научная статья по теме МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ С ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ РЕАКЦИЯМИ Химия

Текст научной статьи на тему «МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ С ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ РЕАКЦИЯМИ»

РЕАКЦИОННАЯ СПОСОБНОСТЬ, КИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ, КАТАЛИЗ

536.46

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ С ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ РЕАКЦИЯМИ

© 2007 г. Е. В. Дешн, Б. Л. Корсунский, Н. Г. Самойленко

Институт проблем химической физики Российской академии наук, Черноголовка

Поступила в редакцию 30.01.2007

Проведено моделирование динамики реактора идеального смешения, в котором протекают две параллельные экзотермические реакции первого порядка. Построены фазовые портреты системы, продемонстрирована возможность реализации колебательных режимов и проанализирована устойчивость стационарных состояний. Установлена возможность двух механизмов гибели предельного цикла - мягкого и жесткого.

ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2007, том 26, № 9, с. 19-24

УДК

Для проточных реакторов идеального смешения характерно сложное динамическое поведение, заключающееся в появлении колебательных режимов, математическим образом которых являются устойчивые предельные циклы [1, 2]. В случае изотермических реакторов периодические режимы обусловлены нелинейной зависимостью скорости реакции от концентрации. Если же реакция экзотермическая и температура в реакторе по ходу ее протекания меняется, такие режимы могут возникнуть вследствие нелинейной зависимости скорости реакции от температуры. Для экзотермических реакций п-го порядка сложное динамическое поведение реактора идеального смешения проанализировано в работе [3]. Вопрос о том, что происходит в случае кинетически более сложных процессов, во многом остается открытым. В настоящей работе мы анализируем динамическое поведение проточного реактора идеального смешения, в котором протекают экзотермические параллельные реакции. Подобного рода системы практически не изучены. Лишь в [4] рассмотрен реактор идеального смешения, в котором параллельно протекают экзо- и эндотермическая реакции первого порядка. Авторами установлена возможность реализации автоколебательных режимов в таком реакторе, для реализации которых необходимо, чтобы время пребывания вещества в реакторе превышало некоторое критическое значение.

МОДЕЛЬ

Рассмотрим реактор с объемом V, в который с объемной скоростью ю поступает исходный реагент А. Температура и концентрация его соответственно равны Т0 и [А]0. В реакторе вещество А превращается в конечные продукты В и С по двум параллельным экзотермическим реакциям

первого порядка с константами скорости к^ = = к^ех^-Е^Т и тепловыми эффектами Qi ( = 1 и 2 для В и С соответственно). Теплообмен реактора с окружающей средой происходит по закону Ньютона.

Скорость расходования реагента А описывается уравнением

7А = - (к1+ к2)[А] + Ю([А]о - [А]).

Уравнение теплового баланса имеет вид

2

СР 7Т = X [А ]-у( Т - Тс) + ср Ю( То-Т).

i = 1

Здесь с - удельная теплоемкость, р - плотность, а - коэффициент теплоотдачи, Тс - температура окружающей среды, Т - температура в реакторе, - поверхность теплоотдачи.

Первый член в правой части уравнения теплового баланса определяет тепловыделение за счет протекания химических реакций, второй - теплообмен реактора с окружающей средой и третий -нагрев вещества, поступающего в реактор.

Для удобства анализа перейдем к безразмерным переменным, введя следующие обозначения: глубину превращения п = ([А]0 - [А])/[А]0 и безразмерную температуру 0 = Е1(Т - Т*)/ЛТ* , где масштабная температура определяется выражением

Т* = (с р Ю- Т о + а V Тс)( с Р £ + 4)"1.

19

2*

40

20

~ \

- ,1 у

-------- 1 | ----—

0.2

0.4

0.6

0.8 П

Рис. 1. Тепловая и концентрационная изоклины на фазовой плоскости и динамика реактора при у-»- 0.

Вводя безразмерные переменные в приведенную выше систему уравнений, получим

0 йп

& " йТ = I £ХР1

0

в0 КеХР1 "Р(п, 0),

£0

п

ре/ 1- п> -5^"

1 й т

д ехр

1 + р0

(1 - д) К ехр

£0

1 +

(1)

(1-п) -

где

в =

ЯТ*

Е1

£ = —, д

Я1

Ба =

Я1+ 6

Л01 ехр (-Ех/ ЯТ*)

, т = ¿ко1ехр (-

Е

ЯТ-

ср

У = —-

ю/ V

ят2 1

8е =

Я1 + Я2 Е1 [А]о' (6 + Я 2) Е1 ко 1 ехр ( - Е1/ ЯТ* ) [ А ]о ( с р ю/ V + оУ V) Я Т* '

ко2ехр (- Е2/Я^)

К=

ко1 ехр (- Е1/ Я^ )'

Здесь Ба - критерий Дамкелера, характеризующий среднее время пребывания вещества в реакторе; Se - аналог критерия Семенова в теории теплового взрыва [5].

Все решения системы уравнений (1) располагаются в положительном квадранте фазовой

плоскости (п, 0). Стационарные состояния реактора определяются как точки пересечения концентрационной изоклины Р(п, 0) = 0 и тепловой изоклины С(п, 0) = 0. В зависимости от значений параметров число стационарных состояний может достигать трех. Типичный вид изоклин представлен на рис. 1. Тепловая изоклина по своей конфигурации напоминает соответствующую изоклину для простой реакции первого порядка [3].

