ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 6, с. 122-141
РОБОТОТЕХНИКА
УДК 62-503.5
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОГО УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ ТРЕХМАССОВОЙ ВИБРАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ*
© 2012 г. Л. Ю. Волкова, С. Ф. Яцун
Курск, Юго-Западный государственный ун-т Поступила в редакцию 15.11.11 г., после доработки 22.03.12 г.
Представлена математическая модель мобильной вибрационной системы, осуществляющей криволинейные перемещения по плоской поверхности за счет движения двух внутренних масс и внешней силы вязкого сопротивления. Приведены результаты моделирования движения объекта.
Введение. Развитие робототехники предопределило появление роботов, двигающихся за счет периодического перемещения внутренних масс. Эти роботы, получившие название вибрационных, не имеют внешних движителей, таких, как колеса, ноги, гусеницы, что открывает возможность создания устройств с герметичным гладким корпусом и позволяет решать целый класс технологических задач, в том числе мониторинг состояния окружающей среды, взятие проб воды и воздуха в зонах, недоступных другим роботам, разведывание полезных ископаемых, транспортировка грузов.
Исследованию закономерностей прямолинейного движения мобильных вибрационных роботов уделяется значительное внимание. Работы [1—4] посвящены изучению прямолинейного движения двухмассовой системы, состоящей из корпуса и внутренней массы, в среде с сопротивлением. Выявлены оптимальные периодические движения системы, отвечающие наибольшей средней за период скорости перемещения системы как целого. Представленные в [5] результаты исследований влияния периодических движений внутренней массы с кусочно-постоянной скоростью относительно тела на характер движения последнего позволяют определить условия, при которых возможно движение системы в желаемом направлении.
Особенностью вибрационных систем является то, что корпус робота постоянно находится в контакте с опорной поверхностью, а возникающие при этом силы трения обеспечивают движение объекта, поэтому во многих работах исследуется влияние сопротивления среды на динамику устройства [1, 5—7]. Например, в [1] рассмотрены разные законы сопротивления среды: линейное и квадратичное трение, изотропное и анизотропное, сухое трение, подчиняющееся закону Кулона. Три типа законов сопротивления движению корпуса робота в среде: кусочно-линейное трение, квадратичное трение и сухое кулоново трение представлены в [6]. В [7, 8] рассмотрены особенности управления прямолинейным движением мобильной вибрационной системы за счет оптимальных периодических перемещений внутренних масс, при которых средняя скорость корпуса робота относительно среды является максимальной.
Динамика вибрационного робота, перемещающегося по горизонтальной плоскости за счет гармонических движений внутренних масс в горизонтальной и вертикальной плоскостях с одинаковой частотой и со сдвигом фаз, исследована в [9]. В работе установлено, что управление средней скоростью корпуса системы по направлению и величине возможно осуществлять путем управления сдвигом фаз и частотой колебаний внутренних масс. Вопросы моделирования криволинейного движения мобильных вибрационных роботов по горизонтальной поверхности изучены в работах [10—12]. В [10] предложена математическая модель движения вибрационного робота по шероховатой горизонтальной поверхности, получены основные закономерности движения. В [11, 12] показаны способы управления направлением движения вибрационного робота с тремя вращающимися массами.
Вибрационные роботы, движущиеся в вязкой среде, находят применение в новых областях робототехники, таких, как массаж, мониторинг водной среды, исследование рельефа дна, взятие проб воды. В [13] приведена математическая модель плавающего робота, приводимого в движение посредством периодических перемещений внутренних масс и асимметричной силы вязкого
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-08-01142).
3
Рис. 1. Общий вид мобильной вибрационной системы
трения, создаваемой благодаря особой форме корпуса. Методика расчета коэффициентов вязкого сопротивления при движении такого робота предложена в [14]. В [15, 16] описаны конструкция и принцип движения трехмассового вибрационного робота-массажиста, перемещающегося по поверхности тела человека, на которую подается лекарственное вещество, выполняющее функцию смазки. Математическая модель и результаты моделирования прямолинейного и криволинейного движений такого виброробота приведены в [17].
В статье представлены результаты исследования движения мобильного вибрационного робота, перемещающегося за счет периодических колебаний встроенных в его корпус двух внутренних масс. Особое внимание уделено вопросу моделирования взаимодействия корпуса робота с опорной поверхностью. Разработаны математическая модель и алгоритм численного моделирования, позволившие изучить как прямолинейное, так и криволинейное управляемые движения объекта.
1. Описание вибрационной системы. Будем рассматривать мобильную вибрационную систему, состоящую из трех основных частей: двух подвижных внутренних масс 1 и 2и корпуса 3 (рис. 1). Внутренние массы перемещаются относительно корпуса по направляющим 4. Положим, что корпус контактирует с поверхностью 5 при помощи четырех опорных элементов 6 и движется по ней за счет сил трения. Центр масс корпуса перемещается по траектории АВ.
