КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2004, том 49, № 2, с. 219-223
РЕАЛЬНАЯ СТРУКТУРА КРИСТАЛЛОВ
УДК 548.55
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ
w __-t
НАПРЯЖЕНИИ В ПРОФИЛИРОВАННЫХ КРИСТАЛЛАХ1
© 2004 г. Л. Л. Куандыков, С. И. Бахолдин
Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе, РАН, Санкт-Петербург
E-mail: Lev@mail.ioffe.ru Поступила в редакцию 26.02.2003 г.
Форма кристалла была впервые рассмотрена как реальный фактор контроля термоупругих напряжений в процессе выращивания кристаллов. Путем численного моделирования установлено, что, варьируя профиль кристалла в процессе роста, можно перераспределять термоупругие напряжения. Таким образом возможно получить большие малонапряженные области в кристалле за счет локальных напряженных областей. В качестве примера приведена модель сапфировой ленты (50 х 175 мм), разделенной перетяжками на три пластины (50 х 50 мм). Рассмотрены различные кристаллографические ориентации и системы скольжения.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что термоупругие напряжения (ТУН) в монокристаллах зависят от трех основных факторов: кривизны теплого поля в кристалле [1, 2], кристаллографической ориентации [3, 4] и формы кристалла [5-8]. Традиционные методы уменьшения ТУН заключаются в выравнивании (линеаризации) теплового поля [9-11] и выборе кристаллографической ориентации [4]. В любом случае форма кристалла остается неизменной. Но как быть, если необходимо дополнительно снизить ТУН, а улучшить тепловое поле уже нельзя и ориентация кристалла строго задана. Цель настоящей работы - показать, что форма кристалла может быть таким же реальным параметром управления ТУН, как и два остальных.
Критерий оценки ТУН. Использование закона Шмидта широко распространено, когда необходимо выяснить, являются ли напряжения критическими. По этому закону, начиная с некоторого значения критической величины т*, сдвиговые напряжения в конкретной системе скольжения могут вызвать пластическую деформацию и, как следствие, размножение дислокаций (для монокристаллов сапфира т* при 1800°С составляет 3 мПа в базисной и 35 МПа в призматической системе скольжения [12]).
Напряжения, усредненные по Мизесу (Von Mises), являются наиболее типичной оценкой уровня ТУН:
&VM =
= л/(с* - + (Gy - G:)2 + К - °*)2 + 6(т1 + + ф/V2,
1 Работа была представлена на Национальной конференции
по росту кристаллов (НКРК-2002, Москва).
где cx, cy, cz, Txy, Tyz и т^ - компоненты тензора напряжений s.
Но в действительности сравнивать т* с cVM не корректно в силу анизотропности кристалла. Правильнее сравнивать т* со среднеквадратичным сдвиговым напряжением, вычисленным в конкретной системе скольжения при данной кристаллографической ориентации: Tms =
= 7(т1 + т22+ ... + т2)/n, где тi - сдвиговое напряжение в направлении i в конкретной системе скольжения.
Расчет ТУН. Аналитический расчет компонент s возможен только в кристаллах относительно простой формы, таких как лента или стержень бесконечной длины. Обычно аналитический расчет проводят в упругоизотропном приближении. В [13] путем интегрирования уравнений упругости получены формулы для оценки максимальных ТУН в стержне (т* ~ R2T ") и ленте (т* ~ b2T"), где R - радиус стержня, b - ширина ленты, T '' - вторая производная от температуры в кристалле вдоль направления вытягивания).
Метод конечных элементов - наиболее популярный способ численного расчета ТУН. Этот метод успешно применялся при вычислении ТУН в кристаллах GaAs, выращенных методами VCz (vapour pressure controlled Czochralskii) [14] и GSO по способу Чохральского [4], при отжиге GaAs [15], GaSb (Чохральский) [16], полусферы Al2O3 (Степанов, GES - growth from an element of shape) [17], лент Al2O3 [18] и Si [19] (Степанов, EFG - edge-defined film-fed growth). Вычисления проводятся как с помощью в многоцелевых пакетов программ (FIDAP [20], MARC [21, 22], CFD-ACE+ [23], Cosmos/M [24] и т.д.), так и с помощью программ, специально разработанных для моделирования роста кристаллов (CrysVUN++ [25], STHAMAS [26]).
Рис. 1. Двумерная модель распределения термоупругих напряжений, усредненных по Мизесу, Сум в сапфировой ленте (изотропный случай): а - лента А: обычный профиль 50 х 175 мм; б - лента Б: варьируемый профиль с перетяжками (высота перетяжки 10, ширина 20 мм). Пунктиром отмечены секторы 50 х 50 мм. Максимум Сум на ленте А составляет 8.0 МПа, на ленте Б (на перетяжке) - 7.0 МПа.
Монокристаллические пластины сапфира различных размеров (от 10 х 10 до 50 х 50) используются в микроэлектронике, офтальмологии, часовой промышленности и других областях науки и техники, где сапфир незаменим благодаря своим уникальным свойствам. Наиболее эффективный способ получения квадратных сапфировых пластин - это резка монокристаллических лент, выращенных по способу Степанова (EFG). Ясно, что для максимального сохранения механических свойств сапфира такие ленты должны быть мало напряжены. Чтобы снизить остаточные напряжения в ленте, в первую очередь необходимо уменьшить ТУН, возникающие в процессе выращивания.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОУПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ
Для того чтобы выявить влияние изменения формы кристалла на распределение ТУН в нем, были созданы двумерные модели лент "обычной" и "варьируемой" формы (рис. 1а и 16 соответственно). Расчет ТУН проводился в изотропном приближении с помощью пакета программ Cosmos/M
V.2.6. Модельное температурное поле для обеих лент T(y) = 8.7y + 0.005y2 + 2050 (рис. 2). Такое поле было выбрано по двум причинам: во-первых, поле близко к идеальному линейному, таким образом, невозможно снизить ТУН дальнейшим выравниванием теплового поля; во-вторых, поле обладает постоянной кривизной, T'y = 0.01, которая не влияет на распределение ТУН (а только на абсолютную величину ТУН).
Длина обеих лент составляла 175 мм (плюс 10 мм на участок разращивания), ширина - 50, ширина затравки - 10, высота перетяжки - 10, ширина перетяжки - 20 мм. Постоянные сапфира, использованные при расчете: модуль Юнга E = 0.435 х 1012 Па, коэффициент Пуассона Nxy = 0.27, коэффициент теплового расширения а = 0.88 х 10-5 K-1 [27]. Граничные условия: жесткий крепеж затравки, отсутствие внешнего воздействия по остальному периметру кристалла (свободная поверхность).
Пакет Cosmos/M использовался для вычисления компонент s в изотропном приближении. На следующем шаге компоненты s пересчитыва-лись в компоненты тензора сдвиговых напряжений t для различных кристаллографических ори-
ентаций ленты в базисной и призматической системах скольжения. Алгоритм пересчета ст в т описан в [28].
Изотропное приближение в некоторых случаях не так плохо, например, для кубических кристаллов или даже для кристаллов сапфира, правда, не менее чем с 30-процентной погрешностью [29]. Поэтому будут приведены результаты обоих расчетов (изотропный и анизотропный случаи).
Изотропный случай (напряжения Мизеса оум). Рисунки 1а и 16 иллюстрируют распределение ТУН в лентах с "обычным" (лента А) и "варьируемым" (лента Б) профилем соответственно. Одинаковые секторы 50 х 50 мм выделены пунктиром на обеих лентах. Таблица содержит значения максимальных и средних значений аум в каждом секторе. Максимум аум на перетяжках ленты Б составляет 7.0 мПа, т.е. он не превосходит максимального значения аум для ленты А. Отметим, что различия в величинах напряжений в лентах типов А и Б будут зависеть от ширины лент и размера перетяжек и могут быть больше, чем 2030% в данном примере.
Анизотропный случай (среднеквадратичные сдвиговые напряжения Тт5). Здесь мы говорим об анизотропии возможной пластической деформации. Тензор термоупругих напряжений ст брался из предыдущего расчета. Среднеквадратичные сдвиговые напряжения тт были пересчитаны из компонент ст для семи кристаллографических ориентаций монокристаллической ленты сапфира в базисной и призматической системах скольжения.
Использовались обозначения РБк1 и ББк1 для призматической (РБ) и базисной (ББ) систем скольжения в ленте с ориентацией поверхности к и направлением вытягивания I. Пара к и I полностью определяет кристаллографическую ориентацию ленты. Были исследованы следующие семь
ориентаций: са = (0001)< 1210 >, ст = (0001)< 1010 >,
ас = {1210 }(0001), ат = {1210 }< 1010>, аЯ =
= {1210 }< 1012 >, тс = {1010 }(0001), Яа =
= {1012 }< 1210>.
Несмотря на то что наблюдалось большое различие между распределениями ТУН для 7 х 2 = 14 случаев, мы решили не приводить здесь все результаты, чтобы исключить избыток информации и дублирование некоторых рисунков. В работе приводятся наиболее интересные распределения %т5 (в обеих лентах А и Б): РБат + ББат (рис. 3) и РБаЯ + ББаЯ (рис. 4). Чтобы использовать имеющиеся в работе рисунки наиболее продуктивно, заметим, что картина распределения тт в РБса, РБст и РБЯа аналогична распределению Сум на рис. 1.
Компоненты тт в ББса и ББст равны нулю из-за отсутствия базисного скольжения при двумерном моделировании в лентах ориентаций са и ст.
t, °C
Рис. 2. Модельное тепловое поле для всех лент:
T(y) = -8.7y + 0.005y2 + 2050 (°С).
Но даже в трехмерной модели относительно тонких лент ca и cm величина Tms гораздо меньше при базисном скольжении, чем при призматическом.
Хотя на рис. 3 и 4 секторы 50 х 50 мм немарки-рованы, как на рис. 1, все расчетные данные были проанализированы на предмет влияния перетяжек на величину ТУН в этих секторах для каждой из семи ориентаций. Было установлено, что секторы I, II и III ленты Б по сравнению с эквивалентными секторами ленты А с точки зрения средних и максимальных ТУН (тт):
- лучше по среднему и максимальному значению Tms для ориентаций ca и cm (в двумерной модели);
- лучше по максимальному значению Tms для ориентаций Ra и am (см. рис. 3 для am);
- хуже по среднему и максимальному значению Tms для ориентаций ac и mc.
Также значительное перераспределение ТУН (Tms) наблюдается для ориентации aR (рис. 4).
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
При исследовании распределения ТУН в ленте с волнистым профилем мы обнаружили, что максимум ТУН (aVM) был меньше на выпуклостях, чем на вогнутостях. Также вогнутости локализо-вывали ТУН, в то время как выпуклости рассеивали их. В представленной модели влияние выпуклостей и вогнутос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.