МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2012, том 41, № 3, с. 225-232
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИБОРОВ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МИКРО- И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
УДК 621.382
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ВОЛНЫ В ПОЛЕ ДВУХ КУЛОНОВСКИХ ЦЕНТРОВ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ © 2012 г. К. С. Аракелов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова E-mail: karakelov@mail.ru Поступила в редакцию 30.03.2011 г.
Предложен и обоснован траекторный алгоритм моделирования квантовой динамики в квазиклассическом приближении, основанный на расчете индексов траекторий. Индекс представляет собой суммарную информацию о критических точках, расположенных на траектории. В численном эксперименте рассчитана дифракционная картина на плоском экране в квазиклассическом приближении при рассеянии материальной волны в поле двух неподвижных кулоновских центров. Приведено качественное обоснование полученных результатов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование дифракции материальной волны в поле нескольких силовых центров представляет интерес сразу для нескольких типов задач. Во-первых, это удобный способ тестирования алгоритмов моделирования квантовой динамики. Во-вторых, такие исследования помогают изучать разнообразные квантовые интерференционные эффекты, как, например, формирование проводящих состояний при многоцентровом рассеянии [1, 2]. Моделирование дифракции на экране представляет определенную ценность и само по себе, так как корректное определение дифракции с точки зрения квантовой механики предполагает решение нестационарного уравнения Шредингера для всей области пространства и для всего времени наблюдения, что требует значительных вычислительных ресурсов. В настоящей работе рассмотрена квантово-механическая задача дифракции плоской материальной волны в поле двух неподвижных кулоновских центров в квазиклассическом приближении в двумерном случае. Под дифракцией в работе понимается отклонение от чисто классического поведения. В настоящее время для моделирования квантовой динамики в квазиклассическом пределе достаточно широко используется алгоритм IVR (Initial Value Representation)^, 4]. Этот алгоритм выгодно отличается от других последовательным учетом квантовой интерференции. Алгоритм IVR является траектор-ным алгоритмом. Это значит, что волновая функция моделируется ансамблем частиц, распределенных в импульсном и координатном пространствах. Траектории частиц ансамбля считаются классическими. Алгоритм IVR протестирован на ряде типовых задач. Однако, этот алгоритм весьма затратен с точки зрения компьютер-
ных ресурсов, так как в процессе вычислений приходится накапливать подробные детали траекторий в компьютерной памяти, а затем проводить интегрирование быстроосциллирующих функций по большим областям конфигурационного пространства. В работах [5, 6] был предложен другой механизм расчета интерференционных эффектов, основанный на группировке ансамбля частиц, моделирующего конечное квантовое состояние. В этих работах предлагались правила такой группировки, основанные на величинах классического действия каждой частицы ансамбля, при этом детали отдельных классических траекторий во внимание не принимались. Такой подход показал себя адекватным при исследовании квазиклассического рассеяния на простых центральных потенциалах типа Леннарда-Джонса. Но уже при рассеянии на парных нецентральных потенциалах такой подход недостаточен, так как в этом случае траектория отдельной частицы может быть весьма сложной, и содержать множество критических точек. Критическая точка является существенной характеристикой отдельной траектории. Такие точки чаще всего соответствуют классическим точкам поворота, хотя это могут быть фокальные точки и другие точки достижения каустики. В настоящей работе предложен новый метод группировки ансамбля частиц в конечном состоянии. Он основан на вычисления "кода" (или индекса) отдельной траектории. Идея присвоения траектории уникального кода высказалась в книге [7]. В нашей работе этот индекс соответствует суммарной информации обо всех критических точках на данной траектории. Дифракционная картина рассчитывалась на плоском экране, параллельном фронту падающей волны. До сих пор задача дифракции на плоском экране чаще всего рассмат-
ривалась теоретически для простейшего случая дифракции гауссовского волнового пакета на двухщелевом экране [8, 9]. При этом использовалась передаточная функция щели. Методом ГУЯ также производились численные расчеты дифференциальных сечений рассеяния при рассеянии волнового пакета на сложном потенциале двухще-левого типа [3]. В качестве потенциала рассеяния авторорм был выбран суммарный потенциал двух силовых кулоновских центров. Эта задача допускает полное разделение переменных в эллиптических координатах для 2Э-случая. Константа разделения является дополнительным интегралом
Здесь ¥(г, г)* — комплексно-сопряженная ВФ. Второе уравнение из (1) возникает из-за непрерывности плотности потока вероятности. Вероятность того, что частица пересечет элемент поверхности dS во временном интервале между моментами времени ? и ? + & равна: Р = .1(г, г^йг. Тем самым полное количество частиц, пересекших элемент граничной поверхности dS за время эксперимента Травно:
т
I г) = £(г, г)йг. (2)
0
Здесь Ж] — количество достижений критических точек траекторией; q1, q2 — начальная и конечная точка траектории; S(q1, д2, г) — классическое действие, рассчитанное вдоль этой траектории; А — так называемая матрица монодромии (см., например, [10]). Критическая точка определяется тем, что в ней величина \&е1А^ъ q2, г) расходится. Заметим, что фор-
Здесь сумма берется по всем у, таким что q(q(, р/, г) = q2, то есть по всем группам траекторий
движения задачи. Благодаря этим особенностям удается качественно обосновать корректность полученных результатов.
