КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 1, с. 55-62
УДК 550.89:553.98
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ФИЛЬТРАЦИИ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
© 2014 г. В. А. Мурцовкин
ООО "Нефтегазгеофизика" 170033 Тверь, ул. Терещенко, 5/25 Поступила в редакцию 18.04.2013 г.
Представлены результаты моделирования процессов электропроводности и фильтрации в пористых средах. Для большей наглядности и упрощения анализа получаемых результатов использовали простые модельные распределения пор по размерам: в виде треугольника, прямоугольника, полуэллипса и др. В качестве пористой среды рассматривали капиллярно-решеточную модель, которая представляет собой трехмерную кубическую решетку из капилляров, размеры и количество которых подбирается в соответствии с заданным распределением пор по размерам. Полученные результаты позволяют установить общие закономерности влияния структуры пор на процессы переноса, определяют взаимосвязь параметров, характеризующих эти процессы, и иллюстрируют возможности капиллярно-решеточной модели для описания свойств пористых сред.
Б01: 10.7868/80023291213060104
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] была предложена капиллярно-решеточная модель, позволяющая рассчитывать характеристики пористых сред по известному распределению пор по размерам. Наличие подобной модели дает целый ряд преимуществ при изучении свойств пористых материалов, поскольку вместо реальной системы пор используется соответствующая ей капиллярная решетка, свойства которой можно эффективно оценивать, анализировать и прогнозировать. Соответствие модели изучаемому объекту основано на том, что для ее построения используется такое же распределение пор по размерам, какое было получено для исследуемой пористой среды.
Многообразие особенностей структуры поро-вого пространства находит свое отражение в соответствующем многообразии видов распределений пористости по размерам пор. Это затрудняет анализ и понимание взаимосвязи этих распределений со свойствами пористых материалов. Для преодоления этих трудностей целесообразно ограничить рассмотрение некоторыми наиболее простыми случаями. Проанализировать влияние особенностей структуры порового пространства на свойства пористой среды и установить общие закономерности можно, например, на модельных распределениях пор по размерам, характер и особенности которых можно целенаправленно варьировать.
Цель настоящей работы проиллюстрировать, как, располагая распределением пор по размерам, можно с помощью предлагаемой капилляр-
но-решеточной модели определить основные характеристики пористой среды, следуя определенному алгоритму. Для большей наглядности получаемых результатов использовали распределения наиболее простой формы: в виде треугольника, прямоугольника, полуэллипса и др.
Такой подход позволяет установить общие закономерности влияния структуры порового пространства на такие процессы переноса как электропроводность и фильтрация и определить взаимосвязь параметров, характеризующих эти процессы. Соответствие полученных результатов наблюдаемым на практике может служить подтверждением возможности использования капиллярно-решеточной модели для оценки и прогнозирования свойств пористых сред.
ОДНОРЕШЕТОЧНАЯ МОДЕЛЬ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ
Наиболее полное описание используемой ниже модели дано в работе [1], где было учтено, что в самом общем случае диапазон изменения размеров пор может быть достаточно широким и составлять несколько порядков. В этом случае модель будет включать в себя несколько разномасштабных капиллярных решеток, которые будут соответствовать группам пор, существенно отличающихся по размерам. В настоящей работе рассмотрение будет ограничено случаем однореше-точной модели, когда диапазон изменения размеров пор составляет примерно один порядок. Это позволит не только сократить необходимые вы-
йф/йЪ, мкм 1 0.03
0.02
.-■ 1
! / 4 / \ ' \/
' 2 ' ' ' I , \ I I
3
0.01
10
а Ъ, мкм
модели а = 8тах. Таким образом, все капиллярно-решеточные модели для распределений, приведенных на рис. 1, будут иметь одинаковый размер кубических ячеек. Коэффициент пористости ф для каждой модели будет определяться площадью под соответствующей кривой, т.е.
^тах
ф= [ ёЪ. * ёЪ
^тт
Через 8 обозначен размер квадратного сечения капилляров, моделирующих реальные поры.
Распределение может быть задано также в виде набора из п пар значений Дф,- и 8,-, где Дф,- — доля коэффициента пористости, соответствующая порам с размером в интервале от 8,- — Д8,-/2 до 8,- + + Д8,-/2, где Д8,- = (8,- +1 — 8,-), - = 1, 2, ... п. Величины Дф,- связаны с дифференциальными распределениями, подобными приведенным на рис. 1, соотношением
Рис. 1. Модельные распределения дифференциальной пористости йф/йЪ по размерам пор 5: 1— треугольник, 2 — полуэллипс, 3 — прямоугольник, 4 — два полуэллипса.
числения, но и существенно упростит анализ полученных результатов.
