ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 5, с. 534-546
УДК 536.25+5325(0.63)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ МНОГОФАЗНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД В ЦЕНТРОБЕЖНОМ ПОЛЕ
© 2009 г. Л. П. Холпанов, Р. И. Ибятов*
Институт проблем химической физики РАН, г. Черноголовка, Московская область * Казанский государственный аграрный университет kolp@icp.ac.ru ibyatov@mail.ru Поступила в редакцию 13.04.2009 г.
Разработана математическая модель движения многофазной гетерогенной среды по поверхности вращающихся насадок и в гидроциклонах. Учитываются явления расслоения и сгущения среды, а также наличие гидродинамического начального участка течения. Рассмотрено два подхода к решению многофазных гетерогенных сред: континуальный и траекторный. Уравнения сохранения механики гетерогенных сред решены методом поверхностей равных расходов. Приведены результаты численных расчетов течений по внутренней поверхности вращающегося конического ротора и в гидроциклоне.
Одним из наиболее перспективных методов интенсификации технологических процессов является проведение этих процессов в центробежном поле при тонкослойном режиме течения. Реализация указанного метода осуществляется в различных центробежных аппаратах, таких как роторно-пле-ночные аппараты, центрифуги, гидроциклоны, жидкостные тарельчатые сепараторы. Расчет течения многофазных гетерогенных сред в центробежном поле позволяет установить гидродинамическую обстановку, выявить закономерности взаимного влияния основных технологических и конструктивных параметров центробежных аппаратов.
В данной работе изучается ламинарное установившееся осесимметрическое течение слоя многофазной гетерогенной среды по поверхности вращающихся насадок. Также рассматривается течение в гидроциклоне. Учитываются явления расслоения и сгущения среды, а также наличие гидродинамического начального участка течения. Реологическое уравнение состояния неоднородной среды описывается степенной моделью. Для математического моделирования гидродинамики многофазных гетерогенных сред в центробежном поле используются уравнения механики гетерогенных сред [1].
Течение пленки по поверхности вращающихся проницаемых насадок. Пусть по поверхности вращающейся криволинейной насадки течет слой многофазной гетерогенной среды со свободной поверхностью. Вращающаяся насадка представляет собой поверхность вращения, которая задана уравнением г = Г(г). Течение рассмотрим в ортогональной системе координат (х, у, ф), координата х которой совпадает с образующей ротора. Коэффициенты Ляме равны: Н1 = 1, Н2 = 1, Н3 = г. Тогда упрощенные урав-
нения механики многофазных сред в погранслой-ном приближении запишутся в виде
Э(га;и;) . Э(га;У;)
д х
+
д у
= 0, i = 1,ю;
. д и 1 д^1 ^ д Л дР
Р11 и 1~д7 + + ~= -а1—+
ду г дх
дх
1 д( ^-1 д и Л + - —I тЕ — I— X ¡х + Р1Р1 х;
г ду
ду
1 = 2
W1 дг
г д у
дР
~ = - а1эу_ X р1 ¡у + Р1 р1 у;
1 = 2
д W1 дW 1 W 1и1 д г W1V1 дг
р.!и 1^+V
+
г2 ду
■ 3 ^-1 д (^
г тЕ —I —
д у V г )_
■ X Р1 ¡ф + р1 ^1ф; 1 = 2
, ди1 д V¡ W2 дЛ дР
Р'1и эх + ^ "ду + Т дх) = -«'■ дх +
е
+ X рих + Р2i = 1,ш;
1=1 ' * 1
W 2 дг
г ду
д- = - а ^ - X риу + р.р,
1 =' ■ * 1
(1)
(2)
(3)
ду г дх г ду)
е (4)
(5)
■ = 1,ю; (6)
е
е
Р21 U
д W
+ V
2 дх 2 ду е
dW2 W2U2 д Г W2 У-2 дг
ду
+
Fijq + piFiф'
д х i = 1,ю;
(7)
j = 1 i * j
где E =
г( д W1
+
ди 1
1
22
интенсивность скоро-
1Л Эу
стей деформации.
