ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2013
УДК 534.1
© 2013 г. Крупенин В.Л. МОДЕЛИ ВИБРОПЕРЕДАЧИ И ФИЛЬТРАЦИИ ВИБРОУДАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Приводятся примеры механического возникновения в машинах и механизмах виброударных режимов движения, приводящих к избыточному шуму и преждевременному износу деталей. Рассмотрены модели механических фильтров различных типов. Обсуждаются проблемы нелинейной и линейной фильтрации волновых вибрационных процессов. Даны модели вибропроводящих сред, в том числе нелинейных виброводов сложной структуры. Проведены аналитические исследования проблем, связанных с прохождением периодических сильно нелинейных (виброударных) процессов через многомерные машинные конструкции, моделируемые посредством дискретных 2В механических систем с регулярными структурами — многомерными механическими фильтрами низших частот. Раскрыт физический смысл полученных решений, выведены расчетные формулы и описаны главные динамические эффекты. Введено понятие метрики фильтра.
1. Виброударные процессы, генерируемые машинами и другими техническими объектами, являются важнейшим фактором, ответственным за повышение их виброактивности. Создание новых технологических машин и высокоскоростных транспортных средств приводит к увеличению интенсивности и расширению спектра вибрационных и виброакустических полей. Этому способствует также широкое использование в промышленности и строительстве высокоэффективных вибрационных и виброударных процессов. Вредная вибрация нарушает планируемые конструктором законы движения машин, механизмов и систем управления, порождает неустойчивость процессов и может вызвать отказы и полную расстройку всей системы. Вибрация оказывает и непосредственное пагубное влияние на человека, снижая его функциональные возможности и работоспособность, вызывая профессиональные заболевания. Поэтому особое значение приобретают методы и средства уменьшения вибрации [1]. Среди таких средств — механические фильтры, изучение которых восходит к классическим лекциям Л.И. Мандельштама [2].
В машинах и машинных агрегатах вибрационные процессы обычно распространяются в виде линейных или нелинейных волн по вибропроводящим средам (виброводам) [3]. Свойства виброводов весьма разнообразны и зависят от многих факторов. Виброводы могут моделироваться посредством элементов сплошных или дискретных сред как простой, так и сложной структуры [4—7]. Однако практически в любом случае возрастает актуальность задачи о снижении виброактивности виброводов.
Эффективное проектирование машин и конструкций представляется весьма важным аспектом деятельности конструкторов. Хорошо спроектированная машина требует минимум специальных дополнительных средств борьбы с вибрацией и виброударными процессами. Поэтому крайне важно уметь использовать разнообразные динамические эффекты, позволяющие "встроить" еще на стадии проектирования динамические средства борьбы с вредной вибрацией. Наряду с другими важное место занимает фильтрация. Под фильтрацией будем понимать преобразование спектра
Я
\ 1
т
|ллл^л^/^л^-
м„
т
м
■\ЛЛ»
к
¿а
¿б
Рис. 1
Рис. 3
вибрации, приводящее к его обогащению, обеднению или другим типам преобразования в заданных частотных полосах.
Динамические эффекты, связанные с механической фильтрацией вибрационных процессов [2, 8, 9], весьма многогранны. Основываясь на них, можно предложить нетривиальные принципы проектирования механизмов и устройств, позволяющих обеспечить необходимое преобразование спектра вибрации, а также обеспечить подавление его нежелательных составляющих. Заметим, что здесь не предполагается предложить какую-либо классификацию видов фильтрации и фильтров, так как это может оказаться совершенно самостоятельной проблемой. Основной интерес представляет фильтрация виброударных процессов или фильтрация, осуществляемая посредством виброударных процессов.
2. На рис. 1 приведена модель комбинированного фильтра. 2N одинаковых маятников, связанных одинаковыми пружинами (или вязкоупругими элементами), могут двигаться только в вертикальных плоскостях, касательных круговой линии подвеса. Принимается, что расстояние между соседними точками подвеса равно а. Длина каждой пружины в нерастянутом состоянии есть Ь. Правый маятник может соударяться со стенкой, установленной с зазором А > 0 или натягом А < 0.
На рис. 2 показаны цепочки, содержащие одну ударную пару. На рис. 2, а показаны две соударяющиеся цепочки А(1) и А(11). Рисунок 2, а может отвечать модели цепочки, соударяющейся с неподвижным препятствием, если масса одного из соударяющихся тел стремится к бесконечности.
На рис. 2, б одно из тел хк находится в двустороннем зазоре величиной 2А. Кроме того, здесь показаны ограничители с конечной податливостью. Жесткость ограничителей X > 2, т.е. X — большой параметр [10, 11].
//// А
Рассмотрим еще две модели (рис. 3, а, б). Линейные части этих систем представляют собой "регулярные смеси" различных систем с регулярной структурой. В таких системах происходит так называемое расщепление спектров на акустическую и оптическую части [2]. Исследования этих задач в виброударной постановке представляют большой интерес и приводят к получению новых динамических эффектов.
