ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 3, с. 269-275
УДК: 66.021.3.001.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА АДСОРБЦИИ ФЕНОЛОВ В НЕПОДВИЖНОМ СЛОЕ ГРАНУЛ АКТИВИРОВАННОГО УГЛЯ
© 2008 г. Д. С. Арабике, О. А. Олафадехан
Университет г. Лагос, Нигерия olafadehan@yahoo.com Поступила в редакцию 29.10.2003 г., после доработки 12.05.2006 г.
Проведено математическое моделирование процесса адсорбции фенолов в неподвижном слое гранул активированного угля. Построена модель процесса, учитывающая продольное перемешивание жидкофазного потока, внешне- и внутридиффузионное сопротивление потока реактантов в гранулах активированного угля, явления адсорбции фенолов на поверхности гранул активированного угля. Показано, что анализ сложной многокомпонентной адсорбционной системы может быть упрощен путем ее преобразования в псевдооднокомпонентную систему. В качестве псевдооднокомпо-нентного реагента выбран фенол. Полученные уравнения в частных производных модели преобразованы с использованием метода ортогональных коллокаций в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые решались полунеявным методом Рунге-Кутта третьего порядка в сочетании с автоматическим выбором шага интегрирования. Результаты моделирования согласуются с экспериментальными данными, полученными на пилотной установке.
Жестокая конкуренция между обрабатывающими отраслями промышленности и необходимость защиты имеющегося рынка ставят серьезные задачи перед инженерами-химиками. Однако у инженеров имеется постоянно растущий набор инструментов для решения этих задач. Одним из таких инструментов является моделирование, и появление быстродействующих ЭВМ сделало его применение в химической технологии крайне интересным и полезным. Кроме того, использование моделей позволяет отказаться от проведения дорогостоящих и трудоемких экспериментов. Таким образом, моделирование снижает расходы на проведение исследований и компенсирует время и усилия, затраченные при разработке моделей. Например, могут быть разработаны математические модели для построения кривых проскока адсорбционных систем, которые широко используются при очистке промышленных сточных вод от органических загрязнений.
Адсорбция в неподвижном слое широко применяется для очистки жидких смесей, особенно промышленных стоков. Уже более двух десятилетий гранулы активированного угля используются для обработки сточных вод. Это вызвало значительный интерес к изучению адсорбции многокомпонентных смесей [1-9]. Томас и Лом-бар ди [10] изучали адсорбцию бинарной смеси бензол-толуол в неподвижном слое активированного угля, используя простые полуэмпирические модели. Куни и Струзи [11] получили аналитическое решение для концентрационных профилей двух веществ при предположении, что в анализируемых системах реализуются псевдобинарные
изотермы Глюкауфа. Гариепу и Цвибель [12] изучали адсорбцию бинарных смесей в неподвижном слое, но их модель не учитывала диффузионное сопротивление потока внутри частиц.
Уравнения математических моделей адсорбционных систем могут быть решены методом ортогональных коллокаций. Этот метод, разработанный более двух десятилетий назад [13, 14], особенно удобен для решения краевых задач и требует меньшего времени вычисления по сравнению с традиционными методами конечных разностей. Метод ортогональных коллокаций широко используется для моделирования адсорбционных систем [15-20].
Целью настоящей работы является разработка обобщенной математической модели для расчета суммарной концентрации фенолов, удаленных из промышленных сточных вод, в неподвижном слое гранул активированного угля. Многокомпонентная адсорбционная система будет преобразована в псевдооднокомпонентную систему путем объединения концентраций органических соединений. Модель учитывает как межфазный массоперенос, так и массоперенос внутри частиц, а также адсорбцию реагентов на внутренней поверхности гранул адсорбента.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Модель описывает адсорбцию веществ из потока жидкости в неподвижном слое гранул активированного угля. Для того чтобы упростить решение, органические вещества объединены в один
компонент. Поэтому считаем, что адсорбционная система является псевдооднокомпонентной. Уравнение материального баланса для адсорбируемого вещества из потока жидкости гранулами активированного угля записывается следующим образом:
д C ¡
-г--i = D
д2 C
- Uf
д с
д t ~L1 дz2 f dz
1- W 3
efc AR
Kfi (C - X¡)
(1)
= R
(ü) UfCoi(t) - UfC¡\z = o + Dli
= 0, (t > 0), (3)
z = 0
(iii)
-д---C----
--д---z---
= 0, (t > 0).
(4)
z = zT
£ p д ( 2 д ХЛ д Xi
Л. — ( r D__¡ + f = £ —'■ +
f2 дr^r Dpi дr ) Jri p дt
W д^-L Y д^
(5)
j=1
д X;)v д t )
со следующими начальными и граничными условиями:
(i) Xi = 0 (t = 0, 0 < r < R, 0 < z < zt) (6)
(ii)
£ pDT
-р~р\д r )
= Kfi(Ci - Xi)
r = R
(7)
(iii)
(0 < z < zT, 0 < r < R, t > 0) д X;-
д r
= 0 (0 < z < zt, 0 < r < R, t > 0) (8)
r = R
Фрейндлиха применима к адсорбции фенолов в неподвижном слое гранул активированного угля и, следовательно, ее использование в настоящей работе оправдано. Изотерма Фрейндлиха описывается следующим выражением:
* V '
qi = afiXi .
