ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 3, с. 396-416
УДК 519.634
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
© 2013 г. К. Н. Волков
(Университет Кингстона, Лондон, SW15 3DW, Великобритания) e-mail: k.volkov@kingston.ac.uk Поступила в редакцию 02.07.2012 г.
Рассматриваются вопросы, связанные с реализацией вычислительной процедуры, предназначенной для решения задач сопряженного теплового анализа. Для нахождения распределения температуры в твердом теле используется метод конечных элементов, а для расчета температурного поля в вязком сжимаемом газе — метод конечных объемов. Обсуждаются передача нагрузок между конечно-элементным и конечно-объемным модулями, постановка граничных условий на границе раздела сред, особенности дискретизации уравнений, описывающих распределение температуры внутри твердого тела и течение газа, а также управление шагом интегрирования по времени. Результаты расчетов распределения температуры металла и жидкости в каверне, ограниченной неподвижным и вращающимся дисками, сравниваются с теоретическими зависимостями и данными измерений. Библ. 22. Фиг. 16. Табл. 1.
Ключевые слова: сопряженный теплообмен, газовая динамика, метод конечных элементов, метод конечных объемов, неструктурированная сетка.
DOI: 10.7868/S0044466913030149
1. ВВЕДЕНИЕ
Сопряженный тепловой анализ системы газ—твердое тело (coupled thermal analysis) использует результаты одного анализа в качестве нагрузок для другого и играет важную роль в процессе проектирования и оптимизации многих технических устройств, включая газовые турбины и компрессоры (см. [1]—[15]).
Тепловой анализ заключается в расчете распределения температуры и тепловых параметров в твердом теле. В его основе лежит уравнение теплового баланса, полученное в соответствии с принципом сохранения энергии, для дискретизации которого обычно используется метод конечных элементов (finite element method, FEM). В дополнение к расчету температурного поля, в результате теплового анализа определяются плотность теплового потока на границе системы и коэффициенты теплоотдачи (с учетом заданной температуры окружающей среды).
Течение вязкого сжимаемого газа описывается осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье—Стокса, замкнутыми при помощи той или иной модели турбулентности, для дискретизации которых обычно используется метод конечных объемов (finite volume method, FVM). В результате интегрирования уравнений Рейнольдса находятся распределения скорости, давления и температуры внутри и на границах расчетной области.
На практике сопряжение температурных полей в твердом теле и газе, а также передача тепловых нагрузок между средами осуществляется при помощи различных подходов. Каждый подход имеет свои преимущества и недостатки, а также области применения.
В прямом методе (conjugate method) используется сопряженный тип элемента, содержащий необходимые степени свободы, а управление сопряжением достигается при помощи вычисления матриц элемента или векторов нагрузки элемента. Сопряженный тепловой анализ проводится при помощи одного программного модуля, позволяющего рассчитать поле температуры как внутри твердого тела, так и в газе. Такой подход реализуется в [1], [2] и успешно применяется для сопряженного теплового анализа компонент газовых турбин (см. [3]—[5]). Расчеты ограничиваются либо стационарными, либо сравнительно простыми нестационарными режимами ра-
боты, поскольку включение нестационарных расчетов поля течения газа является достаточно затратным с вычислительной точки зрения.
Для снижения требований к вычислительным ресурсам находит применение другой подход (non-coupled method), в котором расчеты поля течения газа проводятся в стационарной постановке и только в ключевых точках цикла нагружения. На основе полученных данных строятся полуэмпирические корреляционные соотношения, которые используются для постановки тепловых граничных условий на поверхности, разделяющей газ и твердое тело. Такой подход демонстрирует хорошие показатели производительности и не накладывает ограничений на постановку задачи (см. [6], [7]). Однако успех его применения в существенной степени ограничивается качеством построенных корреляционных соотношений и опирается на опыт пользователя. В связи с ограниченной областью применимости критериальных соотношений распространение подхода на широкий спектр условий представляется проблематичным.
В последовательном методе (coupled method) расчеты поля течения газа и температурного поля в твердом теле проводятся один за другим с последующей передачей нагрузок между двумя расчетными областями через сетку и соответствующие граничные условия на границе раздела сред. В случае теплового анализа взаимодействия газ—твердое тело требуется задать плотность теплового потока от газа к твердому телу и температуру границы раздела. Для моделирования течения газа и расчета тепловых нагрузок в твердом теле используются различные модули: конечно-элементный модуль для расчета температурного поля в твердом теле (finite element analysis, FEA-модуль) и модуль расчета характеристик течения газа (computational fluid dynamics, CFD-модуль). В случае несовпадения конечно-элементной (обычно используются ячейки треугольной формы) и конечно-объемной (используются как структурированные, так и неструктурированные сетки) сеток на границе раздела сред применяется интерполяция граничных значений. Такой подход реализуется в [8]—[15] и успешно применяется для решения прикладных задач различного класса.