Система движется следующим образом. Подвижные массы 1, 2 совершают движение в направляющих 4 по заданным законам. Возникающие при этом силы инерции изменяют силы трения, приложенные в точках контакта опорных элементов 6 с поверхностью 5, и эти силы вызывают перемещение робота. Эта вибрационная система может моделировать движение роботов различных назначений, в том числе робота-массажиста, описанного в [13].
2. Математическая модель мобильной вибрационной системы. Для построения математической модели, описывающей движение вибрационной системы по плоской поверхности, рассмотрим расчетную схему, представленную на рис. 2. Рассматриваемая вибрационная система представляет собой трехмассовую конструкцию: 1, 2 — подвижные элементы, имеющие массы т1 и т2, 3 — корпус устройства, обладающий массой т.
Введем две системы координат: абсолютную неподвижную систему координат 01х1у1 и систему координат Оху, которая жестко связана с корпусом робота так, что начало координат О совпадает с центром масс корпуса, ось Ох параллельна траекториям движения внутренних масс. Угол ф определяет поворот системы координат Оху относительно 01х1у1. В работе приняты следующие допущения:
1. Корпус робота представляет собой абсолютно твердое тело массы т, центр инерции которого расположен в точке 0.
2. Внутренние массы 1 и 2 являются точечными и движутся по прямолинейным траекториям, которые лежат в плоскости Оху, параллельны оси Ох и равноудалены от центра масс корпуса робота на расстояние Ь.
Рис. 2. Кинематическая схема робота: 1, 2 — внутренние подвижные массы, 3 — корпус робота
Y¡ ОУ x
aj
y
®j
Ф
aj
Рис. 3. Структурная схема управляемой вибрационной системы, ОУ — объект управления
3. Смещения внутренних масс Aj(t), j = 1, 2, определяются как периодические функции вида
Aj( t) = üj sin (ю/ + aj),
где a — амплитуда, юj■ — круговая частота, aj — начальная фаза перемещения внутренней массы.
4. Робот контактирует с поверхностью в точках C¡, i = 1, 4 , в которых возникают силы сопротивления, при помощи четырех опорных элементов, каждый из которых является абсолютно твердым телом.
5. Опорные элементы могут располагаться под разными углами в вертикальной плоскости относительно оси Ox, что позволяет управлять величиной сил сопротивления.
6. Высота опорного элемента мала, поэтому учитывать ее при определении координат контактных точек C¡ не будем.
7. Движение устройства происходит без отрыва от поверхности.
Благодаря наличию двух подвижных масс, расположенных в параллельных направляющих, которые лежат в плоскости, параллельной опорной поверхности, робот может двигаться не только по прямолинейной, но и по криволинейной траекториям. Для перемещения робота по заданной траектории необходимо изменять величину и направление сил трения, что достигается за счет управляемого движения внутренних масс и изменения ориентации опорных элементов.
В работе рассматривается управляемая вибрационная система, структурная схема которой изображена на рис. 3.
В качестве управляющих воздействий выступают: y¡ — угол наклона ¡-го опорного элемента в вертикальной плоскости относительно продольной оси корпуса, a, ю.-, a¡ — амплитуда, круговая
частота и начальная фаза движения у-й внутренней массы. Управляемыми параметрами являются координаты х и y центра масс корпуса устройства и угол ф поворота корпуса робота относительно его центра масс.
3. Кинематика плоского движения устройства. Вычислим радиусы-векторы центра масс корпуса вибрационной системы и двух внутренних масс. Положение центра масс корпуса определяется радиусом-вектором r = (х, y)T. Положения двух внутренних масс робота m, j = 1, 2, задаются
> > , » > „ . „ „
радиусами-векторами rj = r + roj, где roj — относительный радиус-вектор j-й внутренней массы
в системе координат O1x1y1, равный % = 77%); T — матрица поворота, которая обеспечивает перевод координат, определенных в системе Oxy, в систему O1x1y1,
(
T = cos ф - sin ф V sin ф cos ф У
>(0) „ . „ „ „ >(0) (0) (0Кт
% — относительный радиус-вектору-й массы в системе координат Оху, равный % = (х0/ у0/)т,
(0) (0) • ~ п. /ъ
где х^ , у0у- — координатыу-й массы в проекциях на оси Ох и Оу соответственно, вычисляемые
по формулам: х0°) = А(), у 00) = Ву = (-1У + 1Ь, где Ь — расстояние между центром масс корпуса и направляющей внутренней подвижной массы
Определим скорости внутренних подвижных масс 1 и 2, а также центра масс корпуса как производные соответствующих радиусов-векторов. Вектор скорости центра масс равен Г = (X у )т, где X, у — проекции скорости центра масс корпуса робота на оси системы координат О1х1у1. Выражение для вектора скорости у-й массы имеет вид
> > ^ (0) ^(0) rj = r + Troj + Troj ,
(3.1)
г >(0) . „
где 1 — произво
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.