ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 4, с. 431-434
УДК 66.099.2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГРАНУЛИРОВАНИЯ ИЗ РАСТВОРОВ ВО ВЗВЕШЕННОМ СЛОЕ С ВНЕШНИМ РЕЦИКЛОМ
© 2010 г. О. В. Муратов, О. М. Флисюк, В. Ф. Фролов, А. Д. Бех-Иванов
Санкт-Петербургский технологический институт (технический университет)
flissiyk@mail.ru Поступила в редакцию 18.06.2009 г.
Приведены результаты математического моделирования процесса гранулирования из растворов во взвешенном слое в аппаратах непрерывного действия с внешним рециклом. Представлен анализ процесса с помощью предложенной модели и приведен пример, имеющий практический интерес.
ВВЕДЕНИЕ
Получение гранул из растворов и суспензий в аппаратах со взвешенным слоем широко применяется в производстве различных веществ: хлористого кальция, трихлорацетата натрия, минеральных удобрений и др. Для обеспечения устойчивости процесс обычно ведут с подачей в слой внешнего рецикла, в качестве которого используют мелкую фракцию, полученную в результате отсева на грохоте, или после дробления крупных частиц. Таким образом, гранулирование происходит путем напыления раствора или суспензии на мелкие гранулы, используемые в качестве центров гранулообразования. Такой механизм подробно рассмотрен в работе [1] Гранулирование в общем случае представляет собой сложный процесс, включающий помимо непрерывного роста возможные процессы агломерации, дробления и истирания частиц [2, 3]. Однако в рассматриваемом случае механизм гранулирования в основном определяется непрерывным ростом частиц, без агломерации и термического дробления (последнее может иметь место только при больших перепадах температур). Математическое моделирование процесса гранулирования во взвешенном слое обычно сводится к получению уравнения для распределения частиц твердой фазы по размерам (массам или объемам). При этом под функцией распределения понимается число частиц определенной фракции [4]. Кроме того, в уравнение для функции распределения входит скорость роста гранул, которая в общем случае зависит от количества и размера частиц, т.е. модель процесса, состоящая из одного уравнения распределения, является незамкнутой.
Целью данной работы является получение замкнутой системы уравнений, определяющей плотность распределения масс частиц твердой фазы при гранулировании во взвешенном слое.
ТЕОРЕТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ
Пренебрегая истиранием гранул и уносом образующейся пыли из слоя, материальный баланс процесса можно записать в следующем виде:
дМ п п ^ , — = - + Ьх,
дт
(1)
где М — масса слоя, Ое — расход рецикла, Ом, — расход гранул на выходе, Ь — расход гранулируемого материала (раствора), х — концентрация (массовая доля) твердой фазы в подаваемом растворе.
При идеальном перемешивании в слое расход твердой фазы на выходе из аппарата пропорционален массе частиц в аппарате Ом, = 9М. Коэффициент пропорциональности 9 имеет размерность 1/с, а 1/9 является средним временем пребывания.
Обозначим X = Ьх/Ое. С учетом этих обозначений уравнение (1) примет вид
дМ дт
ое (1 + х)-ем.
(2)
Обозначим через Мт массу гранул, масса которых меньше т, а через Дт) = Мт/М — функцию распределения масс гранул. Уравнение баланса для Мт имеет вид
дМт дт
= м+ - м_ + м, - м,
Я'
(3)
где М+ — масса материала, поступившего в единицу времени, М_ — масса материала, покинувшего аппарат в единицу времени, М8 — прирост массы Мт в единицу времени за счет подачи раствора, М& — масса гранул, масса которых за единицу времени стала больше, чем т.
432
Очевидно, что
M+ = GeFe (m) M_ = GwF (m)
МУРАТОВ и др.
При m
mu \dFM .
Ms = M I u I m )—^—'-dm
—»- да имеем
Fe (m) ^ 1, F (m) ^ 1, ^^ ^ 0,
dm
0
dm
М = Ми (т)д (т)т, дт
где и(т) — скорость роста гранул. Под скоростью роста гранул будем понимать приращение массы гранулы в единицу времени, отнесенное к массе 1 дт
гранулы, т.е. и(т) =--.
т дт
После подстановки этих соотношений в уравнение (3) получим
~М^(т) = ОД (т) - О^(т) + от
и, следовательно, -XQ
1 + X
+ ju (m)f( m)dm = 0.
(6)
Дифференцирование уравнение (5) по m дает уравнение для плотности распределения/m):
0
1 + Л
fe (m) - 0f (m) + u(m)f(m) -
d
--(u (m) f(m)m) = 0,
dm
fe (m) - 0f (m) - m^- (u (m)f(m))= 0. 1 + Л dm
(7)
m i ,\dFIm') . dF(m)
+MI u Im')—^—dm - Mu (m)—m.
dm'
dm
Определим теперь скорость роста гранул. При гранулировании во взвешенном слое общеприня-
тым является предположение о постоянстве скоро-
С учетом равенства (1) левая часть последнего сти роста радиуса частиц: дг/дт = const [5]. При этом уравнения имеет вид , - i
„,, _ . „,, u(m) = —m = K-r^. В общем случае скорость роста
dM F(m) = M dFm + F(m)dM= ( ) m дт ^ У P P
дт дт от гранул определяется подводом теплоты к слою, т.е.,
др( ) строго говоря, математическая модель процесса
= MdF(m) + F{m)(Ge - Gw + L) = гранулирования должна быть дополнена уравнени-
дт ем теплового баланса. В рамках данной работы бу-
дем считать, процесс гранулирования не лимитируется подводом теплоты. Таким образом, математи-Подставив полученное выражение в уравнение ческая модель пр°цесса гранулирования имеет вид (3), получим
= M+ F(m)(Ge(1 + X) - 0M).