Система уравнений (1)-(7) должна решаться при следующих граничных условиях, учитывающих фильтрационный отток жидкости через проницаемую поверхность
у = 0: иi = 0,
л/п к Р - Pg
у 1 =----—
1 у d
W¡ = 0; (8)
у = h:
^ = 0 ду 0
д W1
"д7
= 0.
Массовая сила складывается из центробежной силы, силы Кариолиса и гравитации
Fix = (ю2 г -2ю Wi) sin в - g cos в, F^ = - (ю2 г-2юWi) cos в - g sin в, Fi(p = 2юUi sin в -2 ю Vi cos в.
Решение уравнений механики гетерогенных сред (1)-(7) с учетом вышеуказанных особенностей течения и граничных условий (8) вызывает большие трудности из-за нелинейности дифференциальных уравнений в частных производных. Одним из перспективных методов решения таких уравнений является метод поверхностей равных расходов [2]. Преимущество данного метода заметно возрастает в случае исследования процессов, протекающих в гетерогенных средах, поскольку он позволяет непосредственно определять траектории частиц составляющих фаз [2-6].
В соответствии с этим методом введем в поле течения суспензии индивидуальные поверхности равных расходов (линии тока) для каждой i-ой фазы ук = ук (х), к = 1, Ni, i = 1,е и обозначим Uk¡ = = Ui[x, ук(х) ], V¡ = V[x, ук(х) ], W¡ = W[x, ук(х) ],
где Uk¡ (х), Vk(х), W¡¡(х) - компоненты скорости i-ой фазы для к-го слоя в направлении координат х, у, ф. Здесь N - количество введенных линий для i-ой
фазы (N = N1). Причем линия у1 совпадает с поверхностью течения, а линия - со свободной поверхностью.
Сведем задачу о развитии течения слоя суспензии к численному определению полей скоростей и линий тока. Обозначим изменение расхода г-ой фазы
между линиями ук -1 и ук через Фк (х). По определению интегральное условие сохранения имеет вид
к
Уг
фк.(х) = А | 2пга{и{йу, г =10, к = (9)
Определим введенные выше функции Ф; (х) в предположении, что массообмен отсутствует. Для этого запишем интегральное условие сохранения количества г-ой фазы в пленке суспензии
J 2 п гаи^у + J 2 п rV1( 0) dx = Q¡,
0 хн
и продифференцируем по х
h
- J2пгaiUidy = 2пrV1 (0).
Cv
<d_ dxJ
Аналогичным образом записываются балансовые соотношения для каждого слоя [ ук -1, ук ]. Очевидно, что при отсутствии массообмена изменение расхода сплошной фазы может происходить из-за фильтрации жидкости через проницаемую поверхность и поэтому
Ф2( х) = 2п га;У;( 0),
фг (х) = о, г = 1,ш, к = 3, N.
Уравнения движения фаз записываются на своих линиях тока, в результате которого приводятся к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям:
к к 2 ксШ\ (<) Эг йР к йук
ри Чхх = - р1 — Тх - а1 ~1хк + а1л (х,у) +
к
kdW\
P1U4W
ду
е
dx (10)
F1 jx + p1 F1 x ,
j = 2
Wk1 ( кдг ,,кдг)
-p17-1U1 дх+V1 дг)+
э
+ ду
■ гп -1 дwkп
ду J
X F1 ;ф + p1 ^ф,
j=2
к-1
у1
х
0
е
А 2-
гйи\ ( WГ)дг а йР, )йуг
ри1х = -р—эх - + ^х,у)Тх -
г д х ' йх
в
X р11 ¡х + р1 р11 х,
1 = 2
( 1 дг I дЛ
р= -р'Т I ^а* + +
(12)
+ X + р'^,
(13)
1 = ' ' * 1
где
йх
„к-11 = 1
(14)
к = N ,2.
ше полученных уравнениях эта сила присутствует в составе градиента давления, порядок производных повышается на единицу. При каждом вычислении правых частей уравнений системы (10)—(13) эти производные вычисляются численно.
