ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 2, с. 187-193
УДК 532.542,532.135
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЗАПОЛНЕНИЯ ПЛОСКИХ КАНАЛОВ
ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТЬЮ © 2011 г. Е. И. Борзенко, Г. Р. Шрагер, В. А. Якутенок
Томский государственный университет buba@bk.ru Поступила в редакцию 21.02.2010 г.
Проведено моделирование течения неньютоновской жидкости со свободной поверхностью, реализующегося при заполнении плоских каналов в поле силы тяжести. Сформулирована математическая постановка задачи с использованием реологической модели Шведова—Бингама. Разработан численный алгоритм решения задачи на основе конечно-разностных методов. Проведены параметрические исследования поведения основных характеристик процесса в зависимости от значений определяющих параметров. Исследованы течения и выявлены различные режимы заполнения для двух ориентаций направления течения относительно действия гравитационных сил. Продемонстрирована эволюция квазитвердых ядер для различных значений предела текучести.
ВВЕДЕНИЕ
Течения вязкой жидкости при заполнении каналов различной конфигурации широко реализуются в производстве изделий из полимерных материалов, в металлургии, в пищевой и в других отраслях промышленности. Характерными особенностями процесса заполнения при формовании изделий из полимерных материалов являются неньютоновское поведение жидкой среды и наличие эволюционирующей свободной поверхности, что сильно осложняет математическое и физическое моделирования подобных течений. Для правильной организации технологического процесса необходимо знать картину эволюции свободной поверхности и распределения динамических и кинематических характеристик с течением времени. Успешное решение задач подобного типа с получением достаточно точных количественных характеристик возможно лишь с использованием численных методов.
Процесс заполнения прямоугольных областей жидкостью Баркли-Гершеля и Оствальда—де Виля численно исследован в работах [1—3]. Заполнение осесимметричных областей вязкопластичной жидкостью рассмотрено в [4]. Решения подобных задач представлены в работе [5] для дилатантных и псевдопластичных сред. В [6, 7] исследованы такие движения псевдопластичной и вязкопластичной жидкостей, как экструзия через коаксиальное отверстие и течения между прижимающимися пластинами.
Целью настоящей работы является исследование процесса заполнения плоских каналов вязко-пластичной несжимаемой жидкостью в поле силы тяжести. Задача решается численно с использованием конечно-разностных методов. Для описания реологических свойств среды используется двухпа-раметрическая модель Шведова—Бингама. В зави-
симости от направления течения выявлены различные режимы заполнения. При подаче жидкости против силы тяжести канал заполняется сплошным образом, а течение носит фонтанирующий характер. В случае совпадения действия силы тяжести и направления движения реализуются два режима: режим сплошного заполнения канала, при прочих равных условиях наблюдающийся при малых значениях отношения гравитационных и вязких сил, и струйный режим, который реализуется с ростом гравитационных сил.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Основу математического описания нестационарного течения несжимаемой неньютоновской жидкости образуют уравнения движения и неразрывности, которые в безразмерных переменных имеют вид
Яе^ = -Ур + V • (2ВЕ) + СИ
V- V = 0.
(1)
(2)
Система уравнений (1), (2) записывается для плоского движения в декартовой системе координат и замыкается реологическим законом Шведо-ва—Бингама, согласно которому эффективная вязкость В определяется формулой [8]
В = (Бе + А)/ А,
А =
ди
)+2 (ди
дх! ^ ду
ди
2 у/2 дх ду у у
(3)
187
4*
(а)
(б)
3L
а
2L
II
3L
а
CP
2L
ди,
ди, „ + —s = 0,
ds дп
тт>дип
p = 2B—п, дп
(6)
где (п, s) — декартова система координат, нормально связанная со свободной границей. Силой поверх-
ностного натяжения на границе раздела фаз прене-брегается в силу ее малости в рассматриваемых процессах. Кроме того, свободная поверхность подчиняется кинематическому граничному условию
dx
= Ux
= Uy.
(7)
Рис. 1. Область течения в начальный момент времени: (а) — направления движения и силы тяжести противоположны; (б) — направление движения совпадает с направлением силы тяжести.
В качестве масштабов длины, скорости, времени, давления используются величины Ь, и, Ь/и, соответственно.
Рассматриваются два варианта движения жидкости относительно направления действия гравитационных сил, которые представлены на рис. 1а и 1б. В начальный момент времени жидкость занимает область О0, свободная поверхность Г3 имеет плоскую горизонтальную форму. На твердых стенках Г! выполняются условия прилипания
V = 0. (4)
Во входном сечении Г2 считается заданным расход, при этом профиль скорости совпадает с профилем ¥0(х), характерным для установившегося течения вязкопластичной жидкости в плоском канале:
ых = 0, ыу = ¥о(х). (5)
Граничные условия на свободной поверхности заключаются в отсутствии касательных напряжений и равенстве нормальных внешнему давлению, которое без ограничения общности можно считать равным нулю. В локальной декартовой системе координат эти условия записываются в виде
dy
dt x dt
Таким образом, математическая формулировка задачи включает уравнения (1)—(3) при заданных граничных условиях (4)—(7). Вследствие того, что течение симметрично относительно плоскости, расположенной посередине между стенками, рассматривается только половина области с привлечением условия симметрии на оси у.
МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Для решения поставленной задачи используется численная методика, в основе которой лежит совместное использование двух конечно-разностных методов. Поля скорости и давления для внутренних узлов расчетной сетки, удовлетворяющие уравнениям (1)—(3), находятся с помощью алгоритма SIMPLE [10]. Расчет проходит в два этапа. Вначале рассчитывается поле скорости по разностному аналогу уравнения движения с применением экспоненциальной схемы. На втором этапе вводятся поправки давления и скорости таким образом, чтобы во всей области выполнялось уравнение неразрывности. В нерегулярных узлах, образующихся вблизи свободной поверхности, значения переменных находятся линейной интерполяцией с привлечением значений из внутренней области и со свободной границы.
Для удовлетворения граничных условий на свободной поверхности используется метод инвариантов [9], согласно которому условие отсутствия касательного напряжения и уравнение неразрывности на свободной границе записываются совместно с использованием переменных Q = ип + us и R = ип - us в следующем виде:
dQ+dQ=0
dR
= 0.
дЯ__
дп дs ' дп дs Такая система удобна для целей последующей разностной аппроксимации, поскольку для вычисления распределения Q и Я вдоль свободной поверхности используется схема бегущего счета. Далее выполняется переход к составляющим скорости. Давление определяется с помощью разностного аналога второго условия (6). Последовательность форм свободной поверхности находится в соответствии с кинематическим условием (7) при помощи разностной схемы Эйлера.
В областях малых скоростей деформаций значение эффективной вязкости В резко возрастает. Для обеспечения сквозного устойчивого расчета выра-
У
У
Г
2
g
Г
Г
g
1
Г
3
Г
3
Г
Г
1
х
Г
2
жения для эффективной вязкости (3) записывается в модифицированном виде [9]
(а)
B =
Se + (A + X)
(8)
А + Х
Предлагаемая модификация, допуская предельный переход при X ^ 0 к модели Шведова—Бингама, обеспечивает возможность сквозного расчета течений с наличием квазитвердых ядер или застойных зон. Выбирая величину X заведомо большей ошибок аппроксимации, но достаточно малой для того, чтобы не исказить характер течения, можно сгладить профили эффективной вязкости в зонах квазитвердого течения и, в то же время, получить решение, близкое к решениям с использованием исходной модели (3).
Предлагаемый метод успешно использовался для исследования подобных течений вязкой и степенной жидкостей [3, 11, 12], где результаты расчетов подтверждались сравнением с результатами, полученными другими методами.
7 -
6 -
5 -
3 -
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Течение ньютоновской жидкости при заполнении канала против силы тяжести достаточно подробно исследовано [4, 9, 13]. Характер течения при заполнении канала вязкопластичной жидкостью качественно совпадает с таковым для ньютоновской жидкости. Первоначально плоская свободная поверхность выгибается, приобретая выпуклую установившуюся форму, и далее перемещается вдоль канала со среднерасходной скоростью. В области течения можно выделить характерные подобласти. В окрестности свободной поверхности реализуется двумерное течение с растеканием жидкости в поперечном направлении. Эту часть потока принято называть зоной фонтанирующего течения [14]. По мере удаления от свободной поверхности вглубь канала ее влияние на характер течения ослабевает и выделяется зона одномерного течения с профилем скорости, характерным для установившегося течения жидкости между параллельными плоскостями. Степень выпуклости свободной поверхности и размеры характерных областей течения зависят от значений определяющих параметров Re, Se, W
Для анализа кинематики движения среды при заполнении рассматривается эволюция внутренних жидких элементов, расположенных в разных областях потока. Контур жидких элементов определяется частицами-маркерами, которые двигаются вместе с жидкостью. На рис. 2а и 2б представлены эволюция свободной границы и динамика деформирования внутренних элементов жидкости, располагавшихся вблизи плоскости симметрии и твердой стенки соответственно в начальный момент времени. В первом случае элемент жидкости по мере приближения к свободной поверхности
Рис. 2. Эволюция объема жидкости вблизи плоскости симметрии (а) и твердой стенки (б) при Яе = 1, W = = 10, Бе = 1.
растягивается с одновременным смещением к твердой стенке. Во втором случае правая граница контура элемента двигается быстрее левой, заставляя элемент растягиваться в продольном направлении с одновременным вращением от плоскости симметрии к твердой стенке. Анализ эвол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.