ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 5, с. 735-740
УДК 536.21,536.244
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА В ПАКЕТАХ МАЛОГАБАРИТНЫХ ПЛОСКИХ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ
СОПЕЛ С ОХЛАЖДЕНИЕМ
© 2015 г. В. Ф. Формалев, С. А. Колесник, Е. Л. Кузнецова
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) E-mail: formalev38@yandex.ru Поступила в редакцию 20.01.2015 г.
Приведена комплексная физико-математическая формулировка и метод решения сопряженного теплопереноса между вязкими газодинамическими и гидравлическими течениями в пакетах плоских охлаждаемых ракетных микродвигателей, используемых для управления космическими аппаратами и для накачки газодинамических лазеров. Особенностью таких двигателей является их малый размер, вследствие чего корпус быстро прогревается и необходимы специальные способы охлаждения. Предложен метод погружения решения сопряженных задач теплопереноса в многосвязных областях, каковыми являются микродвигатели с охлаждением. Показано, что охладитель снимает значительное количество тепла, особенно в области критического сечения сопла.
DOI: 10.7868/S0040364415050117
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается тепловое состояние охлаждаемого блока из нескольких ракетных микродвигателей (длина камеры сгорания и сопла не более 15 мм) прямоугольного сечения с организованными в теле блока поперечными каналами для прохождения охладителя, в качестве которого может быть горючее или газовый охладитель.
Источником тепловой энергии является высокотемпературное газодинамическое течение в каналах микроракетных двигателей (температура торможения ~2000 К). Поскольку металлическая конструкция пакета двигателей имеет ограничения по температуре, необходим сток тепловой энергии с помощью охладителя, и тем больший, чем выше скорость охладителя.
Таким образом, возникает сложное теплогазо-динамическое состояние с охлаждением в гидравлических каналах, при котором функционирует блок микроракетных двигателей. Для определения теплового состояния необходимо решить комплекс задач сопряженного теплообмена между газо- и гидродинамическим течениями и корпусом блока охлаждаемых газодинамических микродвигателей:
— об идеальном течении газа в сопле микродвигателя;
— о течении и теплообмене в тепло-газодинамическом пограничном слое;
— о сопряженном теплообмене между газодинамическим пограничным слоем и корпусом блока двигателей;
— о течении в каналах охлаждения и сопряженном теплообмене между корпусом и охладителем;
— о нестационарном трехмерном теплопере-носе в блоке газодинамических микродвигателей.
В силу малых размеров блока микродвигателей первые два пункта, по-видимому, можно объединить уравнениями теплогазодинамики на основе уравнений Навье—Стокса с учетом теплопереноса или на основе уравнений динамического и теплового пограничных слоев.
Весь комплекс взаимосвязанных задач описывается существенно нелинейными уравнениями в частных производных.
Основными проблемами являются разработка комплексной физико-математической модели для решения задач о тепловом состоянии микроракетного двигателя, ее численная реализация, разработка программного комплекса и получение результатов, в частности потребного расхода охладителя для обеспечения приемлемого уровня температур.
По отдельным компонентам имеется значительное число работ, среди которых следует отметить [1—8]. Но в данной работе проблема сопряженного теплообмена между гидро- и газодинамическими течениями и телами сложной геометрической формы впервые решена в комплексной постановке, что делает ее весьма акту-
Рис. 1. Отдельный ракетный микродвигатель в блоке с охлаждающими каналами.
альной и востребованной проектировщиками малогабаритных ракетных двигателей.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
На рис. 1 представлено сечение одного микродвигателя плоскостью хОу в декартовой системе координат, причем продольной осью является ось Ох, вертикальной — ось Оу, поперечной — ось Ог с началом координат в начале камеры сгорания. Оси охлаждающих каналов параллельны оси Ог, причем охладитель входит в левый канал и после выхода из него входит с противоположной стороны в правый канал.