Динамическое поведение реактора вблизи стационарного состояния определяется в первую очередь характером устойчивости этого состояния [6], которая в свою очередь зависит от корней характеристического уравнения системы (1):

где

а

а^ + А = о,

= ЭР+1 и А = 1 (дРд^ - дРд^|

Эп уЭ0 у\ЭпЭ0 Э0Эп/

При а < 0 состояния устойчивы, а при а > 0 -неустойчивы. В нашем случае 5Р/5п < 0, поэтому неустойчивые стационарные состояния возможны лишь при 5G/50 > 0. На рис. 1 для ветви, расположенной между точками 1 и 2, выполняется соотношение йп/й0 < 0. Отсюда следует 5G/50 > 0 (см., например, [3]). Таким образом, неустойчивые стационарные состояния могут располагаться только на промежуточной ветви тепловой изоклины, т.е. между точками 1 и 2.

Таким образом, переход через границу а = 0 приводит к изменению устойчивости стационарного состояния и, соответственно , к смен е дин а-мики процесса. Возможны два сценария смены механизма устойчивости [6], причем тип сценария зависит от величины третьего коэффициента Ляпунова - €3. Дальнейшие рассуждения проведем для случая, когда стационарное состояние единственно и расположено на промежуточной ветви тепловой изоклины. Поскольку параметр у не влияет на положение стационарных состояний, а влияет только на их устойчивость, удобно исследовать эволюцию предельного цикла, меняя этот параметр.

Первый сценарий. Если €3 < 0, то при переходе через границу а = 0 (от положительных значений а к отрицательным) существующий устойчивый предельный цикл "садится" на стационарное состояние, которое становится устойчивым. Происходит "мягкая" гибель автоколебаний.

Второй сценарий. При £3 > 0 стационарное состояние меняет свою устойчивость, порождая неустойчивый предельный цикл. Последний при росте у сливается с устойчивым предельным циклом, образуя полуустойчивый цикл, который затем исчезает. Происходит "жесткая" гибель автоколебаний.

0

Для системы уравнений (1) возможны оба сценария. Ниже будет показано, что для этой системы при у = 0 всегда существует устойчивый предельный цикл.

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕАКТОРА

Поскольку динамическое поведение реактора идеального смешения существенно зависит от параметра у, проанализируем два предельных случая.

В первом случае, когда у = 0, т.е. параллельные реакции имеют достаточно большие тепловые эффекты, система из любого начального состояния скачком переходит, например, на верхнюю ветвь тепловой изоклины без изменения концентрации реагентов. Точка, изображающая поведение системы на фазовой плоскости (см. рис. 1), перемещается по этой ветви до тех пор, пока температура в реакторе не достигнет значения, соответствующего точке 1 на рисунке. Процесс в реакторе развивается квазистационарно в том смысле, что С(п, 0) = 0. Далее изображающая точка скачком переходит на нижнюю ветвь изоклины, перемещается по этой ветви, достигнув температуры, соответствующей точке 2, и переходит вновь на верхнюю ветвь. Процесс повторяется. На фазовой плоскости появляется замкнутая траектория, соответствующая устойчивому предельному циклу. В системе устанавливается режим автоколебаний. Упомянутый выше скачок происходит потому, что изображающая точка, попав в точку 1, дальше двигаться по изоклине не может, так как оказывается на неустойчивой ветви.

Таким образом, фазовая траектория состоит из участков скачкообразного перехода из начального состояния к тепловой изоклине и участков движения вдоль устойчивой ветви изоклины.

Второй предельный случай - отсутствие теплообмена реактора с окружающей средой (а = 0, адиабатический реактор).

Из приведенных выше обозначений видно, что в этом случае у = Ба^е. Покажем, что для адиабатического реактора отсутствуют предельные циклы. Поскольку вещество А реагирует по двум независимым реакциям, кинетическое уравнение системы (1) можно представить в виде системы двух уравнений:

ехр

ТГр)( 1-п)

7П2 ~ , = к ехр (1

£0 )(1 п) П2

(2)

где П1 и п2 - глубины превращения вещества А по первому и второму каналам соответственно, п =

= П1 + П2. Для стационарного режима, когда производные в системе уравнений (2) равны нулю, имеем

Ди

Ба

— = ехр

-п-2-Ба

— = ехр

1 + р0

е0 1 + р 0

(1-Д),

(1-п).

Используя эти выражения, из уравнения тепловой изоклины получим уравнение плоскости в фазовом пространстве, на которой находятся стационарные состояния:

*ёа+('- *) £а-| = 0

Это выражение позволяет преобразовать уравнение теплового баланса системы (1) к виду

— [у0 - дпг- (1- * )п2] =

0 п (1 ^ '2

,&т * ш-(1-*) Ш

п2

Полагая у = Da/Sе и вводя обозначение

0 п (1 ^ '2

--* ^--(1 - *) --т" = х,

п2

находим

7х 7 т

х

"Па.

(3)

Из уравнения (3) получаем х = С ехр(-т/Ба), где С - постоянная интегрирования. Отсюда следует, что если т —*- га, то х —- 0. Иными словами, при т —»- га изображающая точка стремится к плоскости, описываемой уравнением

0 п1 гл \ 42 п

&т * па-(1-*) ш =0

не пересекая ее. Поэтому для адиабатического реактора невозможны замкнутые фазовые траектории и, следовательно, предельные циклы. Таким образом, интервал 0 < у < Ба^е представляет собой возможную область существования автоколебаний.

Поскольку в дальнейшем нам понадобится третий коэффициент Ляпунова, приведем выражение для него и значения всех его коэффициен-

п2

тов. Согласно [7], выражение для €3 имеет вид

= -

п

{[ ас( ап + аиЬ о2 + а02Ьп) +

4 ьаТа

+ аЬ(Ь2п + азоЬц + апЬо2) + с2(а„ао2 + 2ао2Ьо2) -

2 2 (4)

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком