МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 36, № 3, с. 222-235
КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
УДК 621.382
МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАНТОВОЙ ДИНАМИКИ ЧЕРЕЗ КЛАССИЧЕСКОЕ КОЛЛЕКТИВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ
© 2007 г. Ю. И. Ожигов*
Московский государственный университет, Физико-технологический институт Российской АН E-mail: ozhigov@cs.msu.su
Поступила в редакцию 03.10.2006 г.
Предлагается простой алгоритм для моделирования и визуализации нерелятивистской квантовой динамики, использующий коллективное поведение классических частиц как модель квантовой динамики. Квантовая частица представляется как рой ее классических экземпляров, взаимодействующих по простым правилам, включающим испускание и поглощение экземпляров связанных фотонов. Квантовая динамика получается при этом как результат коллективного поведения такого роя, а собственные состояния трактуются как состояния равновесия для процесса излучения-поглощения фотонов. Запутанность трактуется как такая классическая корреляция элементов разных роев, которая хранится в недоступной для пользователя пространственно-временной части модели. Амплитуда всегда является зарнистой. Кулоновское поле между квантовыми частицами моделируется, аналогично расплыванию волнового пакета, точечным взаимодействием между их экземплярами и экземплярами скалярных фотонов, распространяющихся диффундированием. Это дает ускорение вычислений по сравнению с методом "каждый с каждым" как квадратный корень. Этот подход содержит декогерентность, а также допускает естественное обобщение на КЭД многих частиц с линейными затратами на память.
1. ВВЕДЕНИЕ
Многочастичные задачи представляют собой естественную сферу распространения квантовой теории, и в то же время именно здесь она встречается с неожиданной и принципиальной трудностью. Эта трудность, на первый взгляд, не кажется фатальной, так как она связана со сложностью описания многочастичных задач на классических компьютерах, то есть с прикладным аспектом квантовой физики. Однако такой взгляд ошибочен. При более детальном рассмотрении проявляется все новые глубины этой трудности. Мы можем с достаточной уверенностью утверждать, что эта трудность настолько серьезна, что она фактически устанавливает границу применимости квантовой теории, так что для правильного описания многочастичных систем требуется существенный пересмотр самих основ этой теории: ее математического аппарата. Затруднение состоит в том, что размерность пространства состояний многочастичной системы растет экспоненциально с ростом числа частиц, составляющих эту систему. Естественный выход из положения состоял бы в том, чтобы для моделирования многочастичных задач построить квантовый ком-
* Работа поддержана фондом NIX (грант # F793/8-05), РФФИ (грант 06-01-00491-а) и INTAS (грант 04-77-7289).
пьютер1. Идея построения квантового компьютера, несомненно, принадлежит к числу великих идей физики; очень большая часть физиков (и автор этой работы в их числе) так или иначе вовлечена в эту работу. Квантовый компьютер является первопринципным предсказанием квантовой теории, которое следует непосредственно из математического формализма тензорных произведений для многих тел. Поэтому существование такого устройства должно рассматриваться не как предмет технологии, а как решающий эксперимент по проверке квантовой теории в многочастичном случае. Надо отметить, что квантовая теория никогда ранее не проверялась в случае многих частиц; все результаты, полученные и экспериментально проверенные в настоящий момент, получаются только разного рода сведением многочастичной задачи к одночастичному слу-
1 Эта идея вообще носилась в воздухе и высказывалась почти одновременно разными льдьми: Бениоф, Манин, позже - Дейч, однако впервые это ясно сформулировал Фейн-ман, который наряду с квантовым компьютером также и переформулировал квантовую физику на более интуитивном языке траекторий (этот метод очень соответствует нашей цели). При этом он, конечно, не ставил вопрос о границах применимости аппарата гильбертовых пространств, для чего в то время и не было достаточных экспериментальных фактов.
