ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 3, с. 334-337
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 66.099.2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭВОЛЮЦИИ ДИСПЕРСНОГО СОСТАВА ЧАСТИЦ В АППАРАТАХ СО ВЗВЕШЕННЫМ СЛОЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО И НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ
© 2007 г. О. М. Флисшк, В. Ф. Фролов
Санкт-Петербургский технологический институт (технический университет)
flissiyk@mail.ru Поступила в редакцию 11.10.2006 г.
Приведены результаты математического моделирования процессов изменения гранулометрического состава дисперсных материалов вследствие таких процессов, как непрерывный рост крупных частиц за счет мелкой фракции, агломерация, дробление и истирание. Приведены математические модели, описывающие эти процессы, и представлен их анализ.
Процессы химической технологии, протекающие в системах с дисперсной твердой фазой, как правило, сопровождаются изменением дисперсного состава частиц, что в свою очередь оказывает существенное влияние на скорость протекания этих процессов. В связи с этим для расчета таких процессов важным является учет эволюции дисперсного состава частиц.
Для математического описания эволюции дисперсного состава частиц, участвующих в процессах химической технологии, можно воспользоваться обобщенным принципом суперпозиции, в соответствии с которым эволюцию плотности функции распределения частиц во времени можно представить как сумму скоростей изменения плотности распределения, обусловленную вкладом различных составляющих: агломерации, дробления, непрерывного роста и т. д.
процесса основан на двух подходах: построение кинетических уравнений, описывающих эволюцию функции распределения частиц: применение уравнения типа Фоккера-Планка [1]. Это позволяет определить коэффициенты сноса и диффузии, входящие в это уравнение, и установить границы его применимости.
Так, для проточного аппарата идеального перемешивания, система кинетических уравнений, описывающих рост крупных частиц (х > т) за счет мелкой полидисперсной фракции (х < т) в непрерывном представлении, имеет вид [2]:
+ ^У + У}k(X, 5)X)С* = 1 /0
(2)
х е [0, т]
дУ = V ГдЛ
дх ):
i = 1
(1)
Такой подход к моделированию процессов, описывающихся линейными и квазилинейными дифференциальными и интегродифференциальными уравнениями, позволяет построить математическое описание эволюции дисперсного состава на основе кинетических уравнений, описывающих эти "элементарные" процессы. Однако следует отметить, что рассматриваемые "элементарные" процессы сами достаточно сложны и их теоретическое исследование представляет собой трудную задачу. По этой причине для описания эволюции дисперсного состава частиц очень важным является разработка математических моделей этих "элементарных" процессов с учетом их специфики.
Непрерывный рост крупных частиц за счет мелкой фракции. Теоретический анализ этого
д^+;1 + К }k(5, X)У(5, X)СЬ-
2 р"
} k(5, X - 5)X - 5, X)/(5, X)СИ
= — К0, х е (т, 2т ]; Т2
^ + 1К2р}k(5, х)У(5, X)СИ -
- }k(5, х - 5)х - 5, X)/(5,
= - К
х > 2 т,
(3)
т
0
т
0
т
где /(5, г) - плотность распределения частиц мелкой фракции по массам 5; Р(х, г) - плотность распределения частиц крупной фракции по массам х; т1 и т2 - среднее время пребывания частиц мелкой и крупной фракции соответственно.
Для этой системы выполняются следующие законы сохранения числа частиц и массы вещества:
N = N.
Т2 / По х01 пх 1
05
х2 х02 +
Nо
(5)
В случае, если ядро системы уравнений не зависит от размеров частиц к(5, х) = у, то для установившегося процесса решение этой системы дает следующие выражения:
п =
1+ ТТ Nо'
/(х) = п фо( х), х1 = х,
оь
х) = Nо £ д( 1- д)кЩ(х),
к = о
- - Р -х2 = хо2 + ~ хоЪ р = 1— 1
1+ Т1У Nо —
1 + у(т 1 Nо + По Т2)'
х Фк хо2 + кхо
д = N
1 - ехр
- N
,|у( г) Жг
Ро(х) = F(х, г) |( = о, /о(х) = /(х, г) =
г = о'
<Фк> = 1, < х Фк> = хо2+ кхо.
В этом случае физический смысл полученного
дк
решения также очевиден: Рк(х, г) = N0e~qфк(х) -
плотность функции распределения крупных частиц по х , участвовавших к раз в акте коагуляции, к = 0, 1, 2, ..., Nq = ^е-д(г) - число частиц крупной фракции в момент времени г, ни разу не участвовавших в акте коагуляции.
Анализ формул для определения средней массы частиц показывает, что, несмотря на полидисперсность мелкой фракции, рост крупных частиц происходит так же, как и в случае монодисперсной мелкой фракции.
Уравнение (4) при больших х
хо1 можно зна-
чительно упростить. Так, если в его интегральном
т
|к (5, х - 5)/(5, г)Р(х - 5, г)Ж5 выражение к(5, х -
члене
Фк =1, Фк +1 = | 0(т - 5)уо(5)фк(х - 5)Ж5.
В выражении для Р(х) каждый член справа имеет физический смысл: д - вероятность проскока частиц, поэтому Nq = д^ - число частиц крупной фракции, ни разу не участвовавших в акте коагуляции, а Рд(х) = N0 дф0(х) - плотность функции распределения этих частиц. Рк(х) = N д(1 - д)кфк(х) -плотность функции распределения частиц, участвовавших к раз в акте коагуляции.
