научная статья по теме МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ГЛАЗА ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ВНУТРИГЛАЗНОГО ДАВЛЕНИЯ ОПТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Математика

Текст научной статьи на тему «МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ГЛАЗА ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ВНУТРИГЛАЗНОГО ДАВЛЕНИЯ ОПТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 2, с. 349-362

удк 519.634

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ГЛАЗА ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ВНУТРИГЛАЗНОГО ДАВЛЕНИЯ ОПТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

© 2011 г. Р. Р. Хусаинов*, В. Р. Цибульский*, В. Л. Якушев**

(*625026 Тюмень, ул. Малыгина, 86, ИПОС СО РАН;

**123056Москва, ул. 2-я Брестская, 19/18, ИАПРАН) e-mail: yakushev@icad.org.ru Поступила в редакцию 06.09.2010 г.

Численно моделируется процесс измерения внутриглазного давления оптическим анализатором. Роговица и склера рассматриваются как осесимметрично деформируемые оболочки вращения с жестким закреплением по краям, пространство между которыми заполнено несжимаемой жидкостью. Для описания напряженно-деформируемого состояния роговицы и склеры используется нелинейная теория оболочек. Расчет оптической системы проводится на основе представлений геометрической оптики. Получены зависимости между давлением в струе воздуха и площадью поверхности, с которой отраженный свет попадает в фотоприемник. Найдены формы областей на поверхности роговицы, от которых отраженный свет попадает в фотоприемник. Вначале свет отражается от центра роговицы, но затем по мере углубления он отражается уже только от периферии. Результаты расчетов позволят более правильно интерпретировать данные измерений. Библ. 11. Фиг. 12.

Ключевые слова: внутриглазное давление, роговица, склера, оптический анализатор, теория оболочек, нелинейная теория.

1. ВВЕДЕНИЕ

Сейчас все больше начинают привлекаться методы математического моделирования для медицинских исследований (см., например, [1], [2]). Одной из областей их успешного применения представляется создание механических моделей глаза на основе механики сплошной среды. Внутриглазное давление является одной из важных характеристик человеческого глаза. Отклонение его от нормы является причиной снижения зрения у значительного числа пациентов. Поэтому совершенствование и разработка новых методов его измерения является важным направлением исследований в офтальмологии.

Внутриглазное давление выполняет важные физиологические функции: расправляет все внутриглазные оболочки, придает ту форму глазному яблоку, которая необходима для функционирования оптической системы глаза.

По уровню глазного давления можно судить о развитии патологических процессов, например глаукомы или помутнении водянистой влаги и стекловидного тела. Внутриглазная жидкость — источник питания для внутренних структур глаза. Она обеспечивает обменные процессы между ними и его тканевыми структурами.

Тонометрия глаза — измерение внутриглазного давления, т.е. определение способности глазного яблока к деформации под действием внешнего механического воздействия, которое может оказываться как на роговицу, так и на склеру специальными приборами. Существуют пальцевая, импрессионная и аппланационная тонометрии. В одном из вариантов последней на центр роговицы направляют струю воздуха (пневмотонометрия), а о перемещении роговицы судят по отраженному пучку света (оптический метод). По величине перемещения рассчитывают глазное давление.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для объективного измерения внутриглазного давления применяют специальные устройства. В данной работе проведено численное моделирование деформации глаза при измерении давле-

г

Фиг. 1.

ния прибором ORA (Ocular Response Analyzer), разработанным американской фирмой "Reichert" (см. [3]). Процедура измерения заключается в следующем.

Пациент плотно прижимается лбом к прибору. На центр роговицы, которая изображена на фиг. 1 в координатах x, y, z в виде сегмента сферической поверхности, с помощью специальной позиционирующей системы направляется узкий луч света под определенным углом. Точечный источник света расположен в точке О. Свет проходит через диафрагму А, в результате чего обрезается часть светового потока, а на роговице появляется освещенная область S. Фотоприемник находится в B, его ось проходит через центр роговицы. Так как фотоприемник имеет ограниченные размеры, в него попадает только часть светового потока, отраженного от роговицы в области Q. Затем в центр роговицы направляется струя воздуха, давление в которой возрастает от нуля до некоторого значения. Роговица деформируется, и отраженный световой поток меняется в зависимости от ее формы. В результате измерений на экране прибора появляется кривая: зависимость отраженного светового потока от давления в струе. На основании многочисленных опытов, в которых проводилось сравнение результатов, даваемых ORA, с другими методами измерения внутриглазного давления, был разработан метод интерпретации результатов ORA для получения значения внутриглазного давления. Особенностью прибора является цифровая обработка сигналов и, как следствие, более точные значения внутриглазного давления.

Однако такая методика интерпретации результатов измерений не позволяет раскрыть полностью возможности прибора. Математическое моделирование процесса измерения дает возможность обосновать методы обработки результатов измерений и более точно судить о внутриглазном давлении.

