научная статья по теме МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ НИТИ МЕЖДУ СТЕНКАМИ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ С ИТЕРАЦИОННОЙ РЕКОНСТРУКЦИЕЙ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ НИТИ МЕЖДУ СТЕНКАМИ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ С ИТЕРАЦИОННОЙ РЕКОНСТРУКЦИЕЙ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

< 1, 2008

УДК 539.3:534.112

© 2008 г. Малышев А.П.

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ НИТИ МЕЖДУ СТЕНКАМИ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ С ИТЕРАЦИОННОЙ РЕКОНСТРУКЦИЕЙ

Исследуются колебания нити, которая ударяется о параллельные ограничители хода. Разработана численная методика, повышающая точность разностных ЕКО-схем, уменьшающая размазывание контактных разрывов и сеточную вязкость. Изучается влияние коэффициента восстановления на динамику нити. Установлено, что нелинейные колебания происходят с переменной формой нити, а трапециевидная стоячая волна является временной конфигурацией нити перед "хлопком" и сразу после него.

В работах [1-3] изучаются поперечные колебания струны, ударяющейся об ограничители, параллельные ее начальному положению. Подобные струны названы распределенными ударными элементами. Экспериментально установлено, что при определенных частотах гармонического смещения одного или обоих концов струны возникает так называемый "хлопок", когда целый участок струны синхронно ударяется о стенку -ограничитель. Приведены фотографии трапециевидного поперечного смещения резинового жгута, колебания которого ограничены с одной или двух сторон параллельными стенками. При проведении аналитических исследований в качестве исходной формы нити рассматриваются установившиеся трапециевидные стоячие волны. Чтобы рассмотреть всю эволюцию формы нити, было предпринято численное моделирование сильно нелинейных колебаний.

Постановка задачи. Уравнения поперечных колебаний натянутой упругой нити примем в виде

где Т - сила натяжения нити, отнесенная к ее жесткости на растяжение; w, s - смещение и продольная координата, отнесенные к длине нити; Щ - скорость нити, отнесенная к скорости распространения акустических волн; t - время, отнесенное к длительности пробега акустической волны вдоль всей нити; е0 - начальная деформация; в - коэффициент внешнего демпфирования. В уравнениях (1) опущены все произведения производных и их степени, выше первой.

Ограничители хода расположены симметрично по обе стороны на расстоянии й от нити параллельно ее исходному положению. При ударе об ограничитель в точках контакта реализуется краевое условие Щу, t + 0) = -кЩ(,у, t - 0), |Му, 0| = й, где 0 < ки < 1 -коэффициент восстановления, который зависит от характеристик локального взаимодействия нити и ограничителя в месте контакта.

Метод решения. Для решения гиперболических систем уравнений типа (1) широко применяются явные разностные ЕКО-схемы, которые, оставаясь монотонными, обеспечивают повышенный порядок аппроксимации на гладких решениях [4, 5]. Они являются развитием схемы [6], а в случае второго порядка точности по существу совпадают со

(1)

схемой [7]. Недостатком ENO-схем является довольно интенсивное сглаживание контактных разрывов и связанная с этим значительная сеточная вязкость. Повышение порядка схемы лишь незначительно улучшает ситуацию.

Далее предлагается способ повышения точности ENO-схемы второго порядка, который не нарушает ее монотонность и направлен на преодоление указанного недостатка. Опишем его на примере линейного уравнения переноса

и + си' = 0, с = const > 0. (2)

Численное решение уравнения (2) можно записать в виде [6] ит = ит _ q(Un _ Un _ q = ст/h, где Un _ Un _ среднеинтегральные в пределах шага по времени т значения и при sn _ j = (n _ 1)h и sn = nh соответственно; индексом m помечены среднеинтегральные значения и в пределах шага h по координате s; нижний индекс m соответствует временному слою t, а верхний _ t + т.

Ограничимся линейной реконструкцией решения на предыдущем временном слое и полагаем, что ит _ 1 и ит отнесены к серединам отрезков (sn _ 2, sn _ 1) и (sn _ 1, sn) соответственно. Тогда Un = ит + bam, Un _ 1 = ит _ 1 + bam _ 1, b = (1 _ q)/2 и решение на следующем

временном слое имеет вид ит = ит _ q(u„l + Ьат _ ит _ 1 _ Ьат _ 1). Величины ат и ат _ 1 определяются в соответствии с функцией minmod

ат = minmod(Am, Аш + 1) =

0, АтАт + 1 < 0, Am' |Ат| < |Ат + 1^ Ат +1, |Ат| >|Ат +1-

Для обычной ENO-схемы второго порядка

Ат = ит - ит-1, Ат +1 = ит +1-ит - (3)

Применим функцию minmod не к разности значений функции в серединах соответствующих отрезков, а к разности ее значений на противоположных сторонах s = const смежных ячеек разностной сетки

А _ , ат + ат -1 А _ , ат + 1 + ат

Ат = ит - ит -1+ 2 , Ат + 1 = ит +1- ит + 2 '

Для определения ат применим итерационный алгоритм

ат) = minmod (Ат), Ат 11), Ат) = А^ + ,

(i -1) (i -1)

А(i) _ А(0) , ат +1 + ат

Ат + 1 = Ат + 1 + 2 ,

где i - номер итерации; А^0, Ат°+1 определяются по формулам (3).