Для аппарата периодического действия идеального перемешивания получены следующие выражения для законов сохранения числа частиц и массы вещества:
х1(г)П(г) + х2(г)N = хо1 п + хо2Nо, N = N. (6)
При к(5, х) = у(г) решения кинетических уравнений имеют вид:
5)Р(х - 5, г) разложить в ряд Тейлора по 5 - х1 и ограничиться тремя первыми членами этого разложения, то получим уравнение непрерывного роста в диффузионном приближении:
др х, г) + дхи (х, г)х, г) =
1 ?2
= Ь(х, г)х, г) + 2 дх
Ро (х, г) - х, г)
(7)
((х, г) = 15к(5, х)/(5,
Ь(х, г) = 152к(5, х)/(5,
п (г) = поехр
- Ní
,|у( г) Жг
/(х, г) = П (г)Уо (х),
~ к
х, г) = Nоe-q £ д-фк(х),
к = о
Оно представляет собой уравнение типа Фокке-ра-Планка-Колмогорова, в котором и (х, г) - средняя объемная скорость роста частиц, а 0.5Ь (х, г) -коэффициент диффузии в пространстве х, характеризующий скорость изменения дисперсии приращения величины х вследствие флуктуации скорости роста.
д
о
о
2
т
о
т
о
о
336
ФЛИСЮК, ФРОЛОВ
Анализ показал, что при выполнении соотношения т2и » х01 диффузионным членом в уравнении (7) можно пренебречь.
Дробление и истирание частиц. Кинетические уравнения, описывающие дробление частиц, обусловленное внутренними силами (термическими напряжениями и др.) в проточном аппарате идеального смешения в непрерывном представлении, имеет вид [3]:
ЭК 1
¥ + 1К+Р (х,') К =
(8)
(9)
Р =
В этом случае система уравнений, описывающих такой процесс для проточного аппарата идеального перемешивания, будет иметь вид:
Э/(х, X) + 1 х, X) = 1 Ко (х, X) + дX Т Т
1
(10)
+ — [щ(х + хй, X)х + хй, X) - щ(х, X)х, X)],
+ ТС = ТС + ид(2хй, X)2хй, X)хй +
дX т т
(11)
1 Ко + }g(5; 5 - х, х)5, X)Си,
х
х
Р(х, X) = -}g(х; х - 5, 5)Си,
где g(x; х - 5, и) - плотность вероятности дробления частицы объемом х на два осколка х - 5 и 5 за единицу времени, а К0(х, X) - плотность функции распределения числа частиц по х во входном потоке, т - среднее время пребывания частиц в аппарате.
Для установившегося процесса уравнение (8) упрощается:
+ ^ ид (х, X)х, X)х
х)[ 1 + т Р (х)] =
К0(х) + xjg(5; 5 - х, х)5)Си.
Из этого уравнения следуют формулы:
ж = N0х0, 2 = ^0 = х-, N1 - тР) = N0,
N х0
2 = 1 - ТР,
где N и Ж0 число частиц в аппарате в момент времени т и в начале процесса; х0 и х - средняя масса частиц до дробления и в момент времени т;
где ид(х, X) - скорость истирания частиц, С - концентрация частиц минимальной массы в аппарате.
В работе [4] представлены решения уравнений (10) и (11) для установившегося процесса и получены выражения для определения К(х) и С(х) соответственно. Показан физический смысл полученных решений.
Агломерация частиц. В периодических процессах агломерация изучена достаточно хорошо. Для непрерывных процессов, такие задачи из-за сложности аналитического решения практически не рассматривались.
Кинетическое уравнение, описывающее агломерацию частиц в проточном аппарате идеального смешения, для установившегося режима имеет вид:
х) + тк( х)}k(х, 5)5)СИ =
0
х
к0(и) + 2}k(х - и, и)х - и)и)СИ,
(12)
}Р(х)ф(х)Сх, ф(х) = Г^Щ при тР < 1 -
выражают закон сохранения вещества.
Процесс истирания можно представить как дробление частиц массой (/' + 1)хй на два осколка ixд и хй, i = 1, 2, 3, ..., где хд - частица минимальной массы.
где к(х, и) - ядро, характеризующее вероятность столкновения и коагуляции частиц массой х и и за единицу времени в единице объема аппарата. В работе [5] приведены решения этого уравнения для некоторых простейших ядер - постоянного, пропорциональных сумме и произведению коагулирующих частиц и их суперпозиции.
Предложенный подход к математическому описанию процессов эволюции дисперсного состава частиц был использован при моделировании укрупнения гранул синтетических моющих средств, для анализа безрециклового процесса получения гранул при обезвоживании раствора ди-натрийфосфата, при нанесении покрытий на гранулы активных углей и др. и показал достаточно высокую надежность для инженерных расчетов.
д
х
0
х
0
0
ОБОЗНАЧЕНИЯ
С - концентрация мелких частиц в единице объема аппарата;
хд - частица минимальной массы;
т - среднее время пребывания частиц в аппарате;
0(х) - функция Хевисайда;
Р - плотность функции распределения крупных частиц по х в единице объема аппарата;
/ - плотность функции распределения мелких частиц по х в единице объема аппарата при росте крупных частиц за счет мелкой фракции;
к(х, 5) - ядро интегродифференциального уравнения, характеризующее вероятность столкновения и коагуляции частиц массой х и 5 за единицу времени в единице объема аппарата;
g(x, х - 5, 5) - плотность вероятности дробления частицы массой х на два осколка х - 5 и 5 за единицу времени в единице объема аппарата;
п, N - число мелких и крупных частиц в аппарате, соответственно;
Р(х) - вероятность дробления частицы массой х на два осколка х - 5 и 5 за единицу времени в единице объема аппарата;
г - время;
х - масса частиц.
ИНДЕКСЫ
0 - начальный (входной);
1 - мелкая фракция;
2 - крупная фракция.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пеньков Н.В., Флисюк О.М., Быков В.А., Рашков-ская Н.Б. Применение уравнения Фоккера-План-ка-Колмогорова для описания укр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.