Значительным осложнением, возникающим при интерпретации результатов измерений, является отсутствие фундаментальных знаний о биомеханических свойствах роговой оболочки глаза. На сегодняшний день не существует общепринятых методов прижизненного определения этих свойств. Поэтому в литературе часто используются упрощенные механические модели глаза, которые позволяют делать лишь качественные выводы. Схема человеческого глаза с точки зрения механики описана в [4], [5]. Оболочка глазного яблока состоит из двух частей — склеры и роговицы, механические свойства которых существенно различаются. Склера и роговица разделены между собой тонкой мембраной. Передняя камера между роговицей и мембраной заполнена водянистой влагой, задняя камера — стекловидным телом.

При расчетах считаем, что глазное яблоко заполнено несжимаемой жидкостью. Влиянием промежуточной мембраны пренебрегаем. Роговицу и склеру рассматриваем как оболочки вра-

А

Внешнее давление

Жестокое —-ление

Фиг. 2.

щения, нагруженные равномерным внутренним давлением р (фиг. 2) и имеющие жесткое закрепление в точках их сопряжения.

В центре роговицы прикладывается равномерное внешнее давление ре по кругу с радиусом гр, которое возрастает от нуля до некоторого значения. В виду жесткого закрепления оболочек в месте их сопряжения их взаимное влияние возникает из-за того, что при увеличении внешнего давления в струе воздуха роговица деформируется и часть внутриглазной жидкости перетекает в склеру, распирая ее, при этом внутриглазное давление повышается. Его значение находится из условия неизменности внутреннего объема глаза.

Предполагаем, что роговица и склера имеют осесимметричные формы относительно вертикальной оси г, а давление воздуха в центре распределено также осесимметрично относительно этой оси. Таким образом, для расчета деформаций обоих оболочек имеем осесимметричную задачу, и можно рассматривать только сечение оболочки при у = 0. Координаты х, у, отнесенные к этому сечению будем обозначать большими буквами X, У. Поверхность оболочки может быть получена в результате вращения плоской кривой X = X (50), 2 = 2 (50) относительно оси г, где 50 — длина дуги кривой вдоль поверхности роговицы, отсчитываемая от ее центра (см. фиг. 3). Угол наклона между касательной к поверхности и осью х равен ф($0). Значения X (5 0), 2 (50) и ф($0) получаются из решения задачи о совместном деформировании роговицы и склеры. Такие задачи рассмотрены в [6]—[10], алгоритмы их решения описаны в [10]. Роговица и склера рассматриваются как упругие оболочки, деформации которых описываются геометрически нелинейной теорией при конечных перемещениях и углах поворота.

Здесь мы приведем только основные уравнения для теории оболочек вращения под действием осесимметричной нагрузки. Эти уравнения одинаковы для роговицы и склеры, отличаться будут лишь геометрические и механические параметры. Поэтому здесь уравнения приводятся в общем виде.

В системе координат X, 2 рассмотрим (см. [10]) осесимметрично нагруженную оболочку вращения толщины к (фиг. 3). Координаты срединной поверхности X, 2, угол наклона ф между касательной к срединной поверхности и осью, радиусы кривизны в меридиональном г и в окружном г2 направлениях являются известными функциями длины дуги срединной линии 5. Соответствующие величины в недеформированном состоянии отмечаются индексом "ноль", например,

3. нелинейные уравнения теории оболочек вращения

1 1 1

1

г 1 1 1 1 1

\г0 У^-*, в

dsп ДВп /У /У

/ / А

) Фп / у

Ап

X

Хп

X

Фиг. 3.

длина дуги в начальном состоянии обозначается как л0. Нормаль к срединной поверхности направим так, чтобы касательная и нормаль составляли правую систему координат (см. [10]).

Деформации на расстоянии ^ по нормали к срединной поверхности вдоль меридиана и в окружном направлении б 0 на основании гипотез Кирхгофа—Лява определены в виде

6 ф = б! - С К 60 = 6 2 - С к2,

Е1 = А - 1, кх = I - £2 = X - 1, к2 = 51П Ф- *П ф0 . йл0 Г1 г10 х0 х0

(3.1)

(3.2)

Координаты срединной поверхности в деформированном состоянии определяются уравнениями

^ = к1 + ±

г10

аХ = (1 + б1)ео8 ф, — = (1 + е1 ф.

(3.3)

Кроме того, должны выполняться условия совместимости деформаций:

й г

- _ — [(1 + б1 )ео8ф - (1 + г2)ео8ф0],

X<

йк2 _ 1 Х0

йф0 + к1 I ео8 ф - I йф0 + к2 I ео8 ф0

(3.4)

Уравнения равновесия в случае немалых смещений и углов поворота записываются для деформированного состояния следующим образом:

^+(1+=1)

N 8Ш ф + 0, ео8 ф

X

+ N

к1 + йФ0

+ р, = 0,

0 /

N + ( + =1)^ ео8 ф-о, (к1 +

+ Г, = 0,

(3.5)

йМ, М, - М9

-- + (1 + 81)—^-ео8 ф- 0, = 0,

X

где — поперечная сила, и N — нормальные силы, Мф и М0 — изгибающие моменты, рф и

' ф -

'V -

р, — соответственно касательная и нормальная к срединной поверхности составляющие внешней распределенной нагрузки.

п

Решение задачи будем вести на основе метода дополнительной вязкости (см. [10]). Простейшей моделью ползучести, позволяющей смоделировать непрерывный процесс перехода от до-критического к зак

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком