ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 3, с. 106-112
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МОДЕЛЬ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТА НА ОСНОВЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОГО ТРЕНДА С ПРОИЗВОЛЬНОЙ
АСИММЕТРИЕЙ
© 2012 г. В.К. Семёнычев, А.А. Коробецкая
(Самара)
Предложена математическая модель жизненного цикла продукта (товара, услуги, организации) в виде дробно-рационального тренда с произвольной асимметрией. Рассмотрены основные характеристики модели и ее отличия от известных моделей жизненного цикла. На примере моделирования и прогнозирования долей рынка наиболее распространенных операционных систем с помощью данной модели показана высокая точность моделей и прогнозов.
Ключевые слова: модель, тренд, дробно-рациональная функция, жизненный цикл, этапы, операционная система, коэффициент детерминации, коэффициент несоответствия Тейла.
Моделирование и прогнозирование жизненных циклов продуктов (товаров, услуг, организаций и др.) для принятия управленческих (маркетинговых, технологических и др.) решений относится к актуальным задачам современной экономики. Общепризнанным является выделение в жизненном цикле продукта (ЖЦП) таких основных фаз, как возникновение (выведение), рост, насыщение, зрелость и спад, отражающих динамику уровней различных показателей ЖЦП: объемов продаж, спроса, объемов добычи нефти и т.д. Практика демонстрирует многообразие траекторий жизненного цикла. Форма кривой траектории зависит от конкретного вида продукта, а также от внешних условий, в которых он реализуется. Различия могут проявляться в наличии и числе точек перегиба, уровнях начальной и конечной фаз жизненного цикла, симметричности кривой относительно точки максимума (последнее особенно важно для практики, поскольку у одних продуктов спад происходит быстрее роста, а у других - рост быстрее спада). Также в уровнях траектории может присутствовать колебательная (сезонная или циклическая) компонента. Возможно возникновение повторных циклов, связанных с различными управленческими решениями.
В качестве моделей жизненного цикла обычно предлагают набор графиков, которые отражают различную динамику ЖЦП и характеризуются такими неформализованными терминами, как длительное обучение, отсутствие обучения, всплеск, всплеск с остаточным рынком, провал, длинный цикл, новые подъемы и т.д. (Ламбен, 1996, гл. 7).
Известно порядка десяти "кумулятивных" (их называют также интегральными, накопленными, 5-образными или логистическими) моделей динамики: Верхулста, Гомперца, Ричардса, фон Берталанффи, Басса и др. (Mahajan, Muller, Bass, 1991, p. 125-177).
Число известных импульсных моделей (дифференциальных по отношению к кумулятивным моделям) существенно меньше, но их способность тонко различать фазы ЖЦП выше. Здесь уместна аналогия интегральных функций распределения с дифференциальными плотностями распределения в теории вероятностей.
Примерами импульсных моделей могут служить тренды вида (Алексеев, Багиев, 1997, с. 75; Оразбаев, Курмангазева, Кабылхамит, 2007; Семёнычев, Куркин, 2010, с. 8):
Yk = A1 e-"1 kD (kD) a2 + sb (1)
Yk = T(A0,..., Ap, kD)e-a' kD + sь (2)
A 1( k D)a1
Yk =- . a + fk, (3)
A 2+ A3( kD) "2
Yk = e-"0+a1 kD+"2(kD )2 + s (4)
Максимум
.Точки перегиба
Рост Зрелость Насыщение
Спад
Рис. 1. Общий вид графиков известных моделей ЖЦТ
(1)-(4)
Рис. 2. Границы этапов жизненного цикла
где а0, а15 а2, А0, ..., А3, ... - параметры модели (в общем случае нецелые числа); к = 1, ..., п -номера наблюдений; п - объем выборки; А - период дискретизации (опроса) показателя (год, месяц, день и др.); ек - стохастическая компонента; Т(А0, ..., Ар, кА) = А0 + А1кА + ... + Ар(кАу -алгебраический полином степени р.
Для демонстрации характера динамики приведенных моделей покажем их графики при заданных значениях параметров (рис. 1). В частности, отметим, что модель (4) симметрична относительно точки максимума, а модели (1)-(3) имеют трудности идентификации при нецелых значениях а1 и асимметричны, причем рост происходит быстрее, чем спад, т.е. асимметрия не является произвольной.
Для идентификации параметров моделей и получения их оптимальных (несмещенных, эффективных и состоятельных) оценок, как правило, применяют метод наименьших квадратов (МНК), считая справедливыми условия Гаусса-Маркова (центрированность, отсутствие автокорреляции, гомоскедастичность) для стохастической компоненты.
Модели (1)-(4) являются нелинейными по параметрам, что затрудняет их идентификацию, особенно на коротких выборках, которые характерны для реальных условий эволюции динамики.
Лишь уравнение (2) обладает возможностью идентификации с высокой точностью на относительно коротких выборках при малых значениях степени многочлена (р < 4) на основе обобщенных параметрических моделей авторегрессии скользящего среднего (ARMA-моделей) (Семёнычев, Семёнычев, 2006, гл. 3; Семёнычев, Куркин, 2010, с. 9-10).
