ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 3, с. 295-308
УДК 551.465
МОДЕЛИРОВАНИЕ КРУПНОМАСШТАБНОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ
МОРЕЙ И ОКЕАНОВ
© 2015 г. В. Б. Залесный*, **, В. О. Ивченко***
*Институт вычислительной математики РАН 199333 Москва, ул. Губкина, 8 E-mail: zalesny@inm.ras.ru **Морской гидрофизический институт 299011 Севастополь, ул. Капитанская, 2 ***Национальный океанографический центр, Саутгемптон, Англия Поступила в редакцию 05.09.2014 г., после доработки 13.11.2014 г.
Рассматривается проблема моделирования общей циркуляции океана в рамках подхода, разработанного Г.И. Марчуком. Основное внимание уделяется вопросам, связанным с применением методов многокомпонентного расщепления и сопряженных уравнений, параметризацией процессов турбулентного обмена. Обсуждается постановка задачи, алгоритм решения и результаты четырехмерной ассимиляции температуры и солености в модели гидродинамики Мирового океана. Алгоритм дает качественно верный результат, его основными особенностями являются модульность, простота реализации, возможность использования экономичных неявных схем.
Ключевые слова: математическое моделирование, Мировой океан, метод расщепления, сопряженные уравнения, параметризация вихрей, вариационная ассимиляция.
DOI: 10.7868/S0002351515030141
ВВЕДЕНИЕ
Математические модели и методы решения прямых и сопряженных задач гидродинамики океана интенсивно развиваются с середины XX века [1—3] до настоящего времени [4—9]. Отметим четыре основных направления теоретических исследований, важный вклад в развитие которых внесен Г.И. Марчуком. Это — исследование корректности математических задач динамики океана [10]; разработка экономичных вычислительных алгоритмов [11—14]; формулировка и решение обратных задач динамики океана с помощью метода сопряженных уравнений [15, 16]; анализ и расчет сложных систем геофизической гидродинамики [16—18]. Выделим несколько новых методологических приемов, введенных в рассмотрение Г.И. Марчуком.
Приведение уравнений динамики океана к эволюционной форме. Традиционные модели циркуляции океана описываются системами "примитивных уравнений", использующих приближения несжимаемости, Буссинеска и гидростатики. Вместе с эволюционными уравнениями они включают "диагностические" уравнения неразрывности и гидростатики, в которых нет производной по вре-
мени. Важным приемом преобразования исходных уравнений является сведение системы к эволюционному виду — исключению из нее "диагностических" уравнений. Это — более удобный вид уравнений, упрощающий исследование математических свойств уравнений и построение экономичных схем расщепления для их численного решения.
Метод расщепления и выделение баротропного движения. При применении метода расщепления оператор эволюционной задачи представляется в виде суммы операторов более простой структуры [14]. Причем для обеспечения устойчивости вычислений нужно, чтобы каждый расщепленный оператор был неотрицательным. В этом случае метод расщепления устойчив, численная модель экономична и правильно описывает энергетические переходы [19]. Для приведения уравнений динамики океана к эволюционному виду следует представить горизонтальные компоненты скорости в виде осредненных по вертикали и отклонений от них. Выделение «баротропной» циркуляции часто используется в задачах динамики океана [3]. Мотивом при этом является вычислительный аспект: баротропная динамика резко выделяется в спектре океанических движений. Следует отме-
тить, что использование данного приема дает также возможность свести задачу к эволюционному виду и исследовать математические свойства ее решения [10, 18].
Метод сопряженных уравнений и энерго-актив-ные зоны океана. В начале 70-х годов Г.И. Марчук ввел в рассмотрение новый в задачах геофизической гидродинамики метод исследования, основанный на теории сопряженных уравнений. Прототипом методологии послужило исследование в области теории ядерных реакторов [20]. Затем метод применен для решения задач динамики атмосферы и океана [1, 15], анализа чувствительности климата [16]. Решение сопряженной задачи о чувствительности климата привело к выделению энерго-активных зон океана и явилось теоретической основой крупнейшей советской научно-наблюдательной программы XX века "Разрезы" [21]. В дальнейшем метод сопряженных уравнений получил интенсивное развитие при решении обратных задач динамики атмосферы и океана и задач четырехмерной вариационной ассимиляции данных наблюдений [22, 23].
1. МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ
В уравнениях динамики океана можно выделить две основные подсистемы. Во-первых, это классическая основа — подсистема, описывающая динамику вращающейся жидкости в рамках традиционных в океанологии приближений Бус-синеска, гидростатики, несжимаемости [18]. Во-вторых, — подсистема, включающая физические параметризации, изменяющиеся по мере улучшения понимания природных явлений. Построение модели и разработку эффективных численных методов ее решения мы основываем на декомпозиции оператора задачи — методе многокомпонентного расщепления. Метод включает расщепление по физическим процессам и геометрическим координатам [6, 14]. Оператор задачи разделяется на отдельные части, и задача сводится к решению более простых подсистем. Численное решение расщепленных подсистем может проводиться независимо друг от друга. Например, процессы турбулентной вязкости и диффузии можно рассмотреть на отдельных этапах расщепления, выделив их в качестве самостоятельных расчетных модулей [6, 19]. Такого рода расщепление называют расщеплением по физическим процессам. При данном подходе модификация параметризаций подсеточных турбулентных процессов приводит к изменению лишь выделенных модулей. Существенно упрощается построение сопряженной модели для полной системы. При расщеплении требуется строить сопряженный аналог не ко всей модели, а к ее отдельным подсистемам [23].
