МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2011, том 40, № 2, с. 109-118
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ^^^^^^ И ЭЛЕМЕНТОВ ОБОРУДОВАНИЯ
УДК 537.534
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФОРМИРОВАНИЯ НАНОСТРУКТУР ПРИ РАСПЫЛЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ ИОННОЙ БОМБАРДИРОВКОЙ © 2011 г. А. С. Рудый, А. Н. Куликов, А. В. Метлицкая
Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова E-mail: rudy@univ.uniyar.ac.ru Поступила в редакцию 27.08.2010 г.
Приведены результаты исследования пространственно нелокальной модели эрозии поверхности ионной бомбардировкой. Показано, что состояниями равновесия поверхности в рамках модели являются плоскость и рельеф в виде террас. Определены критические значения угла бомбардировки и поверхностной диффузии, при которых происходит потеря устойчивости состояний равновесия к возмущениям в виде бегущих волн. Полученные результаты позволяют объяснить основные виды поверхностной топографии, образующейся при ионном распылении поверхности, определить их параметры, область существования и последовательность возникновения.
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии со вторым законом Мура, с уменьшением топологической нормы устройств интегральной электроники стоимость литографического оборудования экспоненциально растет. По этой причине все больший интерес вызывают явления самоорганизации наноструктур в конденсированных системах. К числу таких явлений относится образование волнообразного нанорельефа (ВНР), рипплов, террас, ямок травления и пр. на поверхности полупроводников при ионной бомбардировке. Из всего многообразия структур наибольший интерес представляет ВНР, так как он может использоваться в качестве наномаски, а технология его формирования легко встраивается в стандартные технологии микро- и наноэлектроники [1].
Образование ВНР на поверхности твердых тел при ионной бомбардировке относится к числу наиболее интересных и наименее изученных явлений. Волнообразный рельеф формируется на поверхности проводников, полупроводников и диэлектриков при облучении их ионами как инертных, так и химически активных газов. Наиболее подробно исследован процесс зарождения и развития ВНР на поверхности кремния. Установлено, что ВНР формируется в определенном диапазоне углов бомбардировки, ширина которого определяется энергией и типом первичного пучка. Эти же параметры определяют длину волны рельефа и глубину, на которой происходит его зарождение. Экспериментально установлено, что глубина зарождения ВНР (или доза облучения) является наименьшей при использовании ионов азота. Она на порядок меньше, чем
при облучении 81 ионами 0+, и на два порядка меньше, чем при использовании ионов Аг+.
Считается, что образование ВНР обусловлено исключительно явлениями эрозионного характера, которые описываются с использованием двух походов: стохастического и детерминистического. В первом подходе учитывается случайный характер падения ионов посредством включения флуктуа-ций в среднюю плотность потока ионов. В рамках стохастического подхода распыленный атом может покинуть поверхность в точке, находящейся достаточно далеко от места падения иона. Это приводит к тому, что в области линейного каскада коэффициент распыления зависит не только от угла падения иона, но и от высоты рельефа в точке его падения и в точке выхода вторичного иона. Однако в математических моделях эта зависимость, т.е. нелокальность процесса распыления не учитывается.
В настоящее работе излагается детерминистическая модель эрозии поверхности твердых тел ионной бомбардировкой, учитывающая пространственную нелокальность процесса распыления. Пространственная нелокальность, как характерная особенность процесса распыления, впервые была теоретически обоснована Петером Зигмундом в работе [2]. Под нелокальностью в данном случае понимается пространственная удаленность точки выхода вторичного иона Ь от точки внедрения первичного иона I. На рис. 1 видно, что выход вторичного иона наиболее вероятен в точке Ь, так как она лежит на самой близкой к центру с изоэнергетической поверхности (эллипсоиде вращения), на которой энерговыделение больше, чем на внешних эллипсоидах, которым принадлежат соседние с Ь точки распыляемой поверхности. Этим же обстоятельством определяется и зависимость коэффициента распыления от угла бомбардировки.
Впоследствии Марк Брэдли и Джеймс Харпер, развивая подход Петера Зигмунда, показали, что на
коэффициент распыления влияет не только угол бомбардировки, но и радиус кривизны поверхности [3]. Ими рассматривался случай, когда средняя длина пробега первичного иона a (глубина центра энерговыделения при нормальной бомбардировке) была много меньше радиуса кривизны a < R. В работе [3] было получено уравнение эрозии поверхно-
сти ионной бомбардировкой, учитывающее радиус кривизны поверхности.
Уравнение Брэдли и Харпера предназначалось в первую очередь для объяснения развития ВНР, который согласно существовавшей на тот момент модели эрозии
(а)
& = _ J eos (0р_-0) Y(0о _0) dt р eos ©
вообще не должен был развиваться. В работе [3] рассматривалась трехмерная модель эрозии, которая позволяла объяснить образование как перпендикулярных направлению бомбардировки, так и параллельных ему волн, наблюдаемых при угле
бомбардировки © 0 > 70°. Поскольку практически важным является процесс образование ВНР при
0
40°, 65°
достаточно исследовать двумерный
случай, в котором уравнение Брэдли и Харпера имеет вид
g = -V0 (©о) + V0 (©о + -Y (00 )г (00 (б)
dt dx p dx
Это уравнение интересно тем, что параметр Г(0О) — величина отрицательная [3]. Для параболических уравнений с отрицательным коэффициентом диффузии (коэффициентом при производной второго порядка) существует так называемый при-
Рис. 1. Поверхности, на которых средняя величина плотности энергии, выделенной в точке с, постоянна. I и Ь — точки внедрения первичного иона и выхода вторичного иона, соответственно. Стрелкой показана усредненная траектория первичного иона.
