КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 4, с. 472-476
УДК 541.182.213:621.928.95
МОДЕЛЬ ЗАПЫЛЕННОГО ФИЛЬТРА С НЕСИММЕТРИЧНЫМ ОСАДКОМ ЧАСТИЦ НА ВОЛОКНАХ
© 2014 г. В. А. Кирш
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН 119071 Москва, Ленинский проспект, 31 e-mail: va_kirsch@mail.ru Поступила в редакцию 25.12.2013 г.
Приведены результаты численного моделирования поля течения и диффузионного осаждения на-ночастиц в модельном запыленном волокнистом фильтре — ряду параллельных волокон с пористыми проницаемыми оболочками, смещенными в направлении набегающего потока. Поле течения и коэффициенты захвата точечных частиц волокнами с оболочками получены совместным решением уравнений Стокса, Бринкмана и конвективной диффузии. Показано, что перепад давления и эффективность осаждения наночастиц в фильтрах из волокон с коаксиальными и с асимметричными пористыми оболочками практически совпадают.
DOI: 10.7868/S0023291214040077
ВВЕДЕНИЕ
Исследование кинетики забивки фильтра частицами важно для предсказания срока службы фильтра. В развитом нами ранее [1—3] подходе к расчету процесса забивки для случая, когда размер частиц много меньше толщины волокон, дендритный осадок на волокнах аппроксимировался пористой проницаемой коаксиальной оболочкой (рис. 1). Допущение о симметрии оболочки позволило аналитически определить поле течения в задаче об обтекании волокна с оболочкой в ячеечной модели [1], с помощью которого, в свою очередь, подойти к решению ряда задач нестационарной фильтрации. В этом приближении впервые были разработаны методы расчета кинетики забивки инерционных и диффузионных предфильтров и методы определения оптимальных параметров фильтров в многоступенчатых фильтрующих системах с учетом их забивки твердыми частицами [2, 3]. Развитая модель дает возможность рассчитывать рост осадка на волокнах по глубине фильтра с учетом его проницаемости и обратного влияния на поле течения в фильтре, не ограничиваясь начальной стадией забивки, в отличие от других подходов. Полученные результаты моделирования обтекания волокон с осадком и кинетики забивки фильтров хорошо согласуются с данными эксперимента. Тем не менее, использование коаксиальной модели сдерживается отсутствием сравнительных количественных оценок для волокон с коаксиальными и асимметричными пористыми оболочками. Модель коаксиальной оболочки, на первый взгляд, представля-
ется нереалистичной, поскольку осадки частиц на волокнах, как правило, несимметричны. Оболочка близка к коаксиальной только в пределе малых диффузионных чисел Пекле (Ре ^ 0), но с ростом влияния конвекции на осаждение, а также при инерционном осаждении частиц осадок становится несимметричным относительно оси волокна, вытягиваясь по направлению к набегающему потоку.
В данном сообщении на примере диффузионного осаждения наночастиц при Ре > 1 показано, как влияет форма образующегося на волокне осадка на его силу сопротивления потоку и эффективность улавливания частиц. При этом учитываются условия стесненного течения, каковым является течение в фильтре из-за влияния соседних волокон. С этой целью выбран модельный фильтр в виде ряда параллельных волокон с асимметричными оболочками, расположенных перпендикулярно потоку [4]. Задача о накоплении частиц на волокне в ячеечной модели в диффузии
(а) (б) (в)
Рис. 1. Формы сечения волокон: характерная для волокна с осадком частиц (а) и для волокна с коаксиальной (б) и асимметричной пористой оболочкой (в).
онном режиме рассматривалась в работах [5, 6] с помощью метода граничных интегральных уравнений, где авторы связали форму и направление роста границы осадка с максимальным градиентом локального потока. Однако они ограничились только начальной стадией забивки, а также не привели сравнения своих расчетов со случаем симметричной оболочки. Кроме того, вместо уравнений Бринкмана, описывающих течение в осадке, ими было использовано уравнение Дарси совместно с граничным условием Биверса—Джозефа [7]. Этот подход физически неверен, поскольку, если пористая среда одновременно граничит и с внешним потоком и с непроницаемой стенкой (с поверхностью волокна), уравнение Дарси неприменимо: его порядок меньше порядка уравнения Стокса, что не позволяет удовлетворить всем граничным условиям задачи.
Следует отметить, что перспективным является развиваемое в настоящее время прямое численное моделирование роста осадка в выбранном конкретном фрагменте небольшой площади с фиксированным расположением волокон [8]. Однако получаемые результаты не могут быть использованы для других фильтров из-за того, что их структура может отличаться от структуры данного фильтра. А, как известно, небольшие различия в структуре ведут к резкому изменению эффективности улавливания частиц. Кроме того, из-за не вполне обоснованных допущений прямые расчеты пока дают только наглядные качественные представления об осадках частиц на волокнах. Поэтому остается актуальным рассмотрение процесса осаждения и накопления частиц в рамках простых моделей.
ПОЛЕ ТЕЧЕНИЯ И ОСАЖДЕНИЕ НАНОЧАСТИЦ В РЯДУ ВОЛОКОН С НЕКОАКСИАЛЬНЫМИ ПОРИСТЫМИ ОБОЛОЧКАМИ
Метод расчета осаждения наночастиц в системе волокон с пористыми оболочками из потока Стокса—Бринкмана был развит в [9]. На рис. 2 показана расчетная ячейка. Рассматривались волокна, сечение которых имеет вид, представленный на рис. 1б (начало координат помещено в центр пористой оболочки). Принималось, что осадок на волокне имеет круговое сечение, и что его проницаемость постоянна. Поле течения в ряду волокон с пористой оболочкой определялось совместным численным решением уравнений Стокса и Бринкмана:
Vpe = Дие, ШУие = 0, Ур1 = Ди1 - £2и \ Шу и1 = 0,
(1) (2)
0 р - 1 Рис. 2. Схема расчетной ячейки.
