ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2013, том 76, № 10, с. 1251-1257
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКСКЛЮЗИВНЫХ ПАРТОННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ДАЛЬНИХ БЫСТРОТНЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ В рр-СТОЛКНОВЕНИЯХ ПРИ ЭНЕРГИЯХ LHC
© 2013 г. В. Н. Коваленко*
Санкт-Петербургский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 18.03.2013 г.
Мягкая часть ^-взаимодействия рассматривается в рамках феноменологической модели с образованием цветных струн. В предположении, что элементарное столкновение реализуется как взаимодействие двух цветовых диполей, для фиксации параметров модели оцениваются полное неупругое сечение и множественность заряженных частиц. Особое внимание уделяется моделированию необходимых для описания корреляций эксклюзивных партонных распределений с учетом закона сохранения энергии и фиксации центра масс. Разработан алгоритм слияния струн в поперечной плоскости, учитывающий их конечную протяженность по быстроте. В рамках этого механизма найдено влияние эффектов слияния струн на дальние корреляции.
DOI: 10.7868/80044002713100127
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время проводятся эксперименты по изучению столкновений адронов и тяжелых ионов на коллайдере LHC (ЦЕРН) при сверхвысоких энергиях. Подавляющее большинство частиц, рождающихся в таких столкновениях, принадлежат к мягкой составляющей спектра, не описываемой в рамках теории возмущений квантовой хромодинамики (КХД), и поэтому используются полуфеноменологические модели.
Одной из таких моделей, применяемой для описания мягкой составляющей адронных и ядерных взаимодействий при высоких энергиях, является модель кварк-глюонных струн [1, 2], ведущая свое происхождение от реджевского подхода. В этой модели при взаимодействии адронов на первом этапе формируются протяженные объекты — кварк-глюонные струны. Образование наблюдаемых адронов происходит на втором этапе в процессе фрагментации этих струн. Поскольку кварк-глюонная струна является протяженным объектом, дающим при фрагментации вклад в широкий интервал быстрот, для изучения свойств цветных струн (в том числе возможности их слияния) было предложено использовать так называемые дальние корреляции, соответствующие выбору наблюдаемых из различных быстротных окон, разделенных достаточно большим интервалом быстрот. Эти дальние корреляции в настоящее время являются
E-mail: nvkinf@rambler.ru
одним из главных объектов исследования коллектива ЛПСБ/СПбГУ, при этом ведутся как экспериментальные, так и теоретические исследования [3].
Теоретическое изучение дальних корреляций ведется с помощью метода Монте-Карло [4, 5], разработаны алгоритмы [6], описывающие протон-протонные столкновения в рамках концепции бесконечных по быстроте струн. Однако для более корректного описания таких характеристик, как корреляции, существенно, в частности, моделировать эксклюзивные партонные распределения, так же как и особенности образования цветных струн, в том числе слияния в поперечной плоскости [7, 8]. В связи с этим целью настоящей работы является моделирование эксклюзивных партонных распределений, а также исследование протон-протонных столкновений в рамках модели, учитывающей конечную длину по быстроте и эффекты слияния кварк-глюнных струн.
2. ЭКСКЛЮЗИВНЫЕ ПАРТОННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
При описании рождения частиц в рамках партонно-струнных моделей обычно используются [9, 10] инклюзивные партонные распределения по доле продольного импульса х. Однако непосредственное применение данного подхода встречается с трудностями при изучении корреляционных явлений и, в частности, при построении монте-карловских моделей, поскольку в данном случае
необходимо иметь информацию о том, как партоны распределены совместно, т.е. использовать эксклюзивное распределение. При построении эксклюзивного партонного распределения по долям импульса мы исходим из того, что независимость партонов ограничена только выполнением закона сохранения энергии-импульса, следовательно, оно имеет факторизованный вид [11]:
Р(Х1,Х2,...,ХМ )= (1)
I Ы
= р1 (Х\) р2 (Х2) ...рИ (Хм )6 ^Ху - 1
Здесь х1,.. .,хм — доли продольного импульса партонов, при этом N = 2п, где п — число пар (морских пар кварк—антикварк либо валентной пары кварк—дикварк), входящих в состав протона. Множители ру (Ху) определяются из соответствия инклюзивным структурным функциям, имеющим вид [9, 10]:
и(х) = ¡и(х) = аи,пх-1/2(1 - х)1/2+п, (2)
Ш = Ш = С,пх-1/2(1 - х)3/2+п, (3)
1ы(х) = Сы,пХ3/2(1 - х)-3/2+п, (4)
¡ии(х) = Сии,пХ5/2(1 - х)-3/2+п. (5)
При этом предполагается, что при п > 2 морские кварки и антикварки имеют такое же инклюзивное распределение, что и валентные кварки. В 2/3 событий дикварк имеет конфигурацию ий, в 1/3 — ии.
Соответствующее эксклюзивное распределение для произвольного числа кварк-антикварковых пар имеет вид
р(хь...,хм ) = (6)
И-1
= с
N -1
П
з=1
— 1/2
N
N
Ц^г - 1 '
,г=1
с■2м-1хмам6
^У2 - 1+ХИ
. г=1
Произведем еще одну замену: у г = — х^, г = 1,...^ - 1. Тогда
р(г1,...,гм-1,хи ) = с ■ 2м-1 х (7) х хи " (1 - Хм )(И-3)/2 - ^ .