мер Жака Адамара, показывающий, что в этом случае нет непрерывной зависимости решения от начальных условий, т.е. не выполняется один из трех критериев корректности. Таким образом, задача Коши для уравнения (б) относится к числу некорректно поставленных задач. Для исправления ситуации в уравнение (б) в работе [3] вводится производная четвертого порядка с отрицательным коэффициентом, учитывающая самодиффузию атомов поверхности.
Учет влияния кривизны поверхности позволил найти объяснение развитию волнообразного рельефа с длиной волны X > 1 мкм. Так в работе [3] было показано, что уравнению (а) удовлетворяют экспоненциально растущие волнообразные возмущения вида
г(х, 0 = ^0ехр(5?)ехр[/(ю? - кх)\
и была оценена длина волны с максимальным инкрементом ж. Заметим, что решения уравнения (б) сходятся только благодаря учету самодиффузии, которая согласно Дж. Картеру [4] дает крайне незначительный вклад в скорость эрозии, но зато формально задача Коши становится корректной.
Отметим также, что с точки зрения математики уравнение (а) является локальным, так как скорость эрозии поверхности в точке с координатами (г, х) определяется состоянием поверхности в той же самой точке, т.е. нелокальность механизма распыления уравнением (а) никак не учитывается. В настоящей работе излагается модель эрозии, основанная на детерминистическом подходе, учитывающая пространственную нелокальность процесса распыления.
Рис. 2. Влияние субмикронной топографии в точке выхода вторичного атома х на коэффициент распыления в рамках модели Зигмунда.
1. ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЭРОЗИИ ПОВЕРХНОСТИ ИОННОЙ БОМБАРДИРОВКОЙ
В работах [5, 6] была предложена модель, в рамках которой исходная поверхность рассматривалась как суперпозиция
¿(х, 0) = 1(х, 0) + г(х, 0)
гладкого рельефа ¿(х, 0), для которого а < Я, и малых возмущений ¿(х, 0). Угол между локальной нормалью к поверхности и осью г составлял © + ©, где 0 и 0 — углы между осью г и локальными нормалями к ¿(х, 0) и £(х, 0), соответственно. Средняя протяженность возмущения
N
1 - N +1 х),
I=1
(1)
где х; определяется условием ¿(х ) = 0, — величина порядка средней длины пробега иона I ~ а.
Если рассматривать поверхностную топографию ¿(х, г) как суперпозицию
¿(х, г) = ¿(х, г) + г(х, г)
микроскопического ¿(х, г) и субмикронного г(х, ?) рельефов (см. рис. 2), то угол наклона локальной нормали п к оси г можно представить как 0 = 0 + 0. Предполагалось также, что распыляемая
среда является сплошной и однородной, средняя
длина пробега иона постоянна и равна 11 |, а поверхность постоянной энергии, выделяемой первичным ионом, имеет вид сферы.
В рамках этих допущений можно получить выражение для скорости локального понижения поверхности [5, 6], которое распадается на два уравнения. Первое имеет вид уравнения эволюции поверхностной топографии микроскопического масштаба
д1
/0
ео8 ©
второе — уравнение эволюции топографии нанометрового масштаба
^ = -¿0 у (©0 -©)
дг р к 0 '
-чео8
(©0 -©)
(2)
е?! = ¿У
дг р
в-
а
ео8(®0 -®)Д I
- 12 БШ (®0 -®) ео8 ®
в-а/
ео8
1 -Р-^еЦ®-® ео8 ® ^
(®0-®) I .
ео81
(®0 -®)
Й_1
(3)
!:281п ® ео8 ®]
гдег1 = ¿(х), ¿2 = ¿(х - 1х), 1х = Iб1п(©0 - 0)ео80.
г
Из них соотношение (2), описывающее эволюцию микроскопического рельефа, для которого процесс распыления является локальным, совпадает с известным локальным уравнением (а).
Для регуляризации уравнения (3) в работе [6] введена поверхностная диффузия с коэффициентом Б
дк = Df+ JY Гв-а/cos (® ^li]! - sin (®° -Q)COS ® X 3t~ Dz+ р Г а COS (0° ®) I Р-а/cos (0О -®)
Р -а1COS (0° - ®) ® Zi - Z2 1--'——-———cos ®—-2
COS
(®° -®)
(4)
Z 2
1 + z'2 sin ® cos ®J
Уравнение (4) принадлежит классу пространственно нелокальных уравнений и описывает эволюцию возмущений нанометрового масштаба, обусловленную нелокальностью процесса распыления и диффузией. Действительно, если в уравнении (4) положить ©0 = 0 = 0 и, следовательно, ах = 0, а 11 = 12, то (4) становится локальным параболическим уравнением
дк = DZ " .
dt
(5)
Согласно (5) единственным процессом при нормальной бомбардировке может быть только процесс сглаживания неоднородностей за счет диффузии.
Для дальнейшего анализа уравнение (4) у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.