Для ситуаций, которые не выражают высокую степень нелинейности взаимодействия, последовательный метод представляется более эффективным и гибким, позволяя выполнить два анализа независимо друг от друга с их последующей итерационной увязкой (см. [8]—[10]). Кроме того, последовательный подход позволяет сравнительно просто учесть различные механизмы обмена теплом между газом и твердым телом (конвективный, кондуктивный, теплообмен излучением). Сопряжение на каждом шаге по времени реализуется при помощи итерационной процедуры (см. [11], [12]).
При этом обычно считается, что время перестройки температурного поля в газе намного меньше времени перестройки температурного поля в твердом теле (течение успевает подстраиваться к изменению граничных условий). Для каждой характерной точки или участка цикла на-гружения, характеризуемого постоянством некоторых параметров (например, угловой скорости вращения ротора), строится отдельная CFD-модель и расчеты поля течения газа проводятся в стационарной постановке. Имеется принципиальная возможность использовать одну CFD-мо-дель для различных точек цикла нагружения, но это требует проведения дополнительных итераций для получения приемлемого поля течения газа (см. [13]—[15]).
Во многих задачах, представляющих практический интерес, форма расчетной области является достаточно сложной, в связи с чем построение структурированных и блочных сеток становится трудоемким или невозможным. Несмотря на то что использование неструктурированных сеток приводит к увеличению вычислительной работы на каждом шаге по времени по сравнению со структурированными сетками, это позволяет произвести автоматическую генерацию сетки в области произвольной геометрической конфигурации. Разница температур металла в контрольных точках, полученных в результате численного и физического эксперимента, не должна превышать ±5 градусов, что дает относительную погрешность порядка 1% и находится в пределах точности измерений (см. [16]). Это предъявляет достаточно серьезные требования к реализации вычислительной процедуры, предназначенной для сопряженного теплового анализа.
При реализации последовательного подхода обычно передается температура границы раздела сред от одного расчетного модуля к другому (от FEA-модели к CFD-модели) и тепловой поток в обратном направлении (см. [8]—[10]). Во многих случаях такой подход вызывает проблемы со сходимостью итерационной процедуры (см. [9], [11]). В разработанном подходе на каждой итерации от FEA-модуля к CFD-модулю передается температура металла, а в обратном направлении — тепловой поток и температура газа. Такая реализация позволяет стабилизировать численные расчеты и избежать проблем, связанных с расходимостью итерационной процедуры. Дискретизация основных уравнений проводится на неструктурированных сетках, что позволяет
(a)
ю,1/сек
®2
ю3 ю1
1 2 3 4 5
/ \
/
/
юь
ю
Юа
(б)
0 t1 ?2 t3 {4 % ta t tb
Фиг. 1. Цикл нагружения (а) и интерполяция нагрузок (б).
построить вычислительную процедуру, пригодную для широкого круга приложений. Предлагается подход к управлению шагом интегрирования по времени, который обеспечивает высокую точность сопряженных расчетов. Результаты расчетов сравниваются с данными физического эксперимента.
2. ЦИКЛ НАГРУЖЕНИЯ
Решение задачи осуществляется на интервале времени [0, tf ]. Нагрузки задаются в дискретных временных точках (ramp point). В расчетах газовых турбин в качестве нагрузок обычно выступает скорость вращения ротора и/или температура во входном сечении (фиг. 1а).
Для проведения сопряженного теплового анализа достаточно построить одну CFD-модель, а при достижении момента времени, соответствующего изменению нагрузки, извлечь нагрузку из цикла нагружения и использовать ее при постановке граничных условий для последующего расчета. Однако на практике более удобным представляется построить отдельную CFD-модель (и провести соответствующие расчеты, достижения полной сходимости не требуется) для каждой временной точки цикла нагружения.
Между различными временными точками для расчета нагрузок используется линейная интерполяция (фиг. 1б). В случае, если текущий момент времени t находится в интервале [ta, tb], где ta и tb — начальный и конечный момент времени, соответствующие двум различным CFD-моде-лям (CFD1 и CFD2), производится обновление полей течения, соответствующих обеим моделям. Такая ситуация имеет место в период изменения скорости вращения (ускорение или замедление) или другого параметра цикла нагружения (наклонные участки на ломанной цикла
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.