Данный подход на протяжении многих лет развивается в ИВМ РАН. Он хорошо зарекомендовал себя при решении прямых и обратных задач крупномасштабной циркуляции океана [6, 23, 24]. Отметим основные особенности данного подхода.
— В рамках единого подхода формируется модель динамики океана различной физической сложности. Например, переход к негидростатической модели может осуществляться добавлением дополнительных этапов расщепления к модели с примитивными уравнениями [25, 26].
— Метод расщепления применяется для решения систем эволюционных уравнений с неотрицательными операторами. Данное свойство должно быть априори установлено для рассматриваемой дифференциальной задачи. Это выражается в нахождении интегрального инварианта или закона сохранения, выполняющегося в модели при отсутствии источников и стоков энергии. Расщепление проводится так, чтобы для каждой выделенной задачи выполнялся закон сохранения, справедливый для исходной задачи.
— Модели динамики морей и океанов, основанные на примитивных уравнениях включают уравнения без производной по времени: уравнения гидростатики и неразрывности. Кроме того, при постановке задачи со свободной верхней границей возникает дополнительная сложность. Она связана с тем, что кинематическое граничное условие для вертикальной скорости содержит производную по времени от уровня моря. Для того чтобы обойти указанные сложности и переписать задачу в эволюционной форме, в модели ИВМ РАН используется сигма-координата и выделяется средняя по глубине циркуляция. Из примитивных уравнений исключаются давление и вертикальная скорость. Область решения задачи со свободной верхней границей преобразуется в цилиндр единичной высоты, эволюционное кинематическое условие на верхней границе исчезает.
— При использовании метода расщепления важную роль играет выбор формы записи дифференциальной задачи. Наиболее удобной формой записи уравнений является симметризованная форма. Она естественным образом приводит к расщеплению оператора задачи на сумму простых неотрицательных операторов.
— Расщепление задачи может включать несколько уровней. На макроуровне оператор задачи расщепляется по физическим процессам. На нижнем уровне можно выделить простейшие задачи, описывающиеся обыкновенными дифференциальными уравнениями и пространственно одномерные. На отдельных этапах расщепления можно использовать точные решения и неявные аппроксимации по времени.
метрические коэффициенты, определяющие горизонтальные оси координат, вертикальные оси г, а направлены вниз.
2. УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ЦИРКУЛЯЦИИ ОКЕАНА В ст-СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Изложим используемый нами подход к решению уравнений гидродинамики океана, записанных в а-системе коордтат; сютотажьш на при- тические условия на верхней, нижней и боковой менении метода многокомпонентного расщепления [19, 27, 28]. Суть метода поясним на более простом примере, пренебрегая эффектами диссипации и диффузии. Уравнения общей циркуля-
ции океана запишем в следующем виде [28]
ди + _!_
дг ГхГу
(2дГуии) + (2дГхч и)
дх ду
К системе (2.1)—(2.7) присоединяются кинема-ческие условия на верхней, нижней и боков границе области д2, а также начальные условия:
ю = 0 при а = 0, а = 1, (2.8)
(и, п) = 0 на 5Е, (2.9)
(,Т,S,Z) = (иV0, Т0,Б0,С0) при г = 0. (2.10)
+ А (Юи )- Z д \1 ^
да I ГхГу
дгу дгх
—-V--хи
дх ду
' V =
= (2.1)
дг^+
дг ГхГу
--( -
Р0Гх \дх дх
(20ГуЖ) + ^ (гг^) дх ду
3. ЭВОЛЮЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И СХЕМА РАСЩЕПЛЕНИЯ
Запишем (2.1)—(2.10) в эволюционной форме. Исключим функции р, ю, и введем уравнение для потенциальной плотности, используя (2.7). Имеем
+ — (и)7) + г с ]/ + —
да
дГу дгх
—-V---и
дх ду _
и = (2.2) дг,и + _]_ дг ГхГу
г
Р0Гу V1 др да
др рдг — - gp—
ду ду у gZстр;
дг, дг
дх (г„Гуи) + д (г^)
дгт 1
ст ■ +-X
(2.3)
+ д® = 0; (2.4) да
дг
Г Г
х у
дд (гаГуит ) + д (г^т)
дх ду
дгСТБ + 1
—2—\--х
дг ГхГу
(г.ГуиБ ) + д (гГ^Б)
дх ГхГу ду
(2.5)
+ — (юТ) = 0, да
+ — (юБ) = 0,
да
(2.6) (2.7)
г„ =:
да
ю = ^ -
(дг + 1 дг, + 1 дг л
--1---и +---V
дг Гх дх
Гу ду
и = (и, V) — вектор горизонтальной скорости, w — вертикальная скорость в г-системе координат, Т— потенциальная температура, Б — соленость, гх, гу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.