2
чаю . Серьезное проникновение квантовой теории в многочастичную область, то есть практическое, вычислительное рассмотрение волновой функции вида г2, • ••, ГП) при больших значениях числа частиц п невозможно реализовать аналитически в силу не так давно открытого феномена квантового ускорения классических вычислений. Суть этого феномена состоит в следующем. Согласно гильбертову формализму, состояния системы п частиц принадлежат тензорному произведению Ж1 ® Ж2 ® •.. ® Жп пространств ^-состояний одночастичной системы (для простоты мы предполагаем все частицы различимыми; иначе нам пришлось бы рассматривать фоковское пространство чисел заполнения с фермионной или бо-зонной симметрией, что усложняет дело, не меняя сути). И наоборот, любой нормированный вектор данного пространства может представлять некоторое физически реализуемое состояние п частичной системы. Размерность такого пространства равна произведению размерностей всех Ж, т.е. очень быстро растет с ростом п. Это, в частности, означает, что должны существовать состояния, у которых амплитуды входящих в них базисных состояний очень малы. Разумеется, проверить прямым измерением наличие таких малых амплитуд невозможно. Но есть специальные виды эволюции многочастичной системы, при которых все эти малые амплитуды конструктивно складываются в огромном числе, и дают наблюдаемые значения, причем за такое малое время, что никакой классический способ вычисления (в частности, никакие аналитические выкладки) не способны угнаться за этим процессом. Это и есть квантовые вычисления. Существенно здесь то, что есть точный критерий, отличающий квантовый компьютер от обыкновенного, который заключается в скорости решения некоторых вычислительных задач (например, задачи перебора). Мы, таким образом, имеем проект решающего эксперимента, проверяющего справедливость квантовой физики в многочастичной области. В настоящее время все попытки создать хоть сколько-нибудь значительный квантовый компьютер (не говоря о масштабируемости) завершились неудачей. Разумеется, из этого нельзя еще сделать окончательный вывод о неприменимости стандартной квантовой теории к многочастичным задачам. Но эта ситуация делает осмысленными попытки предло-
2 Исключение составляют только попытки прямого вычисления энергии двухчастичных систем с использованием волновой функции г2), которые предпринимались, например, для атома гелия (см. ниже). Попытки аналитического решения многочастичных задач почти неизменно заканчивались двусмысленными результатами: например, систематическое рассмотрение эволюции двух фотонов и одного электрона со спином в квантовой электродинамике приводит к расходимости рядов для амплитуды.
жить взамен многочастичного гильбертова формализма какой-нибудь более практичный способ работы с квантовыми многочастичными системами. Такой путь должен включать в себя всю известную квантовую физику, включая запутанные состояния, но он не сможет включить так называемый масштабируемый квантовый компьютер (см. [1]). Единственно возможный математический аппарат для такой экстраполяции квантовой теории на многочастичный случай - теория классических алгоритмов. Самая простая идея состоит в том, чтобы ввести зерно или квант (наименьшее ненулевое по модулю) амплитуды квантовых состояний, и рассмотреть урезанную таким образом квантовую теорию, что сделано в работе [2] . Оказалось, что такой простой прием дает единое описание квантовых эволюций без их подразделения на унитарные эволюции и декогерентность (наблюдения), а также дает как следствие известное правило Борна для вычисления квантовой вероятности. Однако такой подход не очень практичен по следующей причине. Он опирается на понятие многочастичной волновой функции и для реализации на компьютерах требует явного использования кванта амплитуды, истинное значение которого в природе может быть недостижимо для существующих компьютеров. Это вызывает перерасход вычислительных ресурсов, позволяя решать фактически только одночастичные (или некоторые из двухчастичных) задачи.
В этой работе предложена конкретизация алгоритмического метода (см. [2]), основанная на коллективном поведении классических систем. Этот подход может быть назван роевым, так как он основан на представлении квантовой частицы в виде роя ее экземпляров, каждый из которых является классической частицей и может взаимодействовать с другими экземплярами по простым правилам. В виде такого же роя представляется набор идентичных квантовых частиц. Этот метод допускает легкий переход от классического описания частиц к квантовому и наоборот, он допускает масштабирование и пригоден для написания компьютерных программ для конкретных многочастичных эволюций. В рассматриваемой версии допускается только запутанность ЭПР типа, что является существенным урезанием многочастичного гильбертова формализма стандартной квантовой механики. В рамках роевого подхода можно, естественно, интерпретировать фундаментальные взаимодействия заряженных частиц с фотонами,
3 Это делает нашу модель зависимой от выбора базиса. Но такая цена не представляется чрезмерной, так как алгеб-
раическая универсальность есть свойство гильбертова формализма, но она не следует непосредственно из экспериментов.
т.е. включить в него квантовую электродинамику, а также и другие типы взаимодействий.
2. ОБЩИЕ ЧЕРТЫ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО
ПОДХОДА: ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКАЯ И АДМИНИСТРАТИВНАЯ ЧАСТИ МОДЕЛИ
Отметим некоторые общие моменты, характерные для алгоритмического моделирования физических задач. Главным инструментом такого подхода являются алгоритмы, а не аналитические правила вычислений. Итогом работы здесь будет алгоритм, моделирующий динамику многочастичной системы, а не найденное значение того или иного параметра. Из теории алгоритмов известно, что работу алгоритма нельзя предсказать наперед. Единственный универсальный способ узнать, как он работает, состоит в том, чтобы запустить его и ждать, когда он выдаст ответ. Поэтому общий способ оценки результатов моделирования - это просмотр видеофильма,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.