КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 1, с. 63-71
УДК 550.89:553.98
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ФИЛЬТРАЦИИ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ С ДВУХФАЗНЫМ НАСЫЩЕНИЕМ
© 2014 г. В. А. Мурцовкин
ООО "Нефтегазгеофизика" 170033 Тверь, ул. Терещенко, 5/25 Поступила в редакцию 18.04.2013 г.
Представлены результаты моделирования процессов электропроводности и фильтрации в пористых средах с двухфазным насыщением. В качестве модели пористой среды использовали трехмерную кубическую решетку из капилляров. Размеры и количество капилляров в такой модели подбирается в соответствии с заданным распределением пор по размерам. Полученные результаты позволяют установить общие закономерности влияния структуры пор на процессы переноса при двухфазной насыщенности, проанализировать зависимость процессов электропроводности и фильтрации от особенностей насыщенности пористой среды и иллюстрируют возможности капиллярно-решеточной модели для описания свойств пористых сред с двухфазным насыщением.
DOI: 10.7868/S0023291213060116
ВВЕДЕНИЕ
Данная статья является логическим продолжением работы [1], в которой с помощью моделирования изучались процессы электропроводности и фильтрации в пористых средах с однофазным насыщением. Однако гораздо более широкий круг научных и прикладных задач связан с изучением процессов в пористых средах, когда в порах находятся разные по своим физико-химическим свойствам жидкости. Учитывая это, представляется целесообразным обобщить предложенные в работе [1] подходы к изучению процессов переноса на случай пористых сред с двухфазным насыщением.
Применительно к процессу электропроводности эта задача уже рассматривалась в работе [2], в которой на основе мультирешеточной модели были получены соотношения для расчета проводимости пористых сред с двухфазным насыщением. В качестве исходной информации при этом использовалось распределение пор по размерам. Задача была рассмотрена в самом общем случае для произвольного вида такого распределения. При этом для описания сред с широким спектром размеров пор необходимо было использовать модель, состоящую из нескольких разномасштабных решеток капилляров. Рассмотрение такой задачи в общем случае делает подход к ее решению более универсальным, но, с другой стороны, усложняет вычисления и затрудняет анализ получаемых результатов.
В связи с этим в рамках настоящей работы представляется целесообразным ограничить рас-
смотрение, как это было сделано в работе [1], наиболее простым вариантом, когда распределение пор по размерам является достаточно узким, что позволяет воспользоваться однорешеточной капиллярной моделью, и простым по форме. Это существенно упрощает выявление основных закономерностей и связей между параметрами и нагляднее иллюстрирует возможности модели для решения подобных задач. В качестве такого распределения пор по размерам 8 было выбрано дифференциальное распределение dф/d8 в виде полуэллипса, показанное на рис. 1 для трех разных значений коэффициента пористости ф: 0.1, 0.2 и 0.4. Для упрощения анализа получаемых результатов максимальный размер пор 8тах во всех трех случаях выбран одинаковым, равным 20 мкм.
Величина dф/d8 по своему физическому смыслу представляет собой долю пористости, приходящуюся на единичный интервал размеров капилляров. С другой стороны, распределение может быть задано также в виде набора из п пар значений Дф, и 8,, где Дф, — доля коэффициента пористости, соответствующая порам с размером в интервале от 8,- Д8,/2 до 8, + Д8,/2, где Д8, = (8,+1 - 8,), I = 1, 2, ... п. Величины Дф, связаны с приведенным на рис. 1 дифференциальным распределением соотношением
Дф, = ^ db
Д5;-.
8=8,
С учетом этой связи распределения йф/й8 или Дф равноценны с точки зрения их использования
йф/йЪ, мкм 1 0.03
0.02 -
0.01
1
10
а Ъ, мкм
Чтобы распределение могло быть описано в рамках однорешеточной модели, должно выполняться условие [1]
1,
(1)
I=1
где А/5 — вероятность того, что размер капилляров в произвольно выбранной ячейке заключен в интервале от 5,- — А5,/2 до 5,- + А5,/2. Для вероятностей А/5 справедливо выражение
Д/, = а
Дф,-
(2)
Рис. 1. Распределения пористости йф/й5 по размерам 5 для однорешеточной модели при значениях коэффициента пористости ф: 1 — 0.1, 2 — 0.2 и 3 — 0.4.
для дальнейших расчетов. Однако, в отличие от Аф, распределение йф/й5 обладает тем преимуществом, что его вид не зависит от характера разбиения шкалы размеров на интервалы А5. С другой стороны, в большинстве случаев на практике распределение пор по размерам представляют в логарифмическом масштабе, когда целесообразно использовать неравномерное разбиение шкалы размеров на интервалы А5. А это, в свою очередь, приводит к тому, что визуально распределение будет зависеть от характера такого разбиения.