(9)
Начальные и граничные условия, необходимые для решения уравнения (1), следующие:
(i) C = Coi, (t = о, 0 < z < zt), (2)
д с
Материальный баланс для адсорбируемого вещества в жидкости в грануле адсорбента представим в виде:
Уравнения (1)-(8) обычно выражают для каждого из компонентов (загрязнений) многокомпонентной адсорбционной системы. Рассматриваемая система является многокомпонентной, поскольку она связана с удалением фенолов из сточных вод. Однако сложная многокомпонентная адсорбционная система была преобразована в од-нокомпонентную систему, которая легче поддается математической обработке, чем многокомпонентная система. Последняя является псевдоодно-компонентной адсорбционной системой, в которой фенолы объединены в один компонент [21]. Такой подход был основан на том, что промышленные сточные воды, использованные в эксперименте, содержали в основном фенолы.
ЧИСЛЕННЫИ МЕТОД РЕШЕНИЯ
В качестве численного метода решения дифференциальных уравнений в частных производных (1)-(8) использовали метод ортогональных колло-каций. Предварительно зависимые и независимые переменные данных уравнений были приведены к безразмерному виду. Введены следующие безразмерные переменные:
r R2
tD
° =-; Т= А
; А = п R ;
7 ~ C; — X;
_ . _ _. -у _ _.
= _ ; Ci = с ; Xi = C ;
C oi C oi
zt
qL
Приведенные выше уравнения модели являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, второго порядка относительно г (расстояние в продольном направлении) и первого порядка относительно времени Эти уравнения применимы к адсорбции органических загрязнений из сточных вод в неподвижном слое адсорбента при использовании соответствующей изотермы адсорбции. Ранее экспериментальная работа настоящих авторов [21] выявила, что равновесные данные для данной системы адекватно описываются изотермой адсорбции Фрейндлиха при температуре 25°С и давлении 1 атм. Это свидетельствует о том, что нелинейная изотерма
Q* = q*; Pei =
oi
zTUf_
D
L1
2 RKfi Sh = —f.
£ D
p pi
Преобразованные уравнения для однокомпонент-ной системы для жидкой фазы и для жидкости, находящейся в порах, в отсутствие химической реакции записываются следующим образом:
д Ci
д2 Ci
д Ci
_ = -Vl _ + у дz2
- у з (Ci- X i )|
(10)
а, = (£р-А 114 а
^ Ut
R
д X i д X i i 1Ч
ü-X'+'-Xr.1' (11)
+
где
U f A
V i = —fr-, V2 =
U f A
Vi
zTDpi T2 zTPei Dpi Pei
, i - Eb\(3 VKf iA^ V 3 - 1-" - "
Eb JVRJV Dpi a, = E p(«g*
Начальные и граничные условия преобразуются следующим образом:
Сх,} = 1, (; = 1, 2, ..., N + 2, т < 0), (20)
^ +2 \
Ci, i = i +
i
_P____e___ i
E Ai,kCi,
\k = i
, С Z = 0, т > О ), (21)
N + 2
Coi Vd X i
со следующими преобразованными начальными и граничными условиями:
E An+2, kCi,k = О, (Z = 1, т > G),
(22)
k = i
(i) Ci = i, С О < z < i, т < О ),
(ii) Ci с о, т) = i +( -_-¥ ^
г.л (dCi
(Ш) Z..
Когда метод ортогональных коллокаций применяется для решения уравнений (11) модели систе-
(12)
мы для сферической частицы последние преобразуются к виду:
Z = 0
PeiJV Э Z J = 0, (т> 0 ), (iv) Xi = 0, (0 <а< i, т < 0),
= ( Ci-Xi )|а =i,
(0 < Z < i, т > 0),
= 0, (0 < Z < i, т > 0)
_4_( dX
(v) ShiVda
а = i
(т> 0), (13)
(14)
(15)
(16)
dXi_ j = £pA
d т
NR + i
ai R2
NR + i
Li, k
(23)
4 a j £ Bh kX i,, + 6 £ Aj, kX 1
V k=1 k=1
(j = 1, 2, ..., NR),
при условии
Xi, j = 0, j = 1, 2, ..., NR + 1, T < 0, (24)
fNR + 1 \
= C1, j - X1, N +1,
S h i
(vi) (Ir
E AN + i, kXi, k k = i J
j = 2, 3, ..., NR + 1,т> 0,
(25)
(17)
а = 0
Применяя изотерму Фрейндлиха для однокомпо-
где NR - число коллокационных точек в радиальном направлении внутри частицы адсорбента.
Следует отметить, что граничные точки Z = 0
нентной системы, получим соответствующую без- и Z = 1 взяты как внешние коллокационные точки
размерную переменную а1:
— «1-1
а = гр + af 1«1( C01X1 ) . Уравнения (10) и (11) с соответствующими на
при решении уравнения (10), тогда как для уравнений (11) только граничная точка а = 1 взята как (18) внешняя коллокационная точка.
Уравнения (21) и (22) были использованы для сокращения размерности системы уравнений
чальными и граничными условиями пРедставля- (19)-(22). Они были разрешены относительно ют собой систему двух нелинейных дифференци- - -
альных уравнений в частных производных, кото- Си 1 и Си N + 2 и затем последние были подставле
рая может быть решена только численно.
При применении метода ортогональных коллокаций для решения уравнения (10) последние записываются следующим образом:
ны в (19):
dCi
N + 2
d т
j _
V2
N + 2
- V i
E aj, kci,
E bj, kci k = i k = i
- V3(Ci, j - Xi,N + i), (j = 2, 3, ..., N + i),
(19)
N + i
Ci, i = Pei + E Ai,kCi, k,
k=2 N + i
Ci, N+2 = Pei' + E Ai',kCi,k,
k=2
(26)
(27)
где
где N - число внутренних коллокационных точек в продольном направлении. Были добавлены две дополнительные точки, чтобы учесть граничные точки на входе и выходе реактора с непод
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.