2. ДИФРАКЦИЯ НА ПЛОСКОМ ЭКРАНЕ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
ДЛЯ ЗАДАЧ КВАНТОВОГО РАССЕЯНИЯ
Если система описывается волновой функцией (ВФ) ¥(г, г), то плотность квантового потока вероятности можно записать в виде:
(1)
Квантовые интерференционные эффекты рассчитываются в рамках общей теории квазиклассической эволюции квантовых систем [3, 7, 10]. Согласно этой теории квазиклассическая волновая функция для нестационарного уравнения Шредингера (УШ) запишется в виде:
q2,0= q2, ОуЫй^.
Здесь функция К^, q2, г) является пропагатором соответствующего нестационарного УШ. Для нее справедлива формула, выводимая из представления Фейнмана для оператора эволюции (пропагатора) нестационарного УШ (рассматривается 2Э-случай):
дq2, г) (3)
мула (3) наиболее просто выводится исходя из самых общих свойств оператора эволюции квантовой системы — унитарности и полноты:
К(х, у, г)Кх, г^х = 8(у - У')
[10]. Окончательное выражение для волновой функции примет вид:
(4)
ансамбля частиц (моделирующего начальное квантовое состояние), достигающим фиксиро-
,1(г, г) = п ы [(г, г)*у г¥(г, г)], + у г J(Г, г) = 0.
qъ ?2 - г/) = (2/пп) ^^^^А^Т^^Тг^?/) х ехр- [/, q2, ?2 - г/) + п/2 Ж]] А(^, q2, г) =
г) = (2шг|Г1/2Хй,1У^/ х ехр 1- [s(q2, q/, г) + п/ 2 N ].
ванной конечной точки Тем самым, в соответствии с [11], утверждается, что фазовое пространство, соответствующее начальному состоянию ансамбля, разделяется на отдельные области, дающие вклад в одно и то же конечное состояние. Квантовые интерференционные эффекты возникают именно из-за суммы в (4). Квадрат модуля волновой функции будет содержать сомножители
вида ¥ 1 ¥ * ехр
Именно формула (4)
1 Б - Б)
лежат в основе метода ГУЯ. При этом интегрирование в (4) выполняется явно, что требует существенных вычислительных ресурсов.
3. ОСОБЕННОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ДВУХ КУЛОНОВСКИХ ЦЕНТРОВ
Классическая динамика частицы в поле двух кулоновских центров в 2Э-случае характерна тем, что в этом случае возможно полное разделение переменных в уравнениях движения в эллиптических координатах. Пи этом можно получить оценки для определителя матрицы монодромии в выражении (3). Потенциал взаимодействия для силовых центров, расположенных на оси х в точках ±а, записывается в виде:
и(х, у) = — + —; г1 = ^(х - а)2 + у2; г2 = 4(х + а)2 + у2.
'1 '2
Здесь К12 >0 — силовые постоянные. Эллиптические координаты вводятся соотношениями:
\ = 1('1 + Гг); п = 1('1 - г2) х = у = 2 - а2)(а2 -^2).
2 2 а а
В результате уравнение для усеченного действия Б(2,, п) примет вид:
$2 - а2 п) Г + а2 -п2 [дБ& п) Г + (К1 + К2% + (К2 - К_
$2-п21 ) -п21 дп ) $2-п2
2 2
= Е.
(5)
(6)
(7)
Здесь Е — полная энергия системы. Видим, что уравнение для усеченного действия полностью разделяется. Тем самым справедливы формулы:
Б(Ъ п) = Б^ + ЭД, Р(^, П) = Р^) + Рп(П).
(8)
Здесь р(^, п) — импульс частицы в точке п; р (£) = —— импульс вдоль координаты
(^2 - а2)р2 + (—1 + К2)^ - Е^2 = -Л, (а2 -п2)рП + (—2 - К1)п + Еп2 = Л.
(9)
Рп(п) = ^ оц
— импульс вдоль координаты п. Вво-
дя константу разделения Л, которая наряду с полной энергией системы является интегралом движения, получим следующие выражения
В (9) предполагается, что Л >0. В дальнейшем в статье рассматривается случай, когда К1 = К2. Так как полная энергия системы Е больше нуля, то знаки у Л нужно выбирать именно указанным способом. Выражение для матрицы монодромии примет вид:
А(& П, 0 =
Здесь матричные элементы имеют следующий смысл: это производные имульса в конечном состоянии по начальной координате. Матричные элементы можно оценить при начальных условиях следующего вида: у(? = 0) = у0 ^ да;
р ($ = 0) = р0, рх(1 = 0) = 0. Из уравнений (9) вид-
м 0
д^
0 др{
дп
(10)
но, что имульсы зависят от начальных координат только через величину Л. Поэтому можно записать: = дЛ. Аналогичное уравнение страду' дЛ
ведливо и для п. Тем самым, чтобы определить де-
и 10-,
8-6_
42 -
0 1.0
-1.0 -1.0
Рис. 1. Суммарный потенциал двух кулоновских центров (формула (5)): К = К2 = 0.05, а = 0.3.
,х0 = 0.191, Р0 = -0.97
■ х0 = 0.191, Ро = -0.99 х0 = 0.191, Р0 = -0.992 х0 = 0.1, р0 = -0.992 - х0 = 0.261, Р0 = -0.992
2.0 1.5 1.0 0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 2. Типичные траектории движения в потенциале, изображенном на рис. 1. Приведены начальные знач
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.