Уравнения для поверхностей равных расходов определяются из (9):
йуг1 йу
1 -1
2 У( 0)
52-■
1 1 -1 у' - у'
■ х
йх йх а,-( и1 + и1 1) т; (и1 + и1 1)
йи1 йи1 -1 1 а -11 а (15) х | г а -т-1 + г а —■ + ги' —' + ги' 1—' +(15)
' йх ' йх ' йх ' йх
х—к -----
у) = X р;4, к = 2,# 1, I = , г = 2,ю.
1=1
В уравнениях (10), (12) присутствуют слагаемые, содержащие частную производную дРк/дх. Для вычисления этого градиента давления сумму уравнений (3) и (6) интегрируем на интервале [ у\-1, у\] и затем продифференцируем по переменной х: к
у1 ю 2
йРк-дх I Х( р 1 йу ■
1йг
1 -1 йг\ ; _
+ аи — + аи — , г = 1,ю
'йх
йх
Поскольку среда представляется как взаимопроникающий континуум с общим давлением, градиент давления для разных фаз вычисляется по общей формуле (14), но на своих индивидуальных линиях
тока ук. Для дисперсных фаз эти рекуррентные вычисления имеют особенности. В зоне [Щ, Н], где г'-ая фракция частиц отсутствует, при вычислениях градиента давления используются линии тока сплошной фазы. После вступления в область присутствия г'-ой фазы, рекуррентные вычисления проводятся по линиям тока данной фракции.
Чтобы воспользоваться рекуррентными соотношениями (14), нужно задавать значение йРм/йх. Экспериментальные и теоретические исследования течений по вращающимся поверхностям показывают наличие входного участка, где происходит разгон пленки и стабилизация полей скоростей. На малых радиусах входного участка не вся поступающая жидкость может быть увлечена во вращательное движение. В результате наблюдается захлебывающийся режим, когда поверхность пленки имеет значительное искривление в виде локального максимума. На начальном участке таких течений давление Лапласа Ра может оказаться существенным, поэтому нужно принять йРн/йх = йРа/йх.
Давление, обусловленное продольной и поперечной кривизной, определяется известными формулами [2] как функция от Н, Н, Л". Поскольку в вы-
Здесь значения верхних индексов 1, равных к (к = = 2,И 1) и I (I = 2,ИЬ г = 2,ю ), указывают на сплошные и дисперсные фазы соответственно.
Скорости осаждения фракций У(0), г = 2,ю определяются из системы уравнений (6). При этом скорость сплошной фазы Ух(0) определяется отдельно через скорость фильтрации, поэтому при решении системы алгебраических уравнений (6) она считается известной. Кроме того, чтобы воспользоваться рекуррентными соотношениями (15), нужно задавать значение йу\1йх.
Для вычисления значения слагаемых, представляющих в уравнениях движения (10)-(11) изменения тензора вязкого напряжения, а также скоростей
между линиями тока, сеточные решения ик =
= и '[х, ук(х)], = W'[x, ук(х)] представим в виде разложения в ряд по полной системе базисных функций
и = А'1 (х) + X А'1( х х, у), (16)
W' = В'1 (х) + X В 1( х 1( х, у), (17)
1=2
где Т 1<х, у) - полная система базисных функций, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям для скоростей и, W'. Для степенной реологической модели среды они выбираются исходя из вида профиля течения в стабилизированном участке.
Потребуем, чтобы скорости, определяемые из (16)-(17), совпали с ик (х), Wk (х) на линиях ук (х).
в
N
2
N
Тогда для определения коэффициентов Лу(х), Бу(х) получим систему алгебраических уравнений
A¡! (х) + X Aij( x )^j( x, y) = Uk; k = 1,N;
j = 2
(18)
i = 1,l
Bn (x) + X Bij( x )^k( x, y) = Wk; k = 1,N;
j=2
(19)
i = 1,l.
Определив значения Лу(х), Бу(х)) из системы уравнений (18), (19) и дифференцируя соотношения (16), (17), можно найти компон
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.