,
где Ctопределяется (9)и
t 1 = t\ ci0 = [ 0, a0-1 ].
Начальное распределение w(c, 0) задается следующими условиями:
(14)
(15)
w(c, 0) = w0(c), 0 < w0 < 1, c е C0,
X w0( c) = 1.
(16)
c е C„
Из (14) видно, что подмножество Сг работающих когорт меняется во времени г. Старшие когорты покидают рынок труда в интервале (г, г + 1), а молодые когорты становятся участниками рынка. Например, в момент времени г = 0 подмножество С0 = [0, а*]. В следующий год (г = 1) когорта
с = 6 покидает рынок труда, а когорта с = а* + 1 входит в него. Следовательно, подмножество работающих когорт в момент времени 1 будет иметь следующий вид: С1 = [1, а* + 1].
В общем случае, в год г, молодая когорта г + а* + 1 становится участником рынка труда. Если г изменяется от 0 до а0, то молодые когорты из подмножества [а* + 1, а1 ] попадают в возрастное окно Ам. Значения КСЗ-функций для этих когорт образуют граничные условия мв(г + 1) для уравнений (14):
w( г + а * + 1, г +1) = мв( г +1), 0 < мв( г +1 )< 1, г е Т1. (17)
Здесь уместно сделать некоторые замечания о свойствах траекторий уравнений (13) и (14). Дифференциальные уравнения (13) имеют положительные решения при положительных начальных и граничных условиях. Но при переходе к разностным уравнениям это свойство теряется, и необходим контроль положительности траекторий уравнений (14). Кроме того, распределение м(с, г + 1), которое получается из (14), не нормировано, т.е.
^ м(с, г + 1) Ф 1.
с е С,\г
Поэтому необходимо на каждом шаге г + 1 нормализовать получаемое решение с учетом граничных условий (17).
Исходя из этого, уравнения модели рынка труда можно представить в следующем виде:
Гм(с, г)[ 1+ у(с, г)], с е Сг, если М(с, г +1 )> 0,
М(с' г +1) = 1п 14 п (18)
[0, если м(с, г +1 )< 0,
м(с, г +1)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.