ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 3, с. 341-349
УДК 532.516
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИСТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ С ЗАПОЛНЕНИЕМ КАНАЛА
© 2009 г. А. В. Новошинцев, Г. Р. Шрагер, В. А. Якутенок, Ю. М. Милехин*,
Ю. Б. Банзула*, С. В. Карязов*
Томский государственный университет ФГУП «Федеральный центр двойных технологий "Союз"», г. Дзержинский, Московская область
novoshintsev@mail.ru Поступила в редакцию 22.11.2007 г.; после доработки 04.04.2008 г.
Проведено моделирование гидродинамического процесса, реализуемого при сливе жидкости из смесителя с одновременным заполнением вертикально установленной пресс-формы. Сформулирована математическая постановка задачи в приближении ползущего течения ньютоновской жидкости. Разработан численный алгоритм решения задачи в плоской постановке на основе метода граничных элементов. Проведены параметрические исследования процесса, включающего этапы опорожнения емкости, формирования струи, растекания жидкости по горизонтальной плоскости и заполнения после касания боковых стенок фронтом свободной поверхности.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из основных методов переработки полимерных материалов, широко применяющихся при производстве различных изделий, является метод свободного литья. При реализации этого метода осуществляется процесс смешения с последующим сливом полимерной композиции в пресс-форму. На начальном этапе заполнения полимерная масса натекает на дно пресс-формы и растекается. После на-текания на стенку пресс-формы, по мере заполнения емкости фронт свободной поверхности передвигается вверх. В случае, если пресс-форма имеет центральное тело, полимерная масса в процессе заполнения стекает по нему в виде слоя жидкости. Формируемый на поверхности центрального тела слой полимерной массы имеет постоянную толщину практически по всей длине за исключением переходных участков.
В большинстве работ, посвященных исследованию истечения жидкости из емкостей, рассматриваются невязкие либо маловязкие жидкости [1-11]. Наряду с двумерными течениями исследуются течения с вихревой воронкой [12-15]. Известны попытки оценки остатков массы жидкости в емкостях при истечении высоковязкой жидкости в приближении пленочного течения [16-20]. Численное исследование процесса слива из конической емкости в приближении радиального течения представлено в работе [21]. Результаты численного и экспериментального исследования истечения высоковязкой жидкости из осесимметричных емкостей представлены в работах [22-23]. В этих работах для численного исследования используется метод конечных
разностей. Результаты численного моделирования истечения вязкой жидкости из емкостей в плоской постановке опубликованы в [24]. В работе [25] представлены результаты исследований динамики и устойчивости свободной струи вязкой жидкости. Заполнение вертикальных цилиндрических емкостей с центральным телом рассматривается в [22, 26]. В этих работах предполагается, что жидкость стекает по поверхности центрального тела с формированием слоя постоянной толщины, для численного решения задачи используется метод конечных разностей.
В данной работе проводится математическое моделирование процесса формования изделий методом свободного литья, включая слив жидкости из конусообразных емкостей, формирование струи и заполнение пресс-формы с возможностью создания избыточного давления либо разряжения в сливной емкости. Задача формулируется в плоской постановке с использованием ньютоновской реологической модели.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Основу математического описания течений вязкой жидкости составляют уравнения Навье-Сток-са совместно с уравнением неразрывности. В случае медленных течений высоковязкой жидкости (Ие <§ 1) нестационарными и конвективными слагаемыми в уравнениях Навье-Стокса можно пренебречь. В плоской постановке в поле силы тяжести такие течения описываются уравнениями
дХ1 + р = 0, I, ] = 1, 2, (1)
я,
я,
Нь
Н
Рис. 1. Область течения О, представляющая схематичное изображение сечения сливной емкости и пресс-формы с центральным телом в начальный момент времени. Твердые стенки Г у обозначены жирными линиями.
где О. = -р5у + 2|1Е., Еу =
1 ди
у' у 2х: дх,
К уравнениям (1) следует присоединить уравнение неразрывности
ди, д х,
= 0.
(2)
и, = 0.
(3)
В соответствии с условиями непрерывности напряжений на границе раздела жидких сред граничные условия на свободных поверхностях Г1 и Г2 заключаются в отсутствии касательных напряжений и равенстве нормального напряжения внешнему давлению
'г, = -р1 п,, х, е Гь г = -Р2п¡, х1 е Г2,
(4)
В начальный момент времени свободные поверхности Г1 и Г2 имеют горизонтальную форму. Дополнительно свободная граница подчиняется кинематическому условию, согласно которому скорости частиц жидкости на границе равны скорости ее соответствующих точек, имеющему вид
йх, йг
= и
(5)
Для перехода к безразмерным переменным в качестве масштабов длины, скорости и давления ис-
и |Др|Я 1А I
пользуются величины Я, ' и |Ар| соответственно, где Ар = р1 - р2, при этом безразмерные переменные имеют вид
х = Я'
и, =
|
р=
|Аря
р - р2 ' Ар' '
щ, г =
Ар |
г,
О;; =
Ар
Опуская черту в обозначении безразмерных переменных, перепишем уравнение (1) в безразмерной форме
ду ^ = 0.