Используемая в данной работе однорешеточ-ная модель является частным случаем мультире-шеточной капиллярной модели, рассмотренной в работе [3]. Она представляет собой трехмерную кубическую капиллярную решетку, которую, в свою очередь, можно представить в виде большого числа одинаковых по размеру кубических ячеек. При этом структура капилляров во всех ячейках будет одинакова (в виде трех взаимно пересекающихся капилляров равного сечения), а различие между ячейками будет заключаться лишь в размерах расположенных в них капилляров. Распределение же размеров капилляров по ячейкам задается в соответствии с имеющимся распределением пор по размерам. Для упрощения расчетов считается, что капилляры имеют квадратное сечение. Размер всех ячеек а принимается равным максимальному размеру пор 5тах.
где V,- = (3а - 25,)5,- — объем капилляров в 5-той ячейке. Условие (1) означает, что капилляры присутствуют в каждой ячейке. В результате выполнения этого условия увеличение пористости, согласно рис. 1, приводит к уменьшению дисперсии распределения пор по размерам.
Наряду с электропроводностью в рамках настоящей работы аналогичный подход также использован и для изучения процессов фильтрации в пористых средах с двухфазным насыщением. Несмотря на то, что модельные распределения имеют простой вид (рис. 1), получаемые результаты имеют не частный, а достаточно общий характер.
НАСЫЩЕННОСТЬ
Процесс формирования двухкомпонентной насыщенности пористых сред зависит как от свойств самих жидкостей, так и от последовательности заполнения ими порового пространства. В связи с этим ограничим дальнейшее рассмотрение следующим случаем. Для насыщения используются две несмешивающиеся жидкости, для одной из которых поверхность пор является гидрофильной (смачиваемой), а для другой — гидрофобной (не смачиваемой). Кроме того, пусть только смачивающая жидкость обладает электропроводностью, а проводимость второй будет равна нулю. Будем считать, что изначально все поры полностью заполнены только смачивающей жидкостью. Из-за действия капиллярных сил заполнение пор не-смачивающей жидкостью возможно лишь за счет дополнительного внешнего давления Р, под действием которого эта жидкость будет проникать в наиболее крупные поры, вытесняя оттуда смачивающую жидкость. Подобная ситуация имеет место, например, при формировании залежей углеводородов, когда одна часть пор горной породы занята водой, а другая — нефтью или газом.
По мере увеличения давления вытеснения Р, содержание смачивающей жидкости в пористой среде будет уменьшаться. Обычно считается [4], что размеры пор (капилляров) 5,-, из которых происходит вытеснение смачивающей жидкости при
0
заданном давлении Ps, можно определить по формуле Лапласа
5, > 8;
_ 4хcos(
= Д
(3)
где х — коэффициент поверхностного натяжения, 9 — угол смачивания; 5, — минимальный размер пор, из которых происходит вытеснение смачивающей жидкости при давлении Р, (, = 1, 2 ... п). Однако в случае пористых сред со случайным пространственным распределением пор это не так. Необходимо учитывать, что из некоторых пор, размер которых 5,- удовлетворяет неравенству (3), вытеснение жидкости не произойдет, если они со всех сторон окружены более мелкими порами, для которых неравенство (3) не выполняется. Другими словами, крупные поры могут быть блокированы более мелкими.
Основными исходными данными для расчета насыщенности пористой среды несмешивающи-мися жидкостями с помощью модели является распределение Дф,- (или ^ф/^5) по размерам 5,-, где - = 1, 2 ... п. Сумма всех Дф,- дает общий коэффициент пористости ф, а максимальный размер пор 5п определяет размер кубических ячеек а, на которые разбивается вся пористая среда.
Согласно работе [2], коэффициент насыщенности пористой среды смачивающей жидкостью №1, при давлении вытеснения Р, равный отношению объема не вытесненной смачивающей жидкости к общему объему пор, можно найти по формуле
/ 5-1 П \
1
W1, =
ф
X Дф,+ Fs6 X Дф,
V i=i
(4)
J
где Р, — вероятность того, что размер капилляров 5,- в случайно выбранной ячейке будет удовлетворять неравенству 5,- < 5,. Для Р\ справедливо выражение [2]
s-1
F = X f
1=1
Величины находятся по заданному распределению пор по размерам с помощью соотношения (2). Коэффициент насыщенности среды не-смачивающей жидкостью №2, соответственно, будет равен
Ж 2 ^ = 1 - Ж1Г
Первое слагаемое в (4) соответствует не вытесняемой смачивающей жидкости при давлении Р, из капилляров 5, < 5,, а второе слагаемое представляет собой количество этой же жидкости в капиллярах с размерами 5,- > 5,, блокированной капиллярами с 5(- < 5,.
С ростом давления Ps количество смачивающей жидкости в среде будет уменьшаться пока, наконец, при Ps > Р1 не станет равным нулю. Однако такое полное вытеснение жидкости будет возможно лишь при условии идеально смачиваемой поверхности капилляров (cos 9 = 1), когда на их поверхности существует пленка смачивающей жидкости, обеспечивающая гидродинамическую связь между всеми капиллярами в системе. Если же это условие нарушается (0 < cos 9 < 1), то такая пленка теряет устойчивость и начинает разрушаться. В результате этого возможен второй вид блокировки вытесняемой жидкости, когда ячейка, удовлетворяющая условию вытеснения (3), со всех сторон окружена ячейками с еще более крупными капиллярами, из которых вытеснение см
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.