ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 3, с. 136-144
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 656.7.052:351.814.335.82
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ АЭРОДРОМА С УЧЕТОМ КОНФЛИКТНЫХ СИТУАЦИЙ В ВОЗДУШНОМ ПРОСТРАНСТВЕ В ФОРМАЛИЗМЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ
© 2012 г. В. Л. Кузнецов, П. В. Филонов
Москва, МГТУГА Поступила в редакцию 13.10.11 г.
Рассматривается задача об оценке пропускной способности аэродрома с одной взлетно-посадочной полосой. Предлагается модель организации воздушного движения в зоне аэропорта, позволяющая формировать аналитические оценки для ограничений его пропускной способности, связанных с пересечением траекторий взлетающих и заходящих на посадку воздушных судов. В основе предлагаемой модели используется аналогия между максимально плотным потоком воздушных судов в зоне аэродрома и ферми-системами. Обсуждаются вопросы выбора целевого функционала для оценки оптимальной пропускной способности аэродрома с учетом времени ожидания прибывающих воздушных судов.
Введение. При растущем объеме авиаперевозок ключевым моментом становится проблема увеличения пропускной способности аэродрома. При этом следует отметить, что утвержденные в настоящий момент методики [1] и международные рекомендации [2] по этому вопросу носят инженерный характер и базируются на упрощенных моделях, не позволяющих глубоко анализировать вопросы оптимизации пропускной способности аэродрома. Ясно, что для решения оптимизационных задач требуется разработка моделей, учитывающих возникновение конфликтных ситуаций в воздушной зоне аэродрома с учетом топологии траекторий взлетающих и заходящих на посадку воздушных судов (ВС).
Пропускная способность любого аэродрома, определяемая как число операций взлет/посадка в единицу времени, характеризуется двумя основными параметрами: пропускной способностью взлетно-посадочной полосы (ВПП) и пропускной способностью аэродромного воздушного пространства. При этом предполагаем, что пропускная способность пассажирских терминалов не лимитирует пропускную способность аэродрома. В работе мы остановимся на анализе второй характеристики, исходя из того, что первая — пропускная способность ВПП, представляет собой достаточно простую и поэтому наиболее изученную область исследований, где предсказания теоретических моделей достаточно просто проверяются и дополняются экспериментом [3, 4]. Отметим, что использование математического аппарата теории массового обслуживания для описания процесса управления воздушным движением (УВД) в зоне аэродрома сталкивается с серьезными трудностями, поскольку анализ моделей, в которых входные и выходные потоки не подчиняются пуассоновскому распределению, весьма сложен [5, 6].
В качестве альтернативного аппарата для исследования систем с потоками Пальма обычно применяются методы имитационного моделирования [7, 8]. Однако имитационные модели, стремясь максимально точно скопировать систему УВД в зоне аэродрома, позволяют выработать лишь определенные, возможно, очень важные рекомендации по организации воздушного движения, но не дают аналитических оценок для предельно допустимого числа взлетно-посадочных операций в единицу времени.
Целью настоящей статьи является разработка аналитического подхода к задаче расчета ин-тенсивностей потоков садящихся и взлетающих ВС (т.е. потенциальной пропускной способности аэродрома), максимизирующих некоторый целевой функционал, при условии обеспечения заданного уровня безопасности полетов. Будем далее полагать, что требования по безопасности выполнены, если пространственные интервалы между ВС соответствуют ограничениям на минимумы эшелонирования. В работе будет показано, что выбор пропускной способности аэродрома в качестве целевого функционала не адекватен реальной ситуации, так как оптимальное решение в этом случае тривиально. Оно достигается за счет исключения конфликтных ситуаций в воздушном пространстве и требует продолжительного использования ВПП только на взлет
Поток взлетающих ВС
Рис. 1. Распределение квантованных объемов (допустимых квантовых состояний) вдоль путевых координат взлетающих и садящихся ВС; р — расстояние от ВПП, измеренное вдоль траекторий ВС. Кружками помечены заполненные в некоторый момент времени ^ квантовые состояния, т.е. состояния, в которых находятся ВС. Другие состояния свободны
(или посадку). А это приводит соответственно к нерациональному расходу топлива ВС, ожидающих своей очереди на посадку.
1. Вербальное описание модели и квантовые аналогии. Рассмотрим аэродром с одной ВПП, работающий по пропускной способности на пределе своих возможностей. Введем понятие "квантового состояния", определяемого как область воздушного пространства, внутри которого может находиться только одно ВС. Появление в этом состоянии второго ВС запрещено, так как неизбежно приводит к нарушению минимумов эшелонирования [9]. Отметим сразу, что квантовое состояние может быть как заполненным, так и свободным, т.е. в нем может находиться одно, а может и не находиться ни одного ВС. Проводя аналогию с квантовой теорией, можно сказать, что ВС подобны фермионам, для которых справедлив принцип запрета Паули [10]. В нашем случае каждое квантовое состояние представляет собой прямоугольный параллелепипед, центр которого совпадает с траекторией планового движения ВС, взлетающего или направляющегося на посадку. Очевидно, что эти квантовые состояния не могут накладываться друг на друга, с одной стороны, и, с другой стороны, в предельном случае реализации максимальной пропускной способности аэродрома должны плотно примыкать друг к другу в направлении траектории движения. Таким образом, картину воздушного пространства в окрестности аэродрома можно представить в виде цепочек из движущихся друг за другом вдоль линий параллелепипедов.
