АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 3, с. 283-294
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.21
МОДЕЛИ И ОБЩИЕ ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ДВУМЕРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ МЕТАМАТЕРИАЛОВ И СРЕД © 2015 г. Ю. И. Бобровницкий
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН 101990Москва, Малый Харитоньевский пер. 4 E-mail: yuri@imash.ac.ru Поступила в редакцию 08.12.2014 г.
Для двумерных линейных акустических метаматериалов и сред, представимых в виде периодических структур из сложных ячеек, предложена общая модель, выведены формулы для эффективных параметров и энергетических характеристик, сформулированы ограничения, накладываемые на такие среды. Они разбиты на четыре основных типа, различающихся общими волновыми свойствами; указаны отличительные признаки каждого типа. Приведено несколько новых схем дискретных и непрерывных метаматериалов отрицательного и гиперболического типов, для которых построены дисперсионные зависимости и выписаны соответствующие "волновые" уравнения.
Ключевые слова: акустические метаматериалы, периодические структуры, нормальные волны, дисперсия, эффективные параметры, классификация акустических сред, гиперболические среды.
Б01: 10.7868/80320791915030041
ВВЕДЕНИЕ
В акустической литературе последних лет наблюдается рост числа публикаций, посвященных акустическим метаматериалам (АММ). Эти искусственно создаваемые композиционные материалы обладают существенно более широким спектром волновых свойств, чем обычные материалы и среды, включая ранее неизвестные свойства, и, соответственно, имеют перспективы более широких практических приложений. Хотя исследования в этой новой области акустики еще не вышли из лабораторной стадии, уже полученные результаты позволяют предположить, что в недалеком будущем такие материалы дадут возможность направлять потоки акустической энергии по нужным траекториям с требуемой скоростью и интенсивностью и, таким образом, обеспечат новый, более высокий уровень решения практических задач эффективного управления виброакустическими полями в технике, медицине, строительстве и других областях — см., например, [1—3]. А пока основные усилия исследователей направлены на конструирование и изучение новых материалов и на решение целого ряда научных проблем, в том числе теоретического характера, необходимых для создания АММ с заданными волновыми свойствами.
Данная работа посвящена построению теории распространения волн в одном перспективном, но малоисследованном классе акустических ме-таматериалов и сред, представимых двумерными линейными периодическими структурами общего вида. Их волновые свойства зависят от устройства и параметров ячеек периодичности. В работе предполагается, что ячейкой является колебательная система, имеющая произвольное число степеней свободы, включая внутренние (скрытые) степени свободы, и состоящая из соединения линейных дискретных и/или непрерывных механических элементов. Работа является продолжением статьи [4] и обобщает на двумерные акустические материалы и среды подход и результаты, полученные там для случая одного измерения. Ниже предложена общая двумерная дискретная модель, выведены формулы для эффективных параметров и энергетических характеристик, исследованы волновые свойства и ограничения, накладываемые на двумерные АММ, дана их классификация и приведено несколько новых схем дискретных и непрерывных АММ различных типов, включая так называемые гиперболические АММ. Демпфирование в данной работе не учитывается.
Напомним сначала некоторые необходимые для дальнейшего основные положения предложенного в [4] подхода к анализу акустических материалов и сред указанного типа. Первое положе-
ние касается определения акустической среды. В литературе по этому вопросу нет четкости. Нет также и четкой классификации сред, в которых возможно существование упругих волн. Обычно принято различать среды по их материальной природе и по их математическому описанию. Однако существуют среды одной и той же природы, в которых можно наблюдать принципиально различные волновые эффекты. В то же время, в некоторых средах разной физической природы имеют место совершенно идентичные волновые эффекты. Желательно поэтому иметь классификацию упругих сред не только по их материальной природе, пространственной размерности или по сложности математического описания, но и по волновым свойствам. Это особенно важно при создании новых искусственных материалов, которые могут состоять из элементов различной материальной природы и, главное, структура которых напрямую зависит от проектируемых волновых свойств.