Однорешеточная модель представляет собой трехмерную кубическую капиллярную решетку [1]. В свою очередь, такую решетку можно представить состоящей из большого числа одинаковых по размеру кубических ячеек. При этом структура пор во всех ячейках будет одинакова (в виде трех взаимно пересекающихся капилляров равного сечения), а различие между ячейками будет заключаться лишь в размере расположенных в них капилляров. Распределение же размеров капилляров по ячейкам задается в соответствии с имеющимся распределением пор по размерам, которое может быть получено для исследуемой пористой среды любым из существующих методов. Для упрощения расчетов считается, что капилляры имеют квадратное сечение. Размер всех ячеек, который обозначим через а, принимается равным максимальному размеру пор.
Чтобы иметь возможность анализировать, как характер распределения влияет на свойства среды, рассмотрим несколько модельных видов дифференциального распределения пористости по размерам пор, показанных на рис. 1: в виде треугольника, полуэллипса, прямоугольника и двух полуэллипсов. Пусть всем распределениям для определенности соответствует одинаковый максимальный размер пор 8тах = 20 мкм, который, в свою очередь, определяет размер кубических ячеек для
Дф = ^ ёд
Дд,.
8=8,
С учетом этой связи оба вида распределения (йф/й8 или Дф) равноценны с точки зрения их использования для дальнейших расчетов. На практике конкретный вид распределения будет определяться самим методом его определения. Среди существующих современных методов получения распределения пор по размерам одним из наиболее эффективных является метод ядерно-магнитного резонанса [2—4].
Рассмотрим, как строится однорешеточная модель, если известно распределение Дф,- по размерам пор 8(-. Для таких процессов как фильтрация и электропроводность определяющую роль будут играть геометрические особенности сформировавшихся в пористой среде каналов, по которым происходит движение жидкости и электрических зарядов. Пропускная способность таких каналов в значительной степени зависит от соотношения крупных и мелких пор. Влияние этих особенностей на процессы переноса, согласно [1, 5], можно учесть, если воспользоваться следующим алгоритмом.
Сначала искомый параметр, например электропроводность или проницаемость, рассчитывается для двух контактирующих ячеек с размерами капилляров 8,- и 8у- соответственно и умножается на вероятность такого контакта. Эта вероятность равна произведению вероятностей Д- и Д^ для каждой из двух ячеек. Соответствующие вероятности находятся из имеющегося распределения пор по размерам [1]. Далее просто берется сумма таких произведений по всем возможным сочетаниям из двух ячеек. В результате будет найдена средняя величина искомого параметра, характе-
0
1
ризующая соответствующий процесс переноса. В общем случае описанный выше алгоритм можно представить в виде следующего соотношения:
X = У У XjfAfj,
(1)
I=1 1 =1
где X — искомый параметр (например, проводимость или проницаемость) для всей капиллярной решетки, а Ху — значение этого же параметра для двух контактирующих ячеек с размерами капилляров соответственно 5,- и 5у. Величины ^ и А^ представляют собой вероятности того, что две случайным образом выбранные ячейки содержат капилляры с размерами 5,- и 5у- соответственно. Согласно [1], для этих вероятностей справедливо выражение
f j) = a
Аф«;), 'i(j)
V,
У Af = 1.
(2)
i=i
В другом случае характер распределения пор может быть таков, что их не будет хватать на то, чтобы заполнить все ячейки. Тогда для распределения вероятностей будет справедливо соотношение
У Aft = 1 - p,
(3)
i=i
щает анализ получаемых результатов и лучше иллюстрирует возможности модели.
Чтобы воспользоваться рассмотренным выше общим алгоритмом, описываемым соотношением (1), для расчета проводимости, необходимо знать проводимость двух контактирующих ячеек. Согласно [6], в случае однорешеточной модели сопротивление Гу между центрами (узлами) двух контактирующих ячеек с размерами капилляров соответственно 8, и 8у равно
V- =
'ij
2аг
1 + ^
52 5
j
где Ущ) = (За - 25,-у))5(-(Л — объемы капилляров в /-той и у-той ячейках соответственно.
При построении модели возможны два варианта заполнения ячеек капиллярами. В одном случае капилляры присутствуют во всех ячейках без исключения. При этом, согласно [1], будет справедливо равенство
где а0 — удельная проводимость жидкости, заполняющей капилляры. Соответствующая этому сопротивлению удельная проводимость ячеек будет равна ст(у = 1/(аГу). В результате, согласно (1), среднее значение этой величины, характеризующее общую проводимость всей модели а, можно найти как
=1УУ1
a ^^ ^^ г-
a i=i j=i V,j
AfAfj.
(4)
где р — объемная доля ячеек, в которых капилляры отсутствуют, и они, таким образом, не будут участвовать в процессах электропроводности и фильтрации.
Далее на примерах простейших распределений, представленных на рис. 1, рассмотрим, как можно с помощью капиллярно-решеточной модели, пользуясь алгоритмом (1), описывать и анализировать процессы проводимости и фильтрации в пористых средах.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ
Примеры использования модели для расчета электропроводности по реальным распределениям пористости можно найти
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.