Ь
описывающих течение соответственно в области вне оболочки (индекс е) и в области пористого слоя (индекс 1) [5]. Поле концентрации частиц в потоке было найдено численным решением стационарного уравнения конвективной диффузии
2Ре-1Дп - (и • У)п = 0 (3)
с помощью схемы конечных разностей, разработанной в [10]. Здесь £ = а0к— безразмерный параметр, связанный с радиусом чистого волокна а0 и проницаемостью пористой среды к, р = ра0/иц, р — давление, ц — вязкость газа, и — скорость набегающего потока, и = и/ и, и — текущая скорость
газа, п = Пп-1, П — текущая концентрация частиц п0 — ее значение на входе вдали от волокон,
Ре = 2а0иБ— число Пекле, Б — коэффициент диффузии частиц.
На входной границе расчетной ячейки, при х = = —Ь, использовались граничные условия постоянства скорости и = 1 х, где 1 х — единичный вектор в направлении оси х, однородности концентрации, п = 1; при х = Ь — условия нулевого давления, отсутствия вязких напряжений и выравнивания концентрации, дп/дх = 0. На боковых, верхней и нижней гранях ячейки ставились условия симметрии скоростей и концентраций. В качестве граничных условий на поверхности волокна г = -у/(х + 1 - р)2 + у2 ставились условия прилипания и' = 0, где х, у — безразмерные декартовы координаты. На внешней границе пористой оболочки г = р использовались условия неразрывности для компонент скоростей и напряжений
и = и , р = р , Тг0 = Тг0,
(4)
а для концентрации ставилось условие полного поглощения п = 0, где р = 3а-1, а — радиус пористой оболочки, тг0 — тангенциальное напряжение, г, 9 — безразмерные полярные координаты.
Отметим, что при постановке условия (3), как следует из работы [11], перенормировки вязкости в уравнении Бринкмана не требуется, если рассмат-
х
474
КИРШ
(а)
п 1.0
(а)
10
3 (б)
п 1.0
1.4 1.6 1.8 2.0 (б)
2.2 —х
Рис. 3. Линии тока при стоксовом обтекании волокна с асимметричной (а, в) и коаксиальной (б, в) пористой проницаемой оболочкой в ряду волокон, перпендикулярных потоку, при р = 2.5, 5 = 3 (а, б) и 10 (в, г). Линии тока соответствуют входной ординате у = 0.005, 0.01, 0.025, 0.05, 0.1 и далее увеличивающейся с шагом 0.1 до 1.
ривается высокопористая среда. Пористость осадков, характерных для тонкой фильтрации, варьирует в интервале 0.80—0.95 [12]. Параметр проницаемости, связанный с плотностью упаковки высокопористого осадка в, равен [2] £ = 2-^р/кф,Кп)/Я, где Кп = X/ гр — число Кнудсена, X — длина свободного пробега молекул газа, гр — радиус частиц, Я = гр/а0 — параметр зацепления, к — гидродинамический фактор в формуле для силы сопротивления цепочки частиц, аппроксимированной волокном кругового сечения [12].
Рис. 4. Профили концентрации частиц на передней застойной линии перед волокном с пористой коаксиальной (1, 2) и асимметричной (1', 2') оболочкой и непроницаемым волокном (3) радиуса р = 1.3 (а) и 2.5 (б): 1, 1' — 5 = 3, 2, 2' - 10. Ре = 100.
Безразмерная сила сопротивления единицы длины волокна находилась интегрированием по поверхности оболочки Ъ проекции локального потока импульса на направление потока:
Е = Р/ иц =
х
(5)
где поток импульса равен T = (—pI + о') • п, о' — тензор вязких напряжений, I — единичный тензор, п — вектор внешней нормали к поверхности. Коэффициент захвата точечных частиц волокном с пористой оболочкой рассчитывался по формуле
П = 2Ре-1 ^{дп/дг)
й е.
г=р
1
2
3
2
1
х
0
0
Рис. 5. Зависимости безразмерной силы сопротивления волокна с коаксиальной пористой оболочкой от безразмерного радиуса пористой оболочки: 1 — 5 = 3, 2 — 5, 3 — 10; 4 — асимметричная оболочка. ад/ И = 0.2.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
На рис. 3 приведены примеры расчетных линий тока при обтекании ряда волокон со смещенными и коаксиальными пористыми оболочками, а на рис. 4 дано сравнение соответствующих профилей концентрации частиц на передней застойной линии. Из рисунков следует, что отличие имеет место только для высокопористого осадка с большой приницаемостью (5 = 3) и только в начальный период забивки при малой толщине оболочки. Этот вывод также следует из результатов расчета силы сопротивления (рис. 5) и коэффициентов захвата (рис. 6, 7) для модельных фильтров с а0/ И = 0.2. Видно, что сопротивление волокна со смещенной оболочкой незначительно отличается от сопротивления волокна с коаксиальной оболочкой, найденного ранее в [1, 4]. С ростом толщины оболочки вклад волокна-стержня при а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.