Траектории ВС, заходящих на посадку, сливаются, переходя в конце концов в одну посадочную прямую — глиссаду. В соответствии с этим сливаются и соответствующие квантовые состояния. Обратный процесс — рождение квантовых состояний, имеет место для взлетающих ВС. При слиянии двух квантовых состояний образуется новое, в котором может находиться только одно ВС. Следовательно, только одно из двух сливающихся квантовых состояний может быть заполнено, второе должно быть обязательно пустым. При рождении новых квантовых состояний, сопровождающем расщепление линий, выполняется закон сохранения для числа ВС, поэтому при этом появляются новые свободные состояния. Из сказанного следует, что лишь немногие из параллелепипедов, описанных в картине воздушного пространства в окрестности аэродрома, заполнены ВС, большая их доля оказывается свободными. Понятно, что потенциальная пропускная способность аэродрома достигается в случае максимального допустимого заполнения квантовых состояний.
Траектории, по которым ВС подходят к аэродрому и, взлетая, уходят на нужных направлениях в соответствующие воздушные коридоры, имеют сложную топологию. Упростить задачу можно, введя путевые координаты, аналогично тому, как это представлено на рис. 1.
Изображенные друг над другом прямоугольники в путевых координатах удалены на одинаковое расстояние от ВПП и будут сливаться по мере приближения к глиссаде. Это значит, что в столбце состояний заполненным может быть только одно состояние, точнее, не более одного ВС может находиться на данном "удалении" от ВПП. Аналогичное утверждение справедливо и для столбца состояний взлетевших ВС. Каждый такой столбец удобно описывать вектором у, компоненты которого — в основном нули, но может появиться и одна единица, т.е. либо
\jz = (0,0,0,..., 0)T, либо это вектор вида \j) = (0,1,0,..., 0)T с одной единицей, стоящей на к-м месте. Необходимость существования нулевых векторов связана уже с тем, что во время взлета ВС ВПП занята, и соответствующее квантовое состояние заходящих на посадку ВС должно быть свободно.
Следующим удобным приемом, упрощающим описание потока ВС, является переход в дискретное время. Это означает, что вместо движения квантовых состояний вдоль траекторий удобно рассмотреть дискретные переходы ВС от одного столбца к следующему через интервал времени т, определяемый как
Т = max {Твзл, Тпосад, {L|Vi}},
здесь твзл, тпосад — времена занятости ВПП при взлете и посадке, Li — значения минимумов продольного эшелонирования вдоль траектории, а V — плановая скорость ВС на соответствующем участке траектории.
При переходе от одного дискретного момента времени tj к следующему tj+1 вектор у в сопровождающей системе отсчета может измениться вследствие перехода ВС за это время с одной траектории на другую, например, следующим образом: \j)(tj) = (0,1,0,..., 0)T ^ \jz(tj + 1) = (0,0,1,..., 0)T. Отметим, что в сопровождающей системе отсчета, движущейся вместе с выделенным ВС, (tk )| = const и не может меняться со временем: в каком-либо состоянии в следующий момент времени наше ВС обязательно будет находиться, а другие ВС в столбце появиться не могут.
Для описания сказанного удобно ввести два поля ¥ + (k,tj) и ¥- (m, tl) для заходящих на посадку и взлетающих ВС соответственно. Сечение поля ¥ + (k,tj) при t = tj = const дает описание заполнения квантовых состояний (распределение в воздушном пространстве) ВС, заходящих на посадку в момент времени tj. Это схематически изображено кружками на рис. 1. Сечение при к = = const дает значение вектора \j) (tj) — заполнение квантовых состояний на к-м "расстоянии" от ВПП в любой момент времени tj. Краевые условия для полей ¥ + (k,tj) и ¥- (m, tl) определяются
потоками прибывающих ¥+ (K, tj) и взлетающих ¥- (0, tj) ВС. Подходы к моделированию этих величин обсудим далее, ибо они фактически и определяют решение задачи.
2. Моделирование механизма возникновения конфликтных ситуаций в воздушном пространстве аэродрома. Обратимся к описанию проблем, возникающих из-за пересечения линий взлетающих и заходящих на посадку ВС. Предложенный в работе формализм квантовых состояний и принципа запрета Паули приводит к дополнительным ограничениям на возможности заполнения состояний. Схематически эти ограничения можно понять, анализируя ситуацию на рис. 2.
Учитывая множественность точек пересечения тр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.