По мнению автора, наиболее важной характеристикой среды, ответственной за ее волновые свойства, является число независимых плоских нормальных волн — свободных волновых движений, которые среда может поддерживать без внешних воздействий. Это мнение основано на том факте, что волновые свойства сред с одинаковым числом волн принципиально ничем не различаются (например, свойства единственной нормальной волны в тонкой трубке с воздухом и в продольно колеблющемся упругом тонком стержне). А среды с различным числом волн демонстрируют качественно различные волновые эффекты (например, у свободной плоской поверхности упругого твердого тела, у которого есть три типа нормальных плоских волн, может существовать волна рэ-леевского типа, а в жидкости, у которой только один тип волн, волна Рэлея в принципе невозможна). По этой причине, с точки зрения волновой теории, было бы целесообразно классифицировать среды и метаматериалы именно по числу независимых типов нормальных волн.
Существует простое правило для определения этого числа [5]: оно в точности равно числу независимых физических механизмов обмена энергией между соседними участками непрерывной среды или между соседними ячейками периодической структуры. Для непрерывных сред, колебания которых описываются линейными дифференциальными уравнениями, это число также равно половине порядка старшей производной по пространственным координатам, а для периодических структур оно определяется свойствами некоторой матрицы, характеризующей колебания одной ячейки периодичности — см. далее.
Учитывая сказанное, мы будем придерживаться следующего определения [4]: под упругой средой или материалом акустического типа будем понимать непрерывную среду или периодиче-
скую структуру, в которой существует только один тип плоских упругих нормальных волн. Акустические среды, таким образом, являются простейшими по своим волновым свойствам. Помимо жидкостей и газов, являющихся традиционно акустическими средами, в этот класс входят, в соответствии с данным определением, ряд упругих сред, например, продольно или крутильно колеблющиеся тонкие стержни, натянутые струны и мембраны, "твердые жидкости", называемые также пентамодальными материалами, имеющие один отличный от нуля упругий модуль [6, 7]. Сюда также входят звуковые кристаллы, у которых несущей является одна из обычных акустических сред [2], а также периодические структуры определенного ниже типа.
Второе важное положение используемого в статье подхода касается способа вычисления эффективных параметров АММ. Так как в общем случае АММ представляет собой сложную колебательную систему с множеством внутренних (скрытых) степеней свободы, его детальный анализ громоздок и малопродуктивен. В физике в таких случаях применяют различного рода усредняющие процедуры, называемые сглаживанием (английский термин homogenization), переходя таким образом к более простым моделям с небольшим числом интегральных рабочих параметров, которые принято называть "эффективными параметрами". В литературе существует множество методов усреднения и сглаживания — см., например, [8—10]. Большое их число объяснается тем, что они разрабатывались для конкретных физических задач и, как правило, малопригодны для задач с другой спецификой. Поэтому в работе [4] был предложен новый метод, названный "волновым сглаживанием" (wave homogenization), который наилучшим образом подходит для исследования именно волновых свойств периодических структур. Метод состоит в том, что АММ как сложная периодическая структура моделируется, т.е. заменяется, другой периодической структурой, состоящей из минимального числа дискретных механических элементов — сосредоточенных масс и упругостей, которые и приняты в качестве эффективных параметров. Их значения рассчитываются из условия равенства дисперсии нормальных волн в АММ и в модели. Как показано в [4], они явно выражаются через характеристики (входные импедансы) отдельной ячейки периодичности структуры. Знание эффективных параметров позволяет точно рассчитать не только все волновые характеристики АММ, в частности, фазовую и групповую скорости, но и основные энергетические величины — поток мощности и плотность энергии нормальных волн. Отметим, что столь высокая информативность эффективных параметров, определенных волновым сглаживанием, обусловлена как адекватным выбором модели, так и возможностью ис-
пользования для анализа одного из самых разработанных в математике аппаратов — теории матриц.
СТРУКТУРА 2D АММ
Перейдем теперь к основному содержанию статьи и рассмотрим распространение волн в двумерных акустических метаматериалах, предста-вимых в виде периодических по двум пространственным координатам структур или решеток. Предполагается, что ячейкой периодичности такой структуры является линейная колебательная система с произвольным (в том числе бесконечным) числом степеней свободы и четырьмя дискретными входами, посредством которых она соединена с соседними ячейками (рис. 1). Наличие у ячейки четырех входов связано с условием аку-стичности решетки: один вход, по определению, характеризуется одной парой "обобщенные сила и скорость" и, следовательно, задает один механизм передачи энергии. Число входов ячейки может быть и больше четырех, но поскольку в средах и решетках акустического типа должен быть лишь один физический механизм обмена энергией с соседними ячейками, то выбором другой формы ячейки и других переменных они сводятся к четырем. Ниже будет показано, что наличие
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.