При моделировании сопряженного теплообмена между газодинамическими течениями и охлаждаемыми соплами газодинамическое течение и течение охладителя в каналах охлаждения будем считать квазистационарными (стационарными в каждый фиксированный момент времени), а пространственную теплопроводность в корпусе сопла нестационарной. Это допущение обосновано тем, что постоянная времени для газодинамического течения составляет порядка
3 х 10-5 с (длина сопла, деленная на скорость в критическом сечении), а для тепловой проводимости — порядка 1 с.
Физико-математическая модель всей комплексной проблемы содержит следующие частные математические модели, каждая из которых имеет самостоятельное значение.
1. В предположении заполненности полости сопла вязким газом течение и теплообмен в плоском газодинамическом сопле описываются соотношениями
ди , ди до д I ди ри--ъру— = —— +--1 р—
дх ду дх ду V ду д(ри) + а(ру) = 0, дх ду
(1) (2)
дТ дт д р иср — + рч ср— = —
дх
. дТ ] , ёр , (ди] X— | + и^ + ц — I , (3)
ах уду;
ду ду у ду
р = рЯТ, (4)
ц = ц (Т); Л, = Л, (Т). (5)
Считается, что перетока газа в направлении оси Ог нет, так что течение двумерное. Граничные
условия (70, р0 в камере сгорания заданы)
ре (х )ие2 (х)
2 ,
у = 0: ре(х) = ро-■
Те (х) = То (1 - М дие (х)
(6)
ХТе (х) ду
0;
у=0
у = у**: и (х, у„1) = 0, V (х, у„1) = 0,
р„1 (х) = Ре (х), Р (х) = ^ (х\,
КТ*1 (х)
(7)
дТ
Т у*1) = Тм>Ъ ^ е д~
дп
у=у*1 +0
= хд-дТ
дп
у=у*1 -0
Последние два соотношения в (7) являются условиями сопряжения.
2. Течение и теплообмен охладителя в гидравлических каналах в направлении оси Ог в отсутствие инерционных членов для ламинарного потока описываются уравнениями
д (™дн) = г §Р,
Г Ц
дг\ дг
дг
ди дг
= 0, и\г=к = 0, 5 = 2,3,
г=0
Ср ^ + риср ^ = * £ (г ^) + дг дг гдЛ дг) дг
Т\г=д = Т*5, Т\г=0 _ Твх, 5 _ 2, 3;
(8) (9)
(10)
условия сопряжения на стенках каналов охлаждения:
дг
Хд-Т
дг
= 0,
г-0 -г г+0 (11)
Т|г-0 = Тг+0 = Т1«, 5 = 2,33. Задача нестационарной пространственной теплопроводности в многосвязном корпусе плоского сопла:
с(Т<-£МТ)+йЦТШ (12)
{х, у, г} е V,
— Т4 Т4
(13)
{х, у, г} е Б,
= д„5, 5 = 2,3, (14)
X (Т )дТ дп
X (Т )дТ дг
Ш
Т(х,у,г,0) = Ф(х,у,г), {х,у,г} е Г + (15)
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Вся комплексная математическая модель (1)— (15) сводится к задаче теплопереноса в сложной многосвязной области пакета плоских газодинамических сопел со сложными граничными условиями. В газодинамической области из решения задачи (1)—(7) необходимо определить параметры теплообмена: коэффициент теплоотдачи а№1 и эффективную температуру вязкого течения Те1 на границе №1, а из задачи (8)—(11) — параметры теплообмена а№2, Те2 и а№3, Те3 и полученные параметры включить в тепловые потоки в выражениях (13), (14) в форме ^ = а- Т^);
— а— Те&) , 5 _ 2, 3.
В соответствии с методом эффективной длины [7] параметры теплообмена можно найти из соотношений
а „„ = 0.0296 Pr -057 К
0,2 „ р №1 СР
Pr'
0,2 х эф
Те1 — Т0
1 + Г Ю 1 + Ю '
к - 1Л ,2 ю —-М e,
г — 0.8
(16) (17)
где
Кт = (Ты/Tel)0'4+0.2ехр<"™)(1 + Г Ю)0Л1, Гр^еЯ ^йх
эф
Я +
I р
х0
?5/4
Я - Ях=0 '
а №1 (Те1 - Т„1 )-А. (Т)
дп
№1
(19)
- е№\<5Т№л + ееаТе! = 0.
