536.51, 536.511
Моделирование акустического резонанса в сферических резонаторах для прецизионного определения термодинамической температуры
В. Г. КЫ1ТИН1- 2, Г. А. кытин1
1 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия,
2 Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических измерений, Менделеево, Россия, e-mail: cryom@vniiftri.ru
Разработана методика моделирования линий акустического резонанса в сферических резонаторах, заполненных инертным газом. Методика основана на расчете амплитуды и фазы вынужденных колебаний газа в сферической полости. Рассчитаны теоретические резонансные линии при разных давлениях и температурах газа и проанализировано влияние акустических преобразователей и отверстий в оболочке резонатора на резонансные линии. Проведено сравнение рассчитанных частотных зависимостей акустического сигнала с зависимостями, измеренными на экспериментальном образце сферического резонатора, заполненного газообразным гелием.
Ключевые слова: эталоны температуры, акустический газовый термометр, акустический резонанс.
A procedure of precise modeling of acoustic resonance in spherical resonators filled with inert gas based on calculation of amplitude and phase of forced gas oscillations in spherical cavity was developed. The theoretical calculation of resonance lines was carried out for different gas pressures and temperatures. The influence of acoustic transducers and holes in resonator walls was theoretically analyzed. The calculated frequency dependencies of acoustic signals were compared with the dependencies measured on experimental spherical resonator filled with gaseous helium.
Key words: temperature standards, acoustic gas thermometer, acoustic resonance.
В настоящее время акустический метод измерений температуры является основным для первичной термометрии эталонного уровня точности в диапазоне температур 4,2—1350 К [1—3]. Его используют для высокоточного определения константы Больцмана при подготовке к переходу на новое определение единицы температуры — кельвина. Метод основан на измерении скорости звука и0 в инертных газах, которая связана с термодинамической температурой Т соотношением:
и2 = УНТ + в Р + и0 -~м-+ РаНт +
где у = Ср /Су — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении Ср и постоянном объеме Су; Я — универсальная газовая постоянная; М — молярная масса газа; р — давление газа; Ра — второй акустический вириальный коэффициент.
Для прецизионного измерения скорости звука применяют резонансный метод, в котором эту скорость определяют по частоте резонансных мод. Наибольшая добротность акустического резонанса реализована в сферических акустических резонаторах. Для определения скорости звука анализируют радиальные моды сферического резонатора, для которых добротность значительно выше добротности других мод из-за отсутствия потерь на вязкое трение вблизи стенок резонатора. Для таких мод резонансная частота в идеальном газе ^ связана со скоростью звука соотношением
2пГаа/и0 = х0т
где а — радиус резонатора; х0п — корень уравнения у 0 (Хоп) = 0
для моды (0, п), где у0(х) — сферическая функция Бесселя 0-го порядка.
Для определения резонансной частоты, линии акустического резонанса аппроксимируют линейной комбинацией
одной или нескольких комплексных лоренцевых функций и полинома степени не выше двух [2]:
)=f
' 'a Fa = fa +
(2)
где — частота; А — комплексный коэффициент; да — полуширина резонансного максимума; где i — мнимая единица.
Обоснование формы резонансной линии на основе волнового уравнения представлено в [4], но там не отмечено, что акустические колебания описываются системой как минимум шести линеаризованных уравнений [5], и не полностью учтено влияние граничных условий. Однако возбуждение колебаний происходит на стенках полости резонатора с вмонтированными микрофонами, т. е. именно из-за периодически изменяющихся во времени граничных условий, поэтому их правильная оценка очень важна. Кроме этого, основные энергетические потери, приводящие к уширению резонансных линий, связаны с теплообменом и вязким трением вблизи стенок резонатора, следовательно форма линий акустического резонанса может отличаться от (1). Для учета влияния граничных условий использовали модифицированные функции, в которых в явном виде учтена зависимость полуширины линии от частоты, например [6]:
^ = га + д (га / г )1/2.
Такая функция точнее аппроксимирует экспериментальные резонансные линии [6]. Теоретическую проверку (2) и других модификаций не выполняли, из-за чего вопрос о точности определения резонансной частоты и, соответственно, температуры остается открытым.
Цель работы — моделирование линий акустического резонанса на основе решения системы уравнений линейной акустики в сферическом резонаторе с металлическими стен-
ками и сопоставление результатов моделирования с резонансными линиями, измеренными на экспериментальном образце резонатора, изготовленном во ВНИИФТРИ. Расчеты и сравнение с экспериментом проводили для участков амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), на которые существенное влияние оказывают как радиальные, так и нерадиальные моды. Работа выполнена в рамках разработки акустического газового термометра для совершенствования государственного первичного эталона единицы температуры ГЭТ 35—2010.
Методика моделирования линий акустического резонанса. Гармонические решения системы уравнений линейной акустики для сферических резонаторов могут быть трех типов [5]: волнового, температурного и сдвигового.