Данная формула означает, что Хм подчиняется бета-распределению, а ху распределены равномерно на единичной сфере. Пусть £ь..., -1 — стандартные нормально распределенные случайные величины, а равномерно распределена на отрезке (0,1);
Хм = ам + 1, £.2
N - 3
+ 1
-1 ¿2 ^з=1 ^з
(1 - Хм)
будут удовлетворять исходному распределению. Здесь 1Х (а, Ь) — обратная регуляризованная неполная бета-функция. Описанный метод позволяет осуществлять генерацию долей импульсов кварков за время, линейно растущее при увеличении N.
Для партонной плотности в плоскости прицельного параметра мы используем гауссово распределение [6]:
1
Р(я,У) = —2 е
0-г2/г2
(8)
где валентный кварк имеет номер N - 1, дикварк — N, а остальные номера принадлежат морским кваркам и антикваркам; ам = 3/2 (ий-дикварк);
= 5/2 (ии-дикварк). Формулы (2)—(5) можно получить из (6) путем интегрирования по части переменных.
Для генерации случайных величин (6) с учетом дельта-функции необходимо применять особые методы. Одним из наиболее общеупотребимых и универсальных является метод Неймана [12], однако он неэффективен при большом числе переменных. Явный вид распределения позволяет значительно повысить эффективность генерации. Сделаем замену Ху = у2, ] = 1,...^ - 1. Тогда выражение (6) для плотности распределения примет более простой вид:
Р(Уъ .. .,Ум-1,Хм) =
Здесь г = (х,у) — двумерный вектор поперечных координат партона. Параметр т0 связан со среднеквадратичным радиусом протона: {г2И) = |гц.
При генерации положений партонов в плоскости прицельного параметра нельзя считать положения всех партонов независимыми, поскольку необходимо учесть, что в каждом событии центр масс протона должен совпадать с его центром, определяемым формулой (8):
м м
у=1
гу Еу = 0.
(9)
Данное условие можно связать с требованием сохранения поперечной части вектора лоренцева момента, т.е. соблюдения релятивистского закона движения центра масс во время эволюции протона, предшествующей столкновению с другим протоном. Действительно, с учетом того, что суммарный
поперечный импульс партонов равен нулю, поперечная часть вектора лоренцева момента
N
N
- Ej) = е. j=i
j=i
0.
При ультрарелятивистских энергиях Е^ ~ ~ \р^ \ ~ р23- выражение (9) эквивалентно
N
X] =0. (10)
3=1
Непосредственным следствием данного условия является то, что в среднем более тяжелый дик-варк находится ближе к центру, а морские кварк-антикварковые пары образуются на периферии. Стоит отметить, что к аналогичному выводу пришли авторы работы [13], анализируя экспериментальные данные.
В итоге эксклюзивное распределение координат партонов в плоскости прицельного параметра должно удовлетворять следующим требованиям:
1) центр масс партонов покоится, ^У=1 г3хз = 0 выполнено в каждом событии;
2) инклюзивное распределение каждого партона является гауссовым;
3) нормировка: (г2) = г= г02.
Генерация координат партонов в плоскости прицельного параметра происходит следующим образом:
1) формируется 2N независимых стандартных гауссовых величин £ь..., {ту, щ,..., ;
2) вычисляются координаты центра масс: хцм. =
ЕУ £ = N .
3 = 1 Х 3 £3, Уц.м. = з = 1 х 3 П3;
3) производится сдвиг: £г = £г - Хц.м. ,Пг = Пг -
Подсчитаем дисперсии, учитывая независимость величин £3 и Xг':
0£д = ((1 - хд)2) + (х2т) + (М - 2)Х), (13) 0£дд = ((1 - хдд)2) + (К - 1)(х2). (14)
Для нахождения величины а подставим хг = = £г/а, уг = Пг/а в условие нормировки, а также учтем, что в протоне один дикварк и N - 1 кварков (и антикварков). Тогда уравнение для нахождения а примет вид
Na2 = D£qq + (N - l)D£q.
(15)
Явные выражения для (13), (14) получаются путем усреднения с помощью инклюзивных распределений (2)—(5), а последующая подстановка в (15) дает окончательное выражение для а:
2 (2п - 1)(п2 + 6п + 12)
aud =
2n(n + 2)(n + 3)
(16)
2 _ (2п — 1)(п2 + 8п + 24) luu ~ 2п(п + 3)(п + 4) '
Уц.м.;
4) масштабирование с постоянным коэффициентом: Xi = £i/a, y i = ñi/a.
Полученные величины (xi, yi) являются координатами партонов.
Остановимся подробнее на вычислении величины a (константы, зависящей только от количества партонов и от типа дикварка) из условия нормировки. Координаты для кварка и для дикварка до масштабирования задаются следующим образом:
N-1
£з = (1 - Xj)£j - XN£N - Y1 xi£i> (11)
i=l,i = j j = 1, 2,...,N - 1,
N -l
£n = (1 - XN)£n Xi£i. (12)
i=l
Здесь аиа обозначена величина а для конфигурации дикварка иЛ, аии — для конфигурации дикварка ии.
3. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ 3.1. Цветные диполи
Для формулировки модели неупругих протон-протонных столкновений мы предполагаем, что элементарное столкновение партонов реализуется как взаимодействие двух цветовых диполей, состоящих из валентных кварка и дикварка либо из кварк-антикварковой пары. Амплитуда вероятности взаимодействия двух диполей с координатами (г1г2) и (г3г4) в плоскости прицельного параметра имеет следующий вид [14]:
уг = ln2 (ri -г3)2(г2 -Г4)2 8 (ri - г4)2(г2 - Г3)2'
(17)
В рамках приближения эйконала вероятность взаимодействия двух диполей
Pij = 1 - e
-fij
(18)
Полная вероятность неупругого взаимодействия двух пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.