Покажем, что во многих практических случаях тренд Тк может быть описан дробно-рациональной моделью с четырьмя параметрами при выборе аддитивной структуры вхождения стохастической компоненты:
Тк =
Р0 + Р1 к А
Ук = Тк-
. . л' ~ к —к ~ к. (5)
1+ 01 кА + 0 2( кА )2
При определенных значениях параметров модель (5) в первой координатной четверти принимает вид, соответствующий форме жизненного цикла (рис. 2). Для этого значения параметров Р0, Р1, б2 должны быть положительными, а - отрицательным. Кроме того, функция (5) должна быть неразрывной, т.е. ее знаменатель не должен обращаться в ноль:
1 + 01 кА + б2(кА)2 ! 0, что соответствует ограничению на параметры б 1 < 4б2.
Запись модели в виде (5) удобна для выполнения преобразований, но при этом параметры модели оказывают сложное влияние на ее форму, что затрудняет их выбор и анализ. Поэтому предлагается альтернативная запись:
аА( к А - В) + С
тк =---г. (6)
1 + А(кА - В)2
Параметры а, А, В, С модели (5) однозначно связаны с Р0, Р1, Q1, Q2:
_ С - аАВ аА _ -2АВ А
Р0 т , Р1 т , Q1 т , Q
о ' 1 л ' 1 л ' 2 "I
1+АВ2 1+АВ2 1+АВ2 1+АВ2
Их влияние на форму кривой иллюстрирует рис. 3. Стрелками показано изменение формы кривой при увеличении соответствующего параметра.
Параметр а влияет на симметричность жизненного цикла. При а = 0 кривая симметрична относительно точки максимума, при а >0 рост происходит быстрее спада, при а < 0 спад - быстрее роста, т.е. модель произвольной (переменной) асимметрии, определяемая параметром а.
Тренд (6) имеет единственный максимум и в случае асимметрии - единственный минимум. Тем не менее с его помощью можно моделировать и мультилогистическую динамику с повторными циклами, используя взаимодействие нескольких трендов (рис. 4). Точки максимума и перегиба отделяют стадии жизненного цикла, как это было показано на рис. 2.
Положение точки максимума может быть рассчитано по формулам:
B — — + л /(—О + — при a > 0; a A V \ a A) A
B — — -Jl—) + — при a < 0. aA V \ aA / A
Точки перегиба могут быть найдены путем приравнивания к нулю второй производной функции (6), что приводит к алгебраическому уравнению третьей степени. В бесконечности функция (6) стремится к нулю (lim Tk = lim Tk = 0), т.е. модель предполагает, что со временем продукт
k " з к " —з
полностью исчезнет с рынка.
Идентификацию параметров модели можно выполнить как путем решения нелинейного МНК, так и с помощью линеаризации (умножения на знаменатель) и реализации взвешенного МНК для обеспечения гомоскедастичности стохастической компоненты.
Небольшое число входящих в модель параметров позволяет идентифицировать ее на выборках малого объема. В то же время модель обладает значительной гибкостью и позволяет описывать широкий класс типов жизненного цикла. Достоинство предложенной модели состоит также в том, что она может применяться для описания данных, начиная с любого момента жизненного цикла (в отличие от известных моделей (1)—(3)). Это особенно важно в случаях, когда отсутствует статистика для ранних стадий цикла.
Чтобы продемонстрировать возможности предложенной модели, выполним моделирование и прогнозирование долей рынка операционных систем (ОС) семейства Windows, представленных на рис. 5.
Оценку точности моделей будем осуществлять, как это обычно делается, с помощью коэффициента детерминации R2 (Айвазян, 2001, с. 46), а для оценки точности прогноза будем использовать коэффициент несоответствия (второй коэффициент Тейла):
Vn+l II n+l n+ l \
/ e2 I / F2+ / (Y*)2),
к = n + 1 I \k = n + 1 к = n + 1 j
где l — глубина прогноза, sk = Yk — Y* — значения ошибки прогноза, Yk — истинные прогнозные значения, Y* — прогнозные значения по модели.
0
Рис. 3. Зависимость формы тренда (4) от значений его параметров
Ук
к 0
7I(1+72)
а) л " б) л
Рис. 4. Получение повторных циклов путем наложения нескольких трендов: а) аддитивно, б) мультипликативно
80%-7060 50403020100
__----'* "ч —---
/ \
4 ч
/
.......
/
. с-
о о о
ООО
М СЯ СЧ
W2000
о\
о о о о
ся сч
-WinXP .......Vista
-Win7
Рис. 5. Доли ОС семейства Windows на рынке Источник: OS Platform Statistics, 2012
2003 2004 2005 2006 2007 2008 — Модель -о-Исходный ряд
Рис. 6. Моделирование жизненного цикла ОС Windows 2000
Для каждой из рассматриваемых ОС имеются статистические данные, охватывающие различные этапы жизненного цикла.
ОС Windows 2000 находится в стадии спада, т.е. отсутствуют сведения о значительной части ЖЦП. Тем не менее предложенная модель позволяет с высокой точностью описать динамику показателя. Для оценки точности модели в качестве исходных данных будем опираться на наблюдения за 2003-2006 гг., а уровни 2007-2008 гг. вынесем в прогнозную часть. В результате идентификации получим модель со следующими значениями параметров:
a = 605,4, A = 7,73 х 10-4, B = -2,4, C = 43,8. ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 48 № 3 2012
2006 2007 2008 2009 2010 2011 — Модель -о-Исходный ряд
Рис. 7. Моделирование жизненного цикла ОС Windows XP
20%-181614121086 42-
S
2007 2008 2009 2010
-Модель -о-Исходный ря
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.