Решения волнового типа для сферического резонатора имеют вид:
Р^ = ¡1К г)ут (6, ф);
1 +<.+ 1 (у- 1) ^ "0 "0
7-1 ау
i Юк. "о )
р'м;
,Г_1
д^ р',
v \'®ро ро"о )
где ру — акустическое давление; ¡1 — сферическая функция Бесселя; У1т — сферическая гармоника; г, 6, ф — сферические координаты; ю — циклическая частота; Ту — амплитуда
колебаний температуры газа; р0 — плотность газа; vv — амплитуда скорости смещения элемента объема газа при акустических колебаниях;
IV = (п + 4,3ц)/(ро^о); IЛ = X / (роС/"о),
П, ц — объемная и сдвиговая вязкости газа, соответственно; X — теплопроводность газа; Л = 0,8...1,0 — численный коэффициент, определяемый в рамках кинетической теории.
Решения температурного типа можно записать аналогично
ТЬ = ¡1 (к„ г(6, ф);
к1 - -^ 1(1ьио);
рь - ^('ь-1V)ть; ог'ь
р0"0
gradtь,
где — акустическое давление; Т Л — амплитуда колебаний температуры газа; vh — скорость смещения элемента объема газа при акустических колебаниях. Значение а определяется из выражения
а =
др
дт V
Решения сдвигового типа не вносят вклад в акустическое давление и колебания температуры, но влияют на амплитуду скорости смещения элемента объема газа vt, определяемую выражениями:
^ =
кхг
[г(/(/+1))1/2¡1(к1г)У1т(6, ф)+д1 (V)ег хХы(6, ф)];
91 (к г) = ¡1 (к г) + к гу' (к г);
к2 = - ¡юр0/ ц;
х (6 ф) = г х^у1т(6, ф) Хт (6, ф) = 1(/(1 +1))1/2 ■
где ег — единичный вектор в сферической системе координат.
Каждый тип решений удовлетворяет системе уравнений линейной акустики. Несмотря на то, что решения температурного и сдвигового типов быстро затухают при удалении от стенок резонатора, их учет необходим для выполнения граничных условий. При расчетах учитывали тепловые колебания в оболочке вблизи стенок резонатора, амплитуду которых при их быстром затухании вглубь оболочки записывали в виде
^ = (1-I) (як^г )-1/2(-/)' ;
кзЛ =[(1 +1 ^ ](юС5Лр5^х зЛ )1/
(3)
где рзЛ, — теплоемкость, плотность и теплопроводность материала оболочки резонатора, соответственно.
Стационарное решение для амплитуды вынужденных колебаний газа представлено в виде линейной комбинации решений волнового и температурного типа для акустического давления и амплитуды колебаний температуры, а также волнового, температурного и сдвигового типов — для амплитуды компонент скорости смещения единицы объема газа. Амплитуда колебаний температуры оболочки представлена линейной комбинацией функций типа (3), умноженных на сферические функции У1т (6, ф).
Для нахождения коэффициентов разложения в линейную комбинацию использовали следующие граничные условия.
1. Равенство нулю касательных компонент амплитуды скорости смещения элемента объема газа на стенках резонатора, т. е.
v 6 |г=а = а v ф| =
1г-а Лг=а
2. Непрерывность потока теплоты от газа к стенкам резонатора:
д (( +Тл
Иг
= Х
дТз
эЛ
эЛ
дг
3. Скачок амплитуды колебаний температуры газа в так называемом аккумулирущем слое [5]:
(г:+ть)
=
{тпи + ГЬ ) дг 1а;
1а =рр (пМГ/ 2R)
1/2 (2 - Л)/Л ' Су/Я +1/2.
Считалось, что Л = 1,0.
4. Равенство нулю радиальной компоненты скорости смещения элемента объема на стенках резонатора, за исключением мембран акустических преобразователей — конденсаторных микрофонов и отверстий для ввода и вывода газа.
Связь между амплитудой скорости смещения элемента объема газа и акустическим давлением для мембран микрофонов была получена с учетом чувствительности микрофонов в предположении равенства средних и локальных соотношений на мембране и имеет вид:
К+уЬг+^ )| пр -- «Р И (р1+рь )| пр;
(Vvr + vhr + vtr )|и =- i™ß (m)
eoS CoUo
-Ph
- iß (m) % U, S
где е0 — электрическая постоянная; S — площадь мембраны; С0 — емкость микрофонов; и0 — напряжение поляризации микрофонов; и — амплитуда напряжения, подаваемого на микрофон-излучатель. В этих выражениях использованы индексы «пр» для микрофона-приемника и «и» для микрофона-излучателя, соответственно.
5. Выражения для связи между амплитудами радиальной компоненты скорости смещения элемента объема газа для входного и выходного отверстий получили на основе выражений для относительного акустического аддмиттанса отверстий Ро [2]:
/ hr^vtr
) o =
ßO (PV + Ph )
p0U0
ß = ßH + itg(ko1o) ßo 1 + ß tg(ko/o)
ßM = -
ko =
u0
m | ± ( и 3п luo ) 2 luo
1 + (1 - i)(Y-1)Sth +Sv );
2ro
Sth = (VnPoCPf )1/2;
Sv = (ц/npo f)
1/2
гДе rc lo
радиус и длина отверстия, соответственно; Ри — излучательный аддмиттанс отверстий.
Подстановка линейных комбинаций гармонических решений в граничные условия, умножение на сферическую гармонику У1т и интегри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.