дт
MdF(m) = GeFe(m) - Ge(1 + X)F(m) + дт
—fe (m) - Of (m) - Kmd[fm\ = 0,
1 + Xe > > dm\ ymi
+M
m , ,6FIm') dF(m)
IuIm')--—'-dm - Mu(m)—(—)m.
(4)
-XO 1 + X
K fi f(m')dm Jv m
= 0.
dm
dm
В стационарном случае Gw = Ge(1 + X) и уравнение (4) принимает вид
G,„
Приведем уравнения математической модели к безразмерному виду. Обозначим т0 среднюю массу частиц внешнего рецикла и введем следующие
m dF Im') -Fe(m) - GwF(m) + MIuIm')—x—dm -1 + X Iх ' dm
- Mu (m)^F (m)m = 0 dm
обозначения: ^ = m/m0, n ^ 0. Учитывая, что f(^) = m0f(m), получим
-fe (и)-n/(n)-^(/fi) = 0, (8)
или, учитывая, что Gw = QM
m
Q
(5)
1 + X
-Fe
1 + X
m dF Im'l
(m) - QF(m) + Iu(m')—^—'-dm ■
0 dm
t JdF (m) - u(m)—^^ m = 0. dm
+ f_L • = 0.
1 + X J3Г/ r r
(9)
Граничное условие к уравнению (8) имеет вид /(0) = 0.
го
0
0
го
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГРАНУЛИРОВАНИЯ ИЗ РАСТВОРОВ
433
Уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением и может быть легко решено в квадратурах:
.__т
Л ц) = е-^'. (10)
Р (1+ Х) *
Подставив полученное выражение для плотности распределения в уравнение (9), получим соотношение (10) между параметрами X и ц. Можно считать, что это соотношение определяет функциональную зависимость параметра п(Х) — физический смысл которого состоит в том, что этот параметр представляет собой обратную величину относительного прироста гранул за время пребывания в аппарате.
В качестве примера получим зависимость п(Х) при монодисперсном внешнем рецикле. В этом случае плотность функции распределения будет иметь вид дельта-функции Ае(у) = — 1) и тогда выражение для А(^) примет вид
А ц) е -
(1 + X)
зП/ц
1 + Х
_ М
(1) ш 1
- 3п3/й
й ц' = 0.
(11)
(12)
ЗависимостьД^), определяемая уравнением (11), при разных X представлена на рис. 1, а зависимость ^(Х) средней массы гранул на выходе из аппарата от параметра X представлена на рис. 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложенная математическая модель позволяет проанализировать изменения плотности распределения гранул на выходе из аппарата в зависимости от параметра X, определяемого экспериментально и характеризующего долю рецикла.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В — функция распределения гранул по т, безразмерная;
Ве — функция распределения гранул ретура по т, безразмерная;
f — плотность распределения гранул по т, 1/кг; А — плотность распределения гранул ретура по т, 1/кг;
Ое — расход рецикла, кг/с;
Ои — расход гранул на выходе, кг/с;
К — константа скорости роста гранул, Чт, Ь — расход раствора, кг/с; М — масса слоя, кг;
Мт — масса гранул, масса которых меньше т, кг; т — масса гранул, кг;
А(ц) 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
'"2 ■3 ^^
2
Рис. 1. Плотность распределения масс гранул рецикла (1) и масс гранул на выходе из аппарата при X = 2(2), 3 (3) и 4 (4).
ЦиА) 40
30
20
10
Рис. 2. Зависимость безразмерной средней массы гранул на выходе из аппарата от параметра X.
т0 — средняя масса частиц внешнего рецикла, кг;
г — радиус гранул, м;
и(т) — скорость роста гранул, 1/с;
х — концентрация (массовая доля) твердой фазы в подаваемом растворе;
П — безразмерный параметр;
0
1
0
1
3
0
2
4
434
МУРАТОВ и др.
9 — коэффициент пропорциональности (1/9 — среднее время пребывания гранул в аппарате), 1/с; X — относительный расход твердой фазы в растворе, 1/с;
ц — безразмерная средняя масса гранул; ц, — безразмерная средняя масса гранул на выходе из аппарата; т — время, с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Litster J., Ennis B. The Science and Engineering of Granulation Processes (Particle Technology Series. V 15). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004.
2. Фролов В.Ф., Флисюк О.М. Гранулирование во взвешенном слое. СПб.: Химиздат, 2007.
3. Флисюк О.М., Фролов В.Ф. Моделирование процессов эволюции дисперсного состава частиц в аппаратах со взвешенным слоем периодического и непрерывного действия // Теорет. основы хим. технологии. 2007. Т. 41. № 3. С. 334.
4. Vremav A., Van Lare C., Hounslow M. A basic population balance model for fluid bed spray granulation // Chem. Eng. Sci. 2009. V. 64. № 21. P. 4389.
5. Тодес О.М., Каганович Ю.Я., Налимов С.П., Голь-цикер А.Д., Себалло В.А., Фридман Д.И. Обезвоживание растворов в кипящем слое. М.: Металлургия, 1973.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.