ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2013, том 49, № 1, с. 73-87
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МОДЕЛЬ СТАДНОГО ПОВЕДЕНИЯ КЛИЕНТОВ БАНКА*
© 2013 г. М.М. Вороновицкий
(Москва)
Требования большинства клиентов банка о досрочном возврате вкладов называют нападением на банк. Одной из существенных причин этого явления оказывается возникновение стадного поведения клиентов банка. В настоящей работе нападение на банк рассматривается как один из примеров стадного поведения. Построены и исследованы две динамические модели взаимодействия коллектива клиентов и банка. Показано, что при простых и достаточно естественных предположениях о механизме выбора решений клиентами возникает стадное поведение. Главная цель работы - исследование механизмов стадного поведения более сложных, чем исследованные ранее.
Ключевые слова: стадное поведение, набег на банк, математические модели, цепи Маркова.
ВВЕДЕНИЕ
Обращение большого числа вкладчиков к банку с требованием вернуть их депозиты часто вызвано страхом столкнуться с неплатежеспособностью банка. Порожденное этим стремление изъять средства из банка называют набегом на банк (bank run, run on a bank). Поскольку кассовый резерв банка, предназначенный для обслуживания клиентов, невелик по сравнению с суммой вкладов, массовый наплыв легко может привести к приостановлению выдачи банком денежных средств. Такое явление наблюдается в случаях, когда клиенты впадают в панику под влиянием слухов и спешат закрыть свои счета в банке. Одно из объяснений распространения паники состоит в том, что в процессе принятия решений массой клиентов банка возникает явление стадного поведения.
В литературе есть две основные точки зрения на то, как запускаются нападения на банк. Одна точка зрения указывает, что подобные нападения являются естественными последствиями бизнес-цикла и они повторяются. В частности, много эмпирических данных говорит в пользу того, что банковские кризисы в США в последней четверти XIX и в начале XX в. - фактические следствия делового цикла. Другая точка зрения состоит в том, что нападение на банк - это самостоятельное явление, порожденное неожиданностью (как это показано в пионерской работе (Diamond, Dybvig, 1983)).
Исследования набегов на банк проводятся для уточнения формулировок пунктов соглашения между вкладчиком и банком об условиях хранения вклада в банке (контракта депозита), которые обеспечивают эффективную работу банка и предотвращают опасные последствия набегов на банк. Для этого исследуются модели равновесия в системе "банк - клиенты" и оцениваются варианты контрактов между клиентом и банком, а также способы поддержки банков со стороны центрального банка страны в случае набега на банк.
В работе (Diamond, Dybvig, 1983) рассматривается модель, известная как DD-модель, которая упрощенно описывает взаимодействие банка с его клиентами. В этой работе процесс взаимодействия банка и его клиентов рассматривается в три момента (такта) времени. Предполагается континуум клиентов банка; все клиенты делают вклады в момент 0, а в момент 1 вкладчики имеют возможность забрать в соответствии с контрактом часть или полную сумму вложенных в
* Работа выполнена в Институте проблем рынка РАН при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 11-06-00500).
момент 0 средств. В момент 2 клиенты, у которых остались средства на депозите, получают на каждую оставшуюся единицу средств R единиц (R > 1).
Для нормировки предполагается, что в момент 0 все клиенты вместе вкладывают единицу средств. В момент 1 вкладчики разделятся на два типа: предпочитающие получать обратно вложенные ими средства (потреблять) в момент 1 (ранние клиенты банка) и предпочитающие получать обратно свои средства (потреблять) в момент 2 (поздние клиенты банка). Эти два типа отличаются своими функциями полезности, т.е. функциями, зависящими от величин средств, полученных из банка клиентом данного типа. Таким образом, фактически рассматривается система с двумя потребителями с различными функциями полезности как бы разного веса. Существенным элементом модели служит механизм распределения средств между клиентами. Предполагается, что согласно заключенному контракту депозита в момент 1 каждый затребовавший обратно свои средства клиент получает г1 единиц средств на каждую запрашиваемую им единицу (здесь и ниже эта величина является одной из важных характеристик контракта, регулирующих, в частности, возможности нападения на банк). Но у банка может не хватить для этого средств, поэтому предположим, что в момент 1 клиенты обращаются в банк в порядке случайной очереди и первые клиенты получают г1, а те, для кого не остается средств, не получают ничего. Если же в момент 1 у банка еще остались средства, то в момент 2 их становится в R раз больше, и они делятся между клиентами (еще не получившими все вложенные в момент 0 средства) поровну.