Решением задачи (8), (9) для динамического пограничного слоя в каналах охлаждения является функция
где
и (г) = 2иср [1 - (г/Я )2 ], 5 = 2,3,
Я 2
—Цт [2пги (г) йг = —-—. пЯ?} 8ц йг
(20)
(21)
Падение давления йр/йг в направлении течения охладителей определяется формулой Дарси
1 ^ _ йр = ^РисР
йг 2Б,'
64
(22)
где
^ср -
* = 2,3,
т — секундный расход охладителя в кг/с, — площади поперечных сечений каналов.
В соответствии с (22) давление вдоль каналов охлаждения
Р (г) = Р0 -
64 Р (иср) Яеср 2Р,
г,
(23)
гдер0, (иср)0 — давление и усредненная скорость во входном сечении.
При решении задачи (10) для уравнения энергии в каналах охлаждения положим V = 0, используем выражение (20) для и (г) , введем безразмерные координаты
Т№ -Т п = —, С = —, 5 = 2,3 (24) Я ~
3 = -
Т — Т Л л
и, пренебрегая второй производной д 2д/ ВС,2 дем задачу (10) к следующему виду:
д20
1
= Ре
(1 -п2 )
све-
(25)
РиАЯ '
Конвективный тепловой поток ды в выражении (13) имеет вид
9*1 =а№1 (Те1 - Т„1). (18)
Тогда на границе w1, соприкасающейся с газодинамическом потоком, краевое условие задается в виде баланса конвективно-кондуктивных и лучистых тепловых потоков
дТ
дп пдп
0 ^=1 = 0, 0 С=0 = 1.
Разделяя переменные и вводя среднеинтеграль-ную величину &ср, получим решение задачи (25) в виде ряда, члены которого быстро убывают при возрастании г:
Э (г) = 0.819 ехр (-14.62 аг/иср Р2) +
+ 0.0976ехр (-88.2 аг/иср Р2)+ (26)
+ 0.0189ехр (-212 аг/иср Р2) + ....
Дифференцируя (26) по ц, при п = 1 получим (иср зависит от переменной г)
-(Й = 1.498ехр(-14.62афср Р2) +
+ 1.114 ехр (-88.2 аг/иср Р*)+ (27)
+ 0.503ехр(-212аг/иср Р5) + ..., * = 2,3.
Домножая выражение (27) на теплопроводность охладителя X, получим тепловой поток на стенках охлаждающих каналов в выражении (14)
= хд-Т
дг
= а „
г
,(ТШ - Тр), 5 = 2,3. (28)
В [8] показано, что коэффициент теплоотдачи, полученный из выражений (27), (28), может быть
0
аппроксимирован при ламинарном течении без инерционных членов выражениями
Г3.66Х. РеД
а —
D.
1.61
< 12,
^Pe PeD,
(29)
> 12.
г г
В качестве Tes, s = 2,3 можно принять T
T = T =
■*■ es ■*■ cps
2
UcpRS
\u (r )
Trdr.
(30)
Динамическая вязкость и теплопроводность газов определяются по формуле Сезерленда [1, 7]
И = И о
' 1 + т */ То х
1 + т */ т' х 0
^ = И, ± = L, (31) И о
~k+1/3P
rpk+^3 Tijl - k ~Tijl 2
T hu + hu _
Tk) л- k+V3 + л- k+Ф Лijl i+1 jl
2hu
/ = 1,1, j = 1, J,
Л k+^3 л i-1jl
Л k+1/3 "л ji
2h i
(Tk+1/3 Tk+1/3\ [Tijl Ti+1jl )
(32)
Tk+2/3 ~k+2/3 Tijl Cijl P
Tk+^3 - Tijl
h2j + h2j
"л k+2/3 Aj-1l
Л k+2/3 ' Л ijl
T k+2/3 л (rpk+2/3 Tk+2l3\ лijl + A;j+1l
T-1l T>" 1
2h2j
ijl
2h
x (33)
2
r.k+2/3 — Tk+2/3\
(rpk+2j3 rpl
Tijl - Tij+
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.