3. До сих пор, рассматривая виброводы, предполагалось, что структура вибропро-водящих сред простая и линейная. В некоторых случаях от этого предположения удобно отказаться и перейти к моделям виброводов со сложными структурами. В работах [8, 9] были проанализированы примеры сильно нелинейных виброводов сложной структуры. При переходе к моделям сред сложной структуры существенной ревизии подвергается содержание понятия точки [7]. В зависимости от структуры модели каждая точка может описываться произвольным набором определяющих уравнений. В случае, если эти уравнения нелинейные, то в каждой точке такой среды (на модельном уровне) оказываются помещенными нелинейные элементы. В результате получаются не модели фильтрующих систем, а модели нелинейных преобразователей спектров.
На рис. 4 дана схема такой системы, где показана несущая часть вибропроводящей сплошной линейной среды, на которой размещено амортизированное оборудование, элементы которого могут вибрировать, соударяясь с жесткими ограничителями [8, 9]. Примеры записи определяющих соотношений при полной континуализации подобной системы приведены в [8]. Данный подход позволяет провести изучение и других систем с регулярной или квазирегулярной структурами.
4. Рассмотрим задачу о прохождении периодического виброударного процесса через 2В-механические фильтры низших частот, элементы которых представляют двумерные решетчатые конструкции.
Для анализа используются решения, полученные при помощи методов частотно-временного анализа [10—16]. Рассмотрим решетчатую конструкцию (рис. 5) с единственным двусторонним ограничителем, где вместо линейной имеется плоская (решетчатая) структура, составленная из двух взаимно перпендикулярных семейств упругих [4, 12—16] одинаковых линейных струн, образующих прямоугольную конструкцию. Струны защемлены на концах и имеют, соответственно, длины Ь1 и Ь2. Каждая струна нумеруется при помощи индексов к = 0, 1, 2, ..., N и q = 0, 1, 2, ..., В вершинах решетки помещены точечные абсолютно твердые тела с одинаковыми массами т.
Предполагается, что прямоугольные ячейки решетки одинаковы, но длины и ширины их сторон не равны между собой и сама решетка (дискретный аналог мембраны) анизотропная. Струнные элементы предполагаются безынерционными. Крепления струн в узлах считаются абсолютно жесткими, а их натяжения настолько большими, что возможными изменениями при линейных колебаниях можно пренебречь. Пусть каждая "горизонтальная сторона" ячеек имеет длину АХ1, а "вертикальная" — АХ2.
Кроме того, пусть безынерционные "горизонтальные участки" имеют натяжение Ть а "вертикальные участки", соответственно, Т2.
Динамика решетчатой конструкции описывается посредством N функций прогибов ик<?(0, где индексы к = 1, 2, ..., N и q = 1, 2, ..., Щ. Каждая из функций ик() изменяется вдоль некоторой оси, перпендикулярной плоскости статического равновесия решетки. Считаем, что первый по счету индекс к нумерует струны "слева направо" или наоборот, а второй индекс q — "снизу вверх" или наоборот (рис. 5).
Параллельно плоскости статического равновесия решетки на расстоянии, вблизи фиксированного узла (к, q), установлен двусторонний ограничитель хода, образованный парой препятствий, с которым точечное тело, находящееся в узле решетки, может совершать соударения; удары предполагаются прямыми и центральными.
В предположении Т-периодичности и симметричности процесса сила удара записывается при помощи симметричных периодических 8-функций Дирака [10, 11]. Обозначив эту силу как Ф0[ик<?(?), ыкс()], имеем
Фо[Мг), Мг)] = /^г/2(г -г,),
причем симметричная Т-периодичная 8-функция 8Т/2(?) = — 8Т/2(? + Т/2),
-Г/2
О
(г) = £ [б(г - кТ) - ъ{г - кТ- Щ = Т £ е(2к +1)г(йг. (1)
к =
Сходимость последнего ряда (1) понимается в обобщенном смысле.
Предположение о симметричности системы приводит к соотношению ищ{1) = — ык( + Т/2). Таким образом, если при t = t0 происходит соударение фиксированного узла с ограничителями, то для верхнего (рис. 5) ограничителя выполняются соотношения [10, 11]
икд( го) = V %г(го - 0) = -Яи^Шо + 0)< о, 0 < Я < 1;
Т (2)
Ч9(г) = V о < г </2•
Для нижнего ограничителя соотношения (2), соответственно, меняются
и^о) = -Акд'; Щк^о - о) = -Яи^то + о) > о, о < Я < 1;
Т (3)
Щкд(г)> -Ак?, /2 < г < Т.
Здесь и далее нижняя индексация по переменной t означает дифференцирование. Входящие сюда четвертыми неравенства запрещают узлам решетки оказываться "за ограничителями" и накладывают на систему неудерживающие связи, ограничивая конфигурационное пространство системы; Я — коэффициент восстановления.
5. Пусть силы диссипации, вынуждающие силы, а также любые другие неконсервативные силы, действующие в решетке на каждое из массивных точечных тел, малы. Обозначив их ей^, иу, иу, ...), где многоточие обозначает прочие не учитываемые сейчас переменные, а е — малый параметр, модель систе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.