Использование такого алгоритма оказалось весьма эффективным. На рис. 1 показан профиль единичного прямоугольного импульса для t = 200, полученный в результате численного решения уравнения (2) при c = 0,5 и т = h = 0,01. Расчеты проводили с четырьмя итерациями. Цифрой 1 помечен профиль, рассчитанный на основе описанного метода; 2 - решение, полученное с помощью так называемой предельной реконструкции [8]; 3 - профиль, соответствующий обычной ENO-схеме второго порядка. Точное аналитическое решение показано пунктирной линией. Видно, что предложенный алгоритм обеспечил практически полное сохранение формы импульса, в то время как другие методы сильно размазали его за счет значительной сеточной вязкости.

1,0-

и

0,5 -

0

0,5

« 1,0

0

0,5

1,0 0

0,5 « 1,0

Рис. 1

Рис. 2

В задаче о нелинейных колебаниях нити описанный способ повышения точности численного решения был применен к уравнениям переноса для инвариантов Римана системы (1).

Анализ результатов и выводы. В качестве исходных данных при численном моделировании принимали значения параметров, близкие к параметрам стенда [1-2]. Смещение конца нити задавали по закону ц> = Б$т2кА. Зазор й полагали равным 0,02, а остальные параметры Б = 0,002, е0 = 0,3, в = 0,03. Расчет проводили с четырьмя итерациями и шагами т = к = 0,0005, что обеспечило сходимость численного решения в четырех - пяти значащих десятичных разрядах. Установившийся режим колебаний фиксировали по истечении достаточно большого времени наблюдения около ? = 3000. Что касается коэффициента восстановления кт то сначала его полагали равным нулю, т.е. удар нити об ограничитель считали абсолютно неупругим. Частота / нормировалась по основной частоте собственных линейных колебаний свободной нити.

Расчеты подтвердили формирование двух типов колебаний с образованием стоячих волн и ударами об ограничители: один при / = 1, другой при / = 1,10, что близко к частоте срыва виброударного процесса /с = 1,111. Будем называть их режимами первого и второго типа. На рис. 2 и 3, где w* = w/d, приведены последовательные положения нити для режимов первого и второго типа соответственно. На а показано приближение нити к ограничителю, на б - удаление от него. Сплошные линии соответствуют синхронному смещению обоих концов нити, а штриховые линии - одностороннему возбуждению, когда левый конец остается неподвижным. В первом случае ввиду полной симметрии задачи показана только половина нити. Отличие результатов для несимметричного и симметричного возбуждения колебаний не носит принципиального характера и касается формирования контакта нити с ограничителем при/ = 1. Если конец а нити неподвижен, то наблюдается набегание ветви на препятствие, в то время как на половине б контакта значительный участок нити касается стенки одновременно. В другом случае контакт формируется симметрично относительно середины нити.

При частоте / = 1,10 независимо от вида возбуждения касание ограничителя происходит синхронно на всем достаточно протяженном участке начального контакта, т.е. с "хлопком". После касания ограничителя площадь контакта несколько увеличивается за счет симметричного набегания нити на стенку. Боковые участки нити остаются прямолинейными как на фазе сближения нити с ограничителем, так и при удалении от него. Эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными работ [1-3]. Отметим, что трапециевидная форма нити (при / = 1,10) или близкая к ней конфигурация с плоской вершиной (при / = 1) наблюдаются только на завершающем участке фазы сближения и после удара об ограничитель сразу разрушаются.

Численное моделирование позволило оценить влияние эффективного коэффициента восстановления кт величину которого технически трудно контролировать и варьировать в физическом эксперименте. На рис. 4 показана эволюция формы нити при ки = 0,5: а - на фазе сближения с ограничителем, б - на фазе удаления от него. Она соответствует режиму второго типа при в = 0,056 и симметричном возбуждении с частотой f = 1,101.

1,0

*

w 0,5

0

1,0

*

w 0,5

0,25 0,50 0 Рис. 3

0 -

s 0,50 0

0,25

0,50 0 Рис. 4

0,25 s 0,50

Изменение величины в позволило сохранить прежнюю частоту срыва виброударного режима /с = 1,111. Остальные параметры оставлены без изменений.

Увеличение кь вызвало появление легких искажений прямолинейности боковых сторон "трапеции". Они видны и на ее верхнем основании. Существенно изменяется фаза удаления от препятствия. Трапециевидная форма нити, хотя и с небольшими отклонениями от прямолинейности, сохраняется здесь относительно долго, т.е. вплоть до опускания середины верхнего основания "трапеции" на уровень w* = 0,8. С увеличением ки сужается частотный диапазон существования динамического режима второго типа и для его реализации требуется все более тонкая настройка частоты возбуждения. При ки = 1 их вообще не удалось обнаружить. Вместе с тем было установлено, что форма нити на режиме первого типа, когда / = 1, практически не зависит от величины кь.

Итак, форма нити на описанных динамических режимах обоих типов кардинально меняется в процессе движения. Форма нити при хлопках с частотой, близкой к частоте срыва виброударного процесса, сильно зависит от характеристик локального взаимодействия нити с препятствием.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крупенин В.Л. К исследованию высших нелинейных форм колебаний виброударных систем с распределенными ударными элементами // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2005. < 6. С. 31-38.

2. Крупенин В.Л. Трансформация

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Машиностроение»