Авторы (Diamond, Dybvig, 1983) рассматривают задачу максимизации ожидаемой полезности клиентов и показывают, что при г1 > 1 набег на банк является одним из двух равновесных состояний модели, а при г1 = 1 равновесие, включающее набег на банк, будет отсутствовать. Таким образом, в модели, учитывающей возможность депозитов до востребования с фиксированной величиной г1 и механизм распределения в момент 1, существует равновесие интересов клиентов, одни из которых предпочитают получать обратно свои средства в момент 1, другие предпочитают получать обратно свои средства в момент 2. Но при этом имеется нежелательное равновесие - набег на банк. Как отмечают Д. Даймонд и Ф. Дибвиг, из модели следует, что из-за отзыва кредита и прекращения долгосрочных инвестиций нападению может подвергнуться и здоровый банк.
Более сложная, но лучше отражающая реальную ситуацию модель рассматривалась Ф. Ал-леном и Д. Гейлом (Allen, Gale, 1998, 2000, 2000a, 2000b). Эта модель, известная как AG-модель, является обобщением модели Даймонда-Дибвига, причем авторы рассматривают клиентов банка в качестве обобщенных потребителей. В ней время также предполагается состоящим из трех тактов. Имеется два типа активов - безопасные и рискованные, а также некий потребительский товар. Безопасные активы можно представлять как технологию хранения, которая преобразует единицу потребительского товара на такте t в единицу потребительского товара на такте t + 1. Рискованные активы моделируются стохастической производственной технологией, которая преобразует единицу потребительского товара на такте 0 в R единиц потребительского товара на такте 2, где R - неотрицательная, случайная величина с плотностью распределения f (R). В момент 1 вкладчики могут наблюдать сигнал, который мыслится как ведущий экономический индикатор. Наличие сигнала предсказывает, что потребители будут поздними (т.е. потребление произойдет на втором такте). В нулевой момент потребители знают вероятность быть ранним (и, следовательно, известна вероятность быть поздним), но каждый из них не знает, к какой группе он реально принадлежит (для простоты предполагается, что эта вероятность равна половине). Только на такте 1 каждый потребитель узнает то, каким он является, и тем самым определяется значение его функции полезности, точнее, ее аргумент - потребление в момент 1 или потребление в момент 2. Тогда типичная полезность потребителя может быть записана в виде
где о1 - потребление на такте t. Функция и дважды непрерывно дифференцируема и строго вогнута. Тип потребителей не наблюдаем, поэтому поздний потребитель всегда может вести себя как ранний. Общее количество денег в банке (включая те, которые в момент 0 внесли клиенты)
u(c 1) с вероятностью 1/2; u(c2) с вероятностью 1/2,
равно E. Банк вкладывает X единиц в рискованные активы и L единиц в безопасные, так что в момент 2 количество денег в банке равно L + RX.
В отличие от работы (Diamond, Dybvig, 1983) в JG-модели в случае недостатка средств для выплат клиентам на втором такте предполагается пропорциональное разделение имеющихся у банка ликвидных активов между всеми обратившимися клиентами.
В JG-модели исследуется задача максимизации ожидаемой полезности потребителя при естественных ограничениях, в частности ограничениях, связанных с размерами средств банка, вложенных в безопасные и рискованные активы (X, L). Показано, что при определенных соотношениях X и L нападение на банк будет одним из двух равновесий, причем второе равновесие не является нападением на банк (на такте 1 никто из поздних потребителей не требует возврата своих средств). Также в модели исследуются различные проблемы разделения риска, соответствующие различным предположениям об информационной и регулирующей среде. В модели Аллена-Гейла (Allen, Gale, 1998) в набеге на банк могут участвовать и не все поздние потребители, тогда как в модели Даймонда-Дибвига в набеге участвуют все потребители. Кроме этого в работе показано, что внешнее воздействие на банк, направленное на устранение нападения на банк, приводит к уменьшению ожидаемой величины функции полезности клиентов банка. Стоит заметить, что во всех рассмотренных выше работах предполагался рациональный выбор клиентов банка - ориентация на оптимальное значение своей функции полезности.
В работе Т. Йорулмазер (Yorulmazer, 2003) сформулирована динамическая модель системы "банк - клиенты", учитывающая реакцию клиентов на поступающую к ним информацию о состоянии банка и выборе остальных клиентов в предшествующий момент. Автор опирается на результаты работы (Bikhandany, Hirsheifer, Welch, 1992), в которой исследуется стадное поведение последовательно принимающих решения участников. В этой модели каждый участник получает сигнал о том, какое решение является наилучшим. Этот сигнал оказывается правильным только с некоторой вероятностью. Кроме того, каждый участник знает о решениях, принятых его предшественниками в очереди. В этой работе при указанных условиях показана возможность существования особого случая стадного поведения - каскада, когда, начиная с некоторого места в очереди, все участники принимают одно и то же решение, не учитывая свою собственную информацию. В случа
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.