д х; '
(6)
В уравнении (6) можно исключить постоянное слагаемое, используя потенциал вида ф = ^-х. Тогда уравнение (6) примет вид
д-Ол = о
дху
(7)
где о у = -(р - ф)5у + 2Еу. Далее под величиной давления понимается его модифицированное значение (р - ф). Соответственно изменятся граничные условия (4) на Г1 и Г2, которые записываются в виде
'г, = -(± 1 + ^х2)п,, х, е Г1,
г, = -^х2Пь х{ е Г2,
(8)
Область течения О, имеющая границу Г = Г1 и иГу и Г2, и ее геометрические характеристики представлены на рис. 1. На твердых стенках Гу задаются условия прилипания
при этом в случае р1 > р2 ^ Ар > 0 в условиях (8) необходимо использовать +1, напротив, в случае р1 < р2 ^ Ар < 0 следует использовать -1.
Уравнение (2) и граничное условие (3) в безразмерных переменных вида не изменят. Таким обра-
зом, математическая формулировка задачи включает уравнения (2), (7) при заданных граничных условиях (3), (5), (8).
^хр) = £ ф.(4й) | Т.(хр, 4й)йГ(4й), (16)
й = 1
АГй
МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Система линейных уравнений (2), (7) для случая единичной сосредоточенной силы, действующей вдоль координатной оси I и приложенной в точке 4, принимает вид
ГАи; - VР; = 8(Х - 4) ,
Уй; = 0,
(9)
где 8(х - 4) - дельта-функция Дирака. Дифференцирование производится по координатам точки х, при этом точка 4 рассматривается как параметр. Фундаментальное решение системы (9) согласно [27] записывается в виде
и.( Х, 4) = -
1 4п
8, ^
Р;(Х, 4) =
±У_
2п г2'
(10)
(11)
Из (10), (11) следует, что фундаментальное решение для компонент вектора усилий Т.х, 4) имеет вид
Т;.(Х, 4) =
У;У.Укпк
4 ,
п Г
(12)
Методика, предложенная в [28], позволяет перейти к интегральной формулировке задачи. Скорости и(х) и усилия ^(х) в любой точке х области решений О можно найти сверткой фундаментальных сингулярных решений (10), (12) с неизвестными заранее функциями ф^4)
и( Х) = | и;.( х, 4)Ф . (4) йГ(4), (13)
Г
и ( х ) = | т.( х,4)Ф;-(4) йГ(4). (14)
где х0 - некоторая точка граничного элемента с номером Р, называемая узлом, 4й - точка приложения нагрузки. В качестве узлов будем выбирать середины граничных элементов. Интегралы в уравнениях (15), (16) можно вычислить аналитически, как это показано в [29].
Последовательность форм свободных поверхностей находится с использованием кинематического условия в лагранжевой форме
йХ; = щШ.
(17)
В результате решения основных уравнений находится распределение скорости в переменных Эйлера. Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа при заданном поле скоростей связан, вообще говоря, с численным интегрированием дифференциальных уравнений (17). Методические исследования показали, что использование данного подхода с применением разностных схем 2-го порядка типа предиктор-корректор для нахождения последовательности форм свободной поверхности наиболее оптимально для течений, характеризуемых быстрым воронкообразованием. Напротив, применение соотношения (17) для течений, когда свободная поверхность Г достаточно долго сохраняет горизонтальную форму, приводит к вычислительным трудностям, связанным с концентрацией расчетных узлов свободной границы вблизи оси симметрии. В этом случае эффективным является использование кинематического условия в форме
йх{ = ипщш, х е Г и Г2,
(18)
тогда почти равномерное распределение расчетных узлов на свободной поверхности сохраняется. Однако такой подход приводит к появлению пилообразной неустойчивости в поведении свободной поверхности, которая устраняется использованием специальных сглаживающих алгоритмов, предложенных в работе [30].
Система интегральных уравнений (13), (14) является точным решением задачи. Однако интегрирование в явном виде и разрешение относительно фиктивных источников ф;(4) оказывается невозможным и приходится пользоваться численными методами.
Для этого граница области Г разбивается на N прямолинейных отрезков (граничных элементов) и считается, что значение функции ф1(4) постоянно в пределах граничного элемента. Тогда (13) и (14) при х —- х0 (х0 е Г) приобретают вид
N
щ(хр) = (4й) | и.(Хр,4й)йГ(4й), (15)
й=1
АГ
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Характер течения и эволюция свободных границ при сливе из конусообразных емкостей с заполнением канала определяется величиной безразмерного комплекса Цг, знаком перепада давления, а также набором геометрических характеристик сливной емкости и заполняемого канала.
Рассмотрим вначале заполнение канала без центрального тела. В этом случае свободная струя натекает на дно канала и растекается по горизонтальной плоскости. С момента достижения боковых стенок канала фронт свободной поверхности двигается в направлении оси х2. Поведение свободной поверх-
(а)
(б)
(в)
-4-2 0 2 х2 (г)
0
(Д)
(е)
4
х1
-12
4 -4
4
х1
Рис. 2. Зависимость устойчивости струи от